当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第二章 随机变量及其概率分布 > 第2节 离散型随机变量 > 2.2.3 泊松分布
大家好
上一节课我们已经讨论了
两点分布和二项分布
这一节我们来学习常见离散型
随机变量的另一重要分布
泊松分布，若随机变量𝑋的概率分布列为
如下的形式，表明随机变量𝑋取值为
0,1，
可列无穷多
而且𝑋等于𝑘的概率等于
𝑘的阶乘分之𝜆的𝑘次幂
𝑒的−𝜆次幂
其中常数𝜆大于0
只要随机变量𝑋的概率分布列
满足取值和对应概率这样
一个形式
我们就称𝑋服从参数为𝜆的
泊松分布，记为𝑋波浪线大𝑃
参数𝜆
在后边括号里面表示出来
泊松分布是概率论中重要的分布之一
常用于稠密性问题中
如一段时间内放射性物质
放射的粒子数目
某网站被点击的次数，进入某商店的
顾客人数，到达公交车站乘客人数
或机场的候机的人数
以及天空某区域内星体数等等
在一定条件下都服从或近似服从泊松分布
下面我们来看一个例题
一电话交换台每分钟的呼叫次数𝑋
服从参数为4的泊松分布
问题1，求某一分钟内恰有6次呼叫的概率
2，求某一分钟内呼叫次数不超过10的概率
由于𝑋服从参数为4的泊松分布
则𝑋的概率分布列就表示为
𝑋等于𝑘的概率等于
𝑘的阶乘分之4的𝑘次幂
𝑒的−4次幂，𝑘等于0,1,2
到可列无穷多
那么，一分钟内
恰有6次呼叫的概率
就是𝑋等于6的概率
把6带入到概率分布列中
就等于6的
阶乘分之4的6次幂乘上𝑒的−4次幂
这个概率值需要我们进一步借助计算器
计算等于0.1041956346
下面我们来看第2个问题
某一分钟内呼叫次数不超过10次的概率
就是大𝑋小于等于10的概率
我们用对立事件表达就等于
1减大𝑋大于等于11的概率
而大𝑋大于等于11的概率
等于𝑋取
11,12,13一直取到可列无穷多个值的
概率和的形式，表示为
1减去∑
𝑘等于11到无穷，𝑘的阶乘
分之4的𝑘次幂乘上𝑒的−4次幂
这种形式可以借助于查泊松分布表
得到概率值等于0.99716
下面给出参数𝜆
三个值的泊松分布图
从图形可以看出
泊松分布的分布特点与二项分布
形态比较相似
概率分布列也具有先随𝑘增大而增大
后随𝑘增大而减小的分布特点
接下来的泊松定理，从理论上也说明二项分布
与泊松分布的这种近似关系
下面我们来看这个泊松定理
设大𝑋_𝑛服从
参数为𝑛和𝑝_𝑛的
二项分布，𝑝_𝑛表示的是
𝑛重伯努利试验中成功的概率
如果𝑛乘𝑝_𝑛在𝑛趋于无穷的时候
它的极限为𝜆
那我们就有这样的结论
二项分布的分布列
当𝑛趋无穷时的极限
就等于右边的泊松分布列
这个定理表明的是二项分布与
泊松分布的关系
就是二项分布的极限分布
就为泊松分布
由这个泊松分布定理
我们可以得到如下的近似
若𝑋服从参数
为𝑛, 𝑝的二项分布
当𝑛很大𝑝很小的时候
𝑋等于𝑘的概率
等于𝐶_𝑛^𝑘 ，𝑝的𝑘次方
乘上1减𝑝的𝑛−𝑘次幂
就会约等于𝑘的阶乘分之
𝜆的𝑘次幂
乘上𝑒的−𝜆
就是二项分布的分布列约等于
泊松分布的分布列
也就是二项分布
随机变量会近似的服从参数为𝜆的
泊松分布，其中𝜆等于𝑛𝑝
通过这个定理
当我们直接计算二项分布概率
很困难的时候
我们可以借助于泊松分布来做近似计算
下面我们来看一个例题
生产某产品出现次品的概率
等于0.001
求生产5000个这种产品
至少出现两件次品的概率
如果设随机变量𝑋表示5000个
这种产品中次品数，则𝑋服从参数
为𝑛, 𝑝的二项分布
其中𝑛等于5000，𝑝等于0.001
那么5000个这种产品中
至少出现两件次品的
这个随机事件的概率，就可以表示为
大𝑋大于等于2的概率
等于二项概率分布列𝑘
等于2一直加到5000
也就是等于∑
𝑘等于2到5000
𝐶_𝑛^𝑘，𝑝的𝑘次方乘上
1减𝑝的𝑛−𝑘次幂
等于，转移呈对立事件等于
1减𝐶_𝑛^0，𝑝的0次幂，1减𝑝的
𝑛次幂减𝐶_𝑛^1
𝑝的一次幂
乘上1减𝑝的𝑛−1次幂
由于这里边的𝑛很大𝑝很小，这个题
用二项分布直接计算就比较困难
所以，接下来我们会考虑用
泊松分布来近似计算
参数
𝜆等于𝑛𝑝会等于5000
乘上0.001等于5
𝐶_𝑛^𝑘，𝑝的𝑘次幂，1减𝑝的
𝑛−𝑘次幂会约等于
𝑘的阶乘分之5的𝑘次幂
乘上𝑒的−5次幂
也就是二项分布列约等于泊松分布列
那么大𝑋大于等于2的
概率等于∑
𝑘等于2到5000
二项概率分布列和的形式
就约等于𝑘从2到无穷，𝑘的阶乘
分之5的𝑘次幂
𝑒的−5次幂
这里注意一下
由于𝑛很大，𝑛后边各项的概率都很小
所以在用泊松分布做近似计算时
求和的上限𝑛，近似为无穷
从而可以通过查泊松分布表得到
近似的概率为0.95957
这一节我们主要学习了泊松分布的
概率分布列和泊松定理
以及用泊松分布近似计算二项分布的
概率问题
泊松分布应用极其广泛
常见于稠密性问题中
今天就到这里，谢谢大家
-第1节 随机事件
--1.1 作业
-第2节 概率的定义和性质
--1.2 作业
-第3节 古典概型与几何概型
--1.3 作业
-第4节 条件概率
--1.4 作业
-第5节 随机事件的独立性
--1.5 作业
-本章测试
--第一章测试
-第1节 随机变量与分布函数
--2.1 作业
-第2节 离散型随机变量
--2.2 作业
-第3节 连续型随机变量
--2.3 作业
-第4节 随机变量函数的分布
--2.4 作业
-本章测试
--第二章测试
-第1节 二维随机向量及其分布函数
--3.1 作业
-第2节 二维离散型随机向量
--3.2 作业
-第3节 二维连续型随机向量
--3.3 作业
-第4节 条件分布与随机变量的独立性
--3.4 作业
-第5节 随机向量函数的分布
--3.5 作业
-本章测试
--第三章测试
-第1节 数学期望
--4.1 作业
-第2节 方差
--4.2 作业
-第3节 协方差和相关系数
--4.3 作业
-第4节 矩和协方差矩阵
-本章测试
--第四章测试
-第1节 大数定律
--5.1 作业
-第2节 中心极限定理
--5.2.2 De Moivre-Laplace 中心极限定理
--5.2 作业
-本章测试
--第五章测试
-第1节 数理统计的基本问题
-第2节 总体、样本和统计量
--6.2 作业
-第3节 抽样分布
--6.3 抽样分布
--6.3 作业
-第4节 抽样分布定理
--6.4 作业
-本章测试
--第六章测试
-第1节 参数点估计
--7.1 作业
-第2节 区间估计
--7.2 作业
-第3节 非正态总计参数的区间估计
--7.3 作业
-本章测试
--第七章测试
-第1节 假设检验的基本概念
--8.1 作业
-第2节 正态总体参数的假设检验
--8.2 作业
-第3节 非正态总体参数的假设检验
-本章测试
--第八章测试
-期末考试
