当前课程知识点:数据结构(上) > 第五章 二叉树 > (e2)中序遍历 > 05E2-7 分摊分析
最后我们重新回到这个算法
这个算法需要运行多少时间呢?
我们知道递归的版本可以简明地实现
O(n)的复杂度
尽管它的常系数非常之大
那么如此改造之后的迭代版本
又当如何呢?
乍眼望去
我们不免对这个算法的复杂度表示担忧
因为从结构上来看
它大体呈现的是一个循环
以及内部隐含着还嵌套了一个循环
而且外循环总共需要执行O(n)步
因为它必须对每一个节点都至少访问一次
而内循环也就是这样一个
沿着左侧分支不断下行的过程
在最坏的情况下 本身也可能就是O(n)
试想这样一种最坏的情况
也就是在从某一个节点开始的
那样一条左侧链中
累计包含的点数就已经达到了
与n相当的地步
比如说n/2或者是n/4
都是这样
如此说来两个规模分别为O(n)的循环
彼此嵌套之后
难道总体的复杂度是n^2吗?
我们说这个结论虽然并不错误
但是从界的估计来看 却远远地不紧
没错 整个算法的确是呈一个迭代形式
而且在每一步迭代中
所对应的那样一个goAlongLeftBranch过程
可能距离会或长或短
甚至最长的的确会达到刚才我们说的
Ω(n)的量级
但是我们不难发现 所有这些左侧链的长度
合在一起也无非是O(n)
为了看出这一点 我们不妨将目光
集中在这里的入栈动作上
不难验证 整个算法中只有这个位置
会发生入栈操作
而且进一步地 每一个节点
至多会参与一次入栈操作
回到这个图
每一个节点的入栈操作
无非对应的是它所属的那个
左侧链上的一步
因此所有这些左侧链的长度
无非就是这些push操作的累计次数
而这个次数我们刚才说过了
不会超过所有的点数
也就是O(n)
因此我们刚才所得到的这样一个
n平方的结果只不过是一个假象
这一估计远远不紧
形象地说 这就犹如我们在估计的时候
使用了这样一个n乘以n的方框
里面有很多长条 或长或短
它们累计 不过这个方框的面积
也就是刚才所说的n平方
而更准确地说
它们的累计长度也只不过是
与n在同一个数量级的O(n)
所以现在我们终于得出了一个结论
也就是整个这样一个迭代的版本
所需要的运行时间依然是线性的
而且更重要的是 相对于此前
递归版本的线性
这里虽然从程序结构上讲更为复杂
但是从常系数的意义而言
却要远胜于递归的版本
这也是本节的立论依据
以及我们所做相关研究的意义所在
你或许已经看出来了
我们这里所采用的方法
无非就是分摊分析
这种分析的方法和技巧
也同样适用于其它几种迭代的遍历算法
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