8.2.3 正态总体方差的假设检验在线视频

大家好

这一讲我们继续介绍

单个正态总体参数的假设检验

第二部分

总体方差的假设检验

设单个总体X服从正态分布

N(μ,σ²)

X₁，X₂到Xn₁为取自总体

X的容量为n的一个样本

Xbar，S²分别为总体X的

样本均值与样本方差

考虑假设问题

原假设

H₀: σ²=σ0²

其中σ0² 为已知的常数

与之对应的对立假设分为三种情况

H₁： σ²≠σ0²

H₁: σ²小于σ0²

H₁: σ²>σ0²

我们先来看第一种情况

检验假设

H₀: σ²=σ0²

H₁: σ²≠σ0²

其中

σ0²为已知的常数

这是对总体的方差做检验

我们就要用样本方差去做推断

因此

选择的检验统计量是

σ0²分之(n-1)S²

在原假设H₀成立的条件下

它是服从自由度为n-1的X²分布

由于样本方差S²为总体方差

σ²的无偏估计量

在原假设H₀成立的条件下

S²应该跟σ0²的值

是非常接近的

也就是说 这个σ0²分之S²

应该集中在1的左右

从而检验统计量的值应该是

集中在n-1的左右

这就意味着

如果检验统计量的值

过分的大或者过分的小

那么我们就拒绝原假设H₀

基于上述思想

我们给出H₀的拒绝域

大家要注意到 检验统计量

它的取值是非负的

接下来，对于给定的显著性水平α

我们考察X²分布的密度图形

它的密度图形虽然是不对称的

但是我们取的分位数点依然是对称的

分位数点

大家接下来看这个图形

我们考察自由度为n-1的X²分布的

上二分之α分位数

以及 下二分之α分位数

那么落在这两个点左右两侧的面积

分别都是二分之α

因此

统计量的值大于零

小于等于下二分之α分位数的概率

是二分之α

或者统计量的值大于等于

上二分之α分位数的概率

也是二分之α

α小

二分之α更小

这两个事件当中的任何一个事件

都是小概率事件

任何一个事件发生

都将会导致小概率事件发生

因此H₀的拒绝域为

统计量的取值大于零

小于等于下二分之α分位数

或者统计量的值大于等于

上二分之α分位数

这里我们需要说明的是

采用服从X²分布的

检验统计量的这种方法

我们称之为X²检验法

其二

这个原假设H₀的拒绝域有两个临界值

一个是自由度为n-1的

上二分之α分位数

一个是自由度为n-1的

下二分之α分位数

它的临界值有两个

拒绝区域位于临界值的两侧

因此我们称之为双侧检验

接下来

我们来介绍单侧检验

检验假设

H₀: σ²=σ0²

H₁: σ²小于σ0²

其中σ0²为已知的常数

需要说明的是我们的假设

也可以写成

H₀: σ²>=σ0²

H₁: σ²小于σ0²

这两种不同的形式

它们的检验法则和检验效果也是一致的

接下来 我们选择检验统计量

由于对总体的方差做检验

选择的检验统计量依然是

σ0²分之(n-1)S²

下面 我们来构造拒绝域

大家可以看到在H₁中

σ²小于σ0²

当H₁为真时

σ²的估计量S²

它的值往往是偏小的

因此，若检验统计量值偏小

我们就拒绝原假设H₀

从而H₀的拒绝域在左侧

大家看图

落在点X² α(n-1)

左侧区域的面积是α

因此

H₀的拒绝域为统计量大于零

小于等于 x² α(n-1)

这是一个左侧检验

那么类似的 我们也可以得到右侧检验

检验假设 H₀: σ²=σ0²

H₁: σ²>σ0²

其中

σ0²为已知的常数

与左侧检验类似

我们依然可以写成

H₀: σ²小于=σ0²

H₁: σ²>σ0²

这两种形式

它们的检验效果和检验法则也是一致的

接下来 我们选择检验统计量

依然还是

σ0²分之(n-1)S²

现在大家可以猜出它的拒绝域了吧

我们来看H₁

在备择假设H₁当中

σ²>σ0²

当H₁为真时

S²作为σ²的估计量

它的值往往是偏大的

因此

如果S²的值偏大

我们就拒绝原假设H₀

从而H₀的拒绝域在右侧

这是一个右侧检验

我们来看图

落在点X² 1-α(n-1)

右侧区域的面积为α

因此 它的拒绝域就是

统计量的值大于等于X² 1-α(n-1)

左侧检验和右侧检验

我们统一称为单侧检验

接下来 我们看一道例题

某制药厂为提高药物生产的稳定性

在改进设备后试产了9批

其收率百分数

分别为如下数据

若已知收率X服从正态分布

参数μ和σ²均未知

试判断(1)收率的总体方差

同常数13是否有显著差异

显著性水平α取成0.05

这个问题转化成判断

在改进设备后总体的方差

σ²同常数13是有差别

还是没有差别

因此我们的原假设取成没有差别

第一步提出假设

H₀: σ²=σ0²=13

H₁: σ²≠σ0²

这是一个双侧检验

由于对总体的方差提出检验

那么我们选择的检验统计量

是

σ0²分之(n-1)S²

在原假设H₀成立的条件下

它是服从自由度为n-1的X²分布

这个双侧检验的拒绝域有两个临界值

拒绝域 就是统计量的取值大于零

小于等于下二分之α分位数

或者统计量的值大于等于

上二分之α分位数

接下来 我们要代入数据

给出具体的拒绝域以及做出判断

α=0.05

n=9

我们要确定的两个临界值

一个是X² 二分之α(n-1)

也就是

X² 0.025(8)

另一个是X² 1减二分之α(n-1)

也就是X² 0.975(8)

通过查X²分布表

我们可以得到

X² 0.975(8)=17.535

x² 0.025(8)=2.180

因此H₀的拒绝域就是

统计量的取值

大于0小于等于2.180或者

统计量的取值大于等于17.535

这也就是说

如果统计量的值过分的小或者过分的大

我们就拒绝原假设H₀，

接下来 代入数据做出判断

由于样本的标准差

它的值等于根号下3.1288

代入检验统计量

也就是13分之9-1

然后乘以S²

3.1288，求出来的值

是1.9217

显然统计量的值是大于零

小于下二分之α分位数 2.18

这说明了统计量的值落在拒绝域之内

因此我们就拒绝原假设H₀

从而认为收率的总体方差与13

是有显著性的差别

这是一个双侧的问题

那接下来看第二个

让我们判断收率的总体方差

是否低于13

α取成0.05，这个问题转化成判断

改进设备之后

我们希望从已有的数据当中

得到支持的结论

即改进设备之后差异变小

因此备择假设我们取成

σ²小于13，即差异变小

那么原假设取成与这个论述否定的假设

因此，第一步我们提出假设

H₀: σ²=σ0²=13

H₁: σ²小于σ0²

大家也可以写成

H₀: σ²>=σ0²

H₁: σ²小于σ0²

它们的检验效果

检验法则也是一致的

从H₁可以看出

这是一个左侧检验

而且这是对总体方差所构造的检验

因此我们选择的检验统计量

还是σ0²分之(n-1)S²

H₀的拒绝域应该是位于左侧

它的拒绝域是统计量的值

大于零

小于等于x² α(n-1)

即自由度为n-1的X²分布的

下α分位数

接下来 我们代入数据来进行判断

由于α=0.05

n=9

我们需要确定的临界值

是x² α(n-1)

也就是x² 0.05(8)

大家可以查表求出来

这个值是2.733

从而我们得到

H₀的拒绝域可以写成

统计量的值大于0

小于等于2.733

最后一步

求出样本值来做判断

样本的标准差S等于

根号下3.1288

统计量的值

13分之9-1

乘以S²

那这个值等于

1.9217

它比

临界下限2.733还要小

这说明检验统计量的值过分的小了

因此我们就拒绝原假设H₀

从而认为收率的总体方差

是低于这个常数13的

也就是说设备改进了之后

总体的差异变小了

好，下面我们总结一下这一讲的内容

这一讲介绍了单个正态总体方差的假设检验

采用的方法是X²检验法

也分别对双侧和单侧两种情况讨论了

它的拒绝域，自此

单个正态总体参数的检验全部完结

谢谢大家