当前课程知识点:数据结构(上) > 第一章 绪论(下) > (xc)动态规划 > 01XC-2: Fib():递推方程
我们首先采用递推分析的方法
也就是说 将整个计算的复杂度
整理表达为这样一个递推关系
我们来解读一下
如果说计算
第n项Fibonacci数的成本是T(n)
那么按照刚才的算法
就相当于 首先花T(n-1)的时间
计算出第n-1项
再花T(n-2)的时间
计算出第n-2项
最后再花一个O(1)的时间
干什么呢?
其实就对应于这个加法
也就是说 我们要在O(1)的时间内
将前两个Fibonacci数合并
得到新的这个Fibonacci数
所以这个递推式
是非常自然的
那么当然也包括它的边界条件
也就是 对于第0项和第1项
分别地都是O(1)的时间直接返回
为了求解这样一个递推式
我们不妨令S(n)等于
T(n)再加上1以后 除二
那么相应的S(0)以及S(1)
作为边界条件 也可以换算过来
我们注意到非常巧合
S(0)恰好是等于
Fibonacci数的第一项
而S的第一项
恰好等于Fibonacci数的第二项
嗯?我们大概看出点儿端倪来了
因为更一般地
根据上面的定义
我们也不难验证
S(n)也应该是等于
S的第n-1项
和S的第n-2项之和
从形式上看 S(n)和
Fibonacci数是完全一样的
那么根据边界条件
我们可以综合起来理解为
S(n)实际上就是
Fibonacci数往后倒推了一项
基于这样的理解
我们不难得出结论
也就是说 S的第n项
和Fibonacci数的第n+1项
实际上就是一回事
那么Fibonacci数的第n+1项
或者一般讲 第n项的通项公式
大家在很多课程里
应该都已经学过了
从渐近的复杂度的意义上讲
它大致主体的 是这个Φ的n次方
而Φ是多少呢?
就是那个黄金分割数
具体的就是(1+√5)/2
大致是1.618
所以由此我们可以得到一个结论
原来的我们所需要计算的T(n)
根据刚才S 换算回去
无非就是大致两倍的S(n)而已
在数量级上 并不会引起什么变化
换而言之
我们计算Fibonacci数的递归算法
它的时间成本
本身也呈现出一个
Fibonacci数的形式
它的量级也是Φ的n次方
我们说Φ虽然比2略小一点儿
但是它严格地比1大
所以依然是一个指数
没错 我们这里又碰到了指数
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