4.3.1 协方差在线视频

大家好

我们学习第四章的第三节

协方差和相关系数

首先协方差，介绍协方差的定义

以及协方差的性质

协方差的定义

X，Y为随机变量

如果X减去X的期望乘以Y减去

Y的期望的数学期望存在

则称此期望为X与Y的协方差

通常用Cov(X,Y)来进行表示

即X和Y的协方差，等于X减去X期望乘以

Y减去Y的期望的数学期望

协方差反映了两个随机变量在变化过程中

是同向变化还是反向变化

如果X变大

同时Y也变大

说明X与Y同向变化

此时协方差为正的

如果X变大

而Y变小，说明X与Y

反向变化

此时X与Y的协方差为负的

我们对协方差进行计算的时候

也可以采用X与Y的协方差等于X乘以Y的

期望减去X期望乘以Y的期望

X与Y的协方差，根据定义等于X减去

X期望，乘以Y减去Y的期望再数学期望

我们对两项乘开，于是得，X乘以Y

减去Y乘X期望，减去X乘以Y的期望

加X期望乘Y的期望再求

数学期望

通过数学期望的性质

我们可得，X和Y的协方差，等于X乘以Y的

期望，减去X期望乘Y的期望

在数学期望中我们已经知道

如果X和Y相互独立，X乘以Y的期望

等于X期望乘以Y的期望

所以，XY如果相互独立

则X和Y的协方差等于零

根据方差的性质

我们也可以得到，XY为任意的随机变量

X加上Y求方差，等于X方差加

Y的方差，加二倍的XY的协方差

X减去Y求方差，等于X方差加Y的方差

减去二倍的XY的协方差

接下来我们看协方差的性质

性质1，X和Y的协方差

等于Y与X的协方差

性质2，X和X的协方差，等于X的方差

因为X和X的协方差，等于X乘以X的

数学期望，减去X期望的平方

从而等于X的方差

性质3，X和a的协方差等于零

X和a的协方差，等于a乘X的数学期望减去

a的数学期望乘X的数学期望

从而等于零

性质4

a，b为常数，aX和bY的协方差

等于a乘以b乘以X和Y的协方差

aX和bY的协方差，等于ax乘以

bY的数学期望减去aX的数学期望

乘以bY的数学期望

根据数学期望的性质，等于a乘以b

乘以X乘以Y的数学期望

减去a乘以b乘以X期望乘以Y的数学期望

从而等于a乘以b乘以X和Y的协方差

第五个性质

X1加上X2和Y的协方差，等于

X1和Y的协方差加X2和Y的协方差

X1加X2和Y的协方差，

等于X1加X2乘以Y的数学期望，减去

X1加X2的数学期望，乘以Y的

数学期望

等于X1乘Y的期望加X2乘

Y的期望，减去X1的数学期望乘以

Y的数学期望，减去X2的数学期望

乘以Y的数学期望

其中X1乘Y的数学期望，减去X1的期望

乘Y的期望，正好为X1和Y的协方差

X2Y的数学期望，减去X2的数学期望

乘以Y的数学期望，正好为

X2和Y的协方差

接下来我们看例题

已知X，Y的联合分布律如图

求X，Y的协方差

根据协方差的计算，要求X和Y的协方差

需要求X的期望Y的期望以及

X乘以Y的期望

首先看X的数学期望

X的数学期望等于0×(0.2+0.1)

加1×(0+0.2)加2×(0.3+0.2)

等于1.2

接下来，Y的数学期望

Y的数学期望等于

0×(0.2+0+0.3)

加1×(0.1+0.2+0.2)

等于0.5

X乘以Y的数学期望，等于

1×1×0.2+2×1×0.2=0.6

从而，X和Y的协方差，等于

X乘Y的期望减去X期望乘Y的期望

等于0.6-1.2×0.5=0

接下来我们看第二道例题

已知二维连续型随机向量的

联合概率密度函数

f(x,y)等于当X大于零小于一

并且Y大于零小于一时，为六倍的XY的平方

其它的为0，求X和Y的协方差

我们根据第三章的知识已经知道

联合概率密度函数

可分离变量

既然可分离变量

所以XY相互独立

在XY相互独立的条件下，于是我们可以推出

X和Y的协方差等于零

接下来我们对本次课进行总结

这次课我们学习了协方差的定义和性质

X和Y的协方差等于X减去X的期望

乘以Y减去Y的期望的数学期望

等于X乘以Y的期望减去X期望

乘以Y的期望

X和Y的协方差等于Y和X的协方差

X和X的协方差等于X的方差

X和常数a的协方差等于零

aX和bY的协方差等于a乘以b

乘以X和Y的协方差

X1加X2和Y的协方差，等于X1和Y的

协方差加X2和Y的协方差

本次课到此结束

谢谢大家