当前课程知识点:数据结构(上) > 第一章 绪论(下) > (e)迭代与递归 > 01E-09: Max2:二分递归
比如说 我们可以按照
这样的一个图示来进行改进
具体来说 我们总是把
整个这个序列每次
都化分为左侧和右侧两部分
这里我们不妨把它们
垂直地画出来
这个无所谓 比如说左侧和右侧
接下来呢
我们递归地求解两个子问题
分别求出左侧的
最大元素和次大元素
以及右侧的最大元素和次大元素
接下来呢 全局的最大元
必然来自于左侧的最大元
和右侧的最大元之间的更大值
为此我们花费一次比较
那么当然有两种情况
所以这里头画出了对称的情况
可能确实是
左侧的这个最大者胜出
也可能是右侧的这个最大者胜出
不失一般性 我们先考虑左侧的这个
右侧完全对称的
如果经过一次比较以后
我们确认左侧的胜出
那么我们又可以进而得出结论
全局次大的元素
必然是来自于
左侧的次大元素
和这个刚才
如果说是败下来的
右侧的最大的元素
同样 我们经过一次比较
就可以确认它们中间的胜者
大家注意 在这里
我们刚才失败的
那个子问题中的次大者
无需参与比较
我们来看一下
这样的一个思路呢
可以整理为这样一段代码
当然这里也有退化的情况
我们把这样的退化情况的
实现和解释这个任务
留给同学们在课后完成
一般而言
我们都是取lo和hi的中点
并且递归地求解出
刚才我们所说的x1L x2L
以及x1R和x2R
接下来 我们对两个子区间的
最大者进行一次比较
就可以确定其中的胜者
这就是全局的最大者
或者是它 或者是它
那么 刚才我们说了
左边这个图
对应的是if这种情况
右边这个图
对应的是else这种情况
进而全局的次大元素x2
怎么来确定呢?
我们可以看到
无论是if 还是else
它都是对称的
我们只需要再进行一次比较
这次比较 其实对应的就是这个
我们再回顾一下
刚才这次比较
其实对应的是它
或者是说它
后面这两次比较
对应的是它
或者是它
我们可以看到
无论如何 在每一个递归实例中
即便是在最坏的情况
我们也至多只需要
进行一次和两次比较
这也就是为什么
可以用递推方程的方式
可以写出来T(n)
应该是等于两倍的
两个T(n/2)规模的子问题
也就是T(n/2)
再加上刚才的两次比较
这样一个递推式
用前面类似的方法
我们可以去求解
得到5n/3-2
当然如果你不知道
具体地求解方法的话
你不妨去验证一下
我们说这种结果
是非常好验证的
按照这样的一个公式
可以得出来 T的(n/2)是多少
然后代进去
不难验证这样一个结果
我们这里需要指出的是
确实我们可以看到
如果此前的方法
在最坏情况下
所需要的比较次数
就n的常系数而言
如果是2的话
现在 在这里降为了5/3
我们可以看到
它有一个确定的下降
这种下降再强调一下
是即便在最坏情况下
也能够保证的
当然在最好的情况下能够多少
我们也把这个问题
留给大家在课后思考
所以概括一下
我们这一节的主要内容是
既教给了大家
迭代与递归的算法
包括两种重要的算法的策略
减而治之和分而治之
更重要的是
结合这两种策略的介绍和实例
我们给出了递归算法的
两种典型的常用的分析方法
也就是递归跟踪和递推式
在后边 我们将会看到
更多更复杂的这方面的例子
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