1.1.2 事件的关系和运算在线视频

大家好

前面，我们学习了随机试验、样本空间

随机事件的基本概念

知道了简单事件的表示方法

而在实际问题中，出现的事件往往比较复杂

那么如何用简单的事件表示复杂的事件呢

这就是下面我们要研究的问题

事件的关系和运算

这里我们要讲四种关系

三种运算

还有一些运算律和常见的关系式

首先我们来看四种关系

第一个关系，事件的包含关系

事件B包含事件A

可以表示成这样的形式

事件B包含事件A

它表示事件A发生必然导致事件B的发生

这是显然的

如果在一次试验当中，试验的结果

ω在A当中

那么它一定在B当中

而试验的结果

在A当中

那么A一定发生，试验的结果

在B当中

那么B也一定发生

所以事件B包含事件A

它就表示

A发生必然导致事件B的发生

这里我们注意到事件

它实际上就是集合

那么这种包含关系

我们也可以用图形来进行表示

这里Ω表示样本空间

这是事件B

这个是事件A

比如说我们抛一枚骰子一次

观察出现的点数

这个试验

那么

A表示出现的点数为四点

而B表示出现的点数为偶数点

这时

显然B事件是包含A事件的

这是第一个关系

下面我们来看第二个关系，事件的相等关系

事件B包含事件A

并且事件A也包含事件B

这时我们就说这两个事件

是相等的，记做A等于B

接下来我们来看第三种关系

事件的互不相容

或者叫互斥的关系

我们给出两个事件A、B

如果它们是互斥的，那就表示

这两件事不同时发生

我们也可以用图形来进行表示

比如说抛掷一枚骰子一次，观察出现的点数

A表示出现的点数是五点

B表示出现的点数是六点

这两件事儿显然不同时发生

那么它们是互斥的

接下来我们来看第四种关系

事件的对立关系

如果A不发生

我们把它记成A拔的形式

这时

我们就称A拔为A的对立事件

这里出现的A事件和A的对立事件

它们是互为对立的关系

比如说抛一枚硬币一次

观察正反面出现的情况

A表示

出现正面，A拔表示出现反面

那么这两个事件就是对立的关系

我们也可以用图形来进行表示

在这个图形当中，大家会发现

如果两个事件

是对立的

那么这两个事件一定是互斥

但是反过来

如果两个事件是互斥的

那么它不一定是对立的

这就是事件之间的四种关系

接下来我们来看三种运算

第一种，事件的交运算

或者叫积运算

我们可以记作A∩B或者是AB的形式

可以看到

这和集合的交运算的表示符号是类似的

事件A交事件B

它表示

A、B这两件事

同时发生

用图形来表示

这是样本空间

这是A事件，这是B事件

那么A交B就是中间的这一部分

事件的交运算

我们可以把它推广到有限个

比如说n个事件

同时发生

那么它就表示，这n个事件的交的形式

事件的交运算

也可以把它推广到可列个的情况

可列个事件

同时发生，那我们就可以把它写成

可列个事件的交的形式

对于事件的交运算

我们还需要注意以下的两点

第一点

如果A、B是互斥的

就是表示

A、B不同时发生

A、B不同时发生，那就说明

A交B是不可能事件

所以，以后我们再看到A、B互斥

那么马上反应出来

A交B是不可能事件

第二个

如果A1到An是两两互斥

那就是说，这n个事件当中

任意哪两个，它们的交都是不可能事件

这是事件的交运算

下边我们来看

第二种运算，事件的并运算

它可以写成A并上B

这和集合的

并的表示符号也是相同的

A并B表示

A、B至少有一个发生

用图形来表示

给出A、B

那么A并上B就是这样的一部分

两个事件的并，也可以把它推广到

有限个事件的并的形式

那么

n个事件至少有一个发生

那就是这n个事件的并的形式

我们进一步的推广到可列个事件

可列个事件至少有一个发生

那就是这可列个事件的并的形式

事件的并运算我们也需要

注意以下的两个问题

第一个

如果A、B是互斥的

也就是A交B是不可能事件

那么

A并B

我们通常可以把它写成

A加上B的形式

第二个需要注意的

如果A、B是对立的

那么它一定是互斥的

这时A交B一定是不可能事件

而A加上B就是

必然事件，就是整个的样本空间

对于事件的并运算，我们还有两点需要补充

第一点

n个事件是两两互斥的

那么这n个事件的并就可以写成

n个事件的和的形式

第二点补充

如果有可列个事件是两两互斥的

那么它们的并就可以写成这

可列个事件的和的形式

这是事件的并运算

接下来我们来看第三种运算

事件的差运算

可以把它记成A减B

A减B也可以表示成

A交上B的对立事件

这里事件的差

它表示

A发生

但是B不发生

如果用图形来表示的话

我们可以看到

给出A事件

B事件

那么A减B就是这一部分

而中间的部分恰好就是A交B的形式

那么对于事件的差运算来说

A减B

我们也可以在图形当中可以看到

A减B它也可以写成是A减A交B的形式

这里是A

那么把

A交B减掉，那显然就是A减B

类似的，它也可以写成是A并上B

A并上B就是这一部分

再加上这一部分，再把B减掉

那显然还是A减B的形式

那么我们要知道

事件A减去B，可以写成这样的形式

这是事件的差运算

对于事件的这三种运算的形式

我们还有如下的一些运算规律

首先

对于并运算还有交运算

我们有如下的交换律、结合律还有分配律

这和我们以前所学习的集合的

并运算还有交运算的交换律、结合律

分配律是完全一样的

所以这部分我们不做过多的说明

我们重点来说

下面的对偶律

对偶律包括两个运算规律

第一个

A并上B的对立事件

可以写成是A的对立事件

交上B的对立事件

我们怎么来理解呢

大家知道A并上B就是

A、B这两个事件至少有一个发生

那么它的对立事件

那就是它们两个都不发生呗

那就是A也不发生B也不发生

那不恰好就是，A的对立事件交上

B的对立事件吗

这是第一个对偶律

我们来看第二个

A交B的对立事件，等于A的对立事件

并上B的对立事件

那我们知道A交B表示

A、B同时发生

它的对立事件

那就是A、B不同时发生呗

也就是说A的对立事件发生

或者是B的对立事件发生

那不就是A的对立事件

并上B的对立事件吗

那么对于这样的两个对偶律

我们可以把它推广到多个事件的情况

可以推广到有限个事件

也可以推广到可列个事件

那对于对偶律来说

它是比较重要的

我们在后边研究事件发生的概率的时候

经常会结合这个对偶律

去研究事件发生的概率

好

这是事件运算的运算规律

接下来我们还有几个比较重要的

常见的关系式

这里有四组

其中第三组和第四组

跟我们之前所学习过的集合的

那种关系是完全一致的

所以我们也不重点说明这个问题

我们重点来看前面的两个关系式

前面的这两组关系式，我们可以

通过图形来给大家说明

这里给出事件A还有事件B

那我们在图形当中可以看到

这个就是A减B

而中间的是A交B，右边的就是B减A

那么在图形当中

大家可以看到

这里给出的是A事件

它显然可以写成A交B

再加上一个A减B的形式

这里我们观察到A交B和A减B

显然是互斥的

所以A事件写成了互斥事件的和的形式

那么类似的，这是B事件

它显然可以写成

A交B再加上一个B减A的形式

这两组事件

也是

互斥的关系

所以B事件可以写成

这样两个互斥事件的和的形式

而A交B也可以写成B交A吧

我们就会有这个关系式

接下来我们再来看上面的A并上B

那我们发现A并上B就是这一部分

并上它

它显然可以写成是

A事件再加上一个B减A的形式

这里我们看到A事件和B减A

这个事件也是互斥的

那么类似的就是

B再加上A减B

是不是也是两个互斥事件的和的形式

那么进一步的，A并上B还可以写成

A减B再加上一个B减A

再加上一个A交B的形式

这三个事件显然也是互斥的

那我们同样的还有这个关系

这样的话

我们可以看到，以上的这两组事件

它实际上反映了一种非常重要的想法

就是事件

它可以写成互斥事件的和的形式

这是一个非常重要的想法

在我们后面研究事件发生的概率的时候

它是经常会用到的

所以我们要记住这样的两组常用的关系式

这样呢

我们就给大家介绍了

四种关系，三种运算

还有一些运算律，还有常见的关系式

下面呢，我们来看如何利用这些内容去表示事件

举一个例子

设A、B、C表示三个随机事件

是将下列事件用A、B、C表示出来

第一个，A发生

B、C不发生

那显然它是

A交上B的对立事件

再交上C的对立事件的形式

第二个，A、B、C同时发生

那么就是A交B交C的形式

A、B、C至少有一个发生，那就是

A并上B再并上C的形式

A、B至少有一个发生

那就是A并B，而C不发生

显然这个事件可以写成A并上B括号在交上C的

对立事件

来看最后一个

A、B、C中恰好有两个发生，那有可能是

A、B发生而C不发生，也可能B、C发生

A不发生，也可能A、C发生

而B不发生

所以我们可以把它写成这样的一个形式

这样我们就利用事件的

这种关系还有运算

去表示事件

好，那么我们这部分内容就学到这里

下面我们来总结一下

我们主要学习了四种关系

三种运算，一些运算律

其中对偶律是比较重要的

大家一定要记住对偶律

学习了常用的关系，重点要明确事件可以

表示成互斥事件的和的这种思想方法

在今后求事件发生的概率中

这是非常重要的，好，这部分内容

就学习到这里，谢谢大家