2.4.1 离散型随机变量函数的概率分布在线视频

在实际问题中

我们研究的一些随机变量

有的不能直接测量得到

而它却是某个能直接测量的

随机变量的函数

例如，考察质量为𝑚的某物体的

动能𝐸的分布规律

由于动能直接测量比较困难

我们能直接测量的是物体的运动速度

即称大𝑉

如果测得具体的速度为小𝑣，则动能具体的

表达为𝒆等于二分之𝑚𝑣²

可以看出动能大𝐸是随机变量大𝑉的

函数，要想确定动能𝐸的

分布函数或者是概率密度

可以由随机变量大𝑉的分布规律

以及𝐸等于二分之𝑚𝑉²的

函数关系

推知𝐸的概率分布

这就需要我们讨论随机变量函数的

概率分布问题

设𝑋为一随机变量

若g(𝑥)是定义在𝑋的一切可能

取值集合上的连续的

或分段连续的单值函数

如果当随机变量𝑋取值为小𝑥时

有另一随机变量

大𝑌取值g(𝑥)

也就是随机变量𝑌取值为𝑋取值的函数

那么就称大𝑌为大𝑋的函数随机变量

记为大𝑌等于g(𝑋)

我们所讨论的问题是，已知随机变量

𝑋的分布

以及𝑌与𝑋的函数关系g(𝑋)

如何来确定𝑌的概率分布

相应于𝑋是离散型或连续型

随机变量的不同

我们会分两种情形来讨论𝑌的概率分布

分离散型随机变量函数的概率分布和

连续型随机变量函数的概率分布

这一节我们来讲离散型随机变量

函数的概率分布

问题描述为，若随机变量𝑋

是离散型随机变量

且已知𝑌与𝑋的函数关系

那么𝑌也是离散型随机变量

我们讨论如何确定𝑌的概率分布列

设𝑋的概率分布列为表格的形式

第一行为取值

第二行为取值对应的概率

那么𝑌对应𝑋的函数值为g(𝑥_1)

g(𝑥_2)····g(𝑥_𝑘)等等

也就是当𝑋等于𝑥_1时

𝑌会等于g(𝑥_1)，当𝑋等于𝑥_2时

𝑌会等于g(𝑥_2)等等

如果g(𝑥_1)，g(𝑥_2)

g(𝑥_𝑘)两两不相等

则𝑌的不同取值与𝑋取值会一一对应

则𝑌的不同取值为g(𝑥_1)

g(𝑥_2)···g(𝑥_𝑘)等等

而且𝑌等于g(𝑥_𝑘)

当且仅当𝑋等于𝑥_𝑘

因此大𝑌等于g(𝑥_𝑘)的概率

就等于大𝑋等于𝑥_𝑘的概率

等于𝑝_𝑘

此时𝑌的概率分布列，第一行取值为

g(𝑥_1)，g(𝑥_2)···g(𝑥_𝑘)

第二行取值对应的概率是

𝑝_1，𝑝_2···𝑝_𝑘

相比𝑋的概率分布列取值变成

函数值，对应的概率没有变

若g(𝑥_1)，g(𝑥_2)···g(𝑥_𝑘)

中有相等项

我们不妨设g(𝑥_1)等于g(𝑥_2)

等于𝑚，则𝑌的不同取值为

𝑚，g(𝑥_3)，g(𝑥_4)

g(𝑥_𝑘)等等

把g(𝑥_1)，g(𝑥_2)

合并为一个值𝑚

并且𝑌等于𝑚，当且仅当大𝑋等于

𝑥_1或者是大𝑋等于𝑥_2

那么𝑌得𝑚的概率

由概率的可加性对应等于大𝑋

等于𝑥_1的概率加上大𝑋等于

𝑥_2的概率等于 𝑝_1加

𝑝_2

因此，如果g(𝑥_k)中有相等项

则把相等项合并为一项，对应的概率值相加

合并后就得到函数随机变量

𝑌的概率分布列

我们来看一个例题

已知𝑋的概率分布列为这样的一个形式

取值为三种情况

求𝑌等于cos𝑋的分布列

首先我们来看𝑌对应𝑋的函数值

等于cos0，cos𝜋/2

cos𝜋

这三个值互不相等

所以𝑌的不同取值为1，0，−1

而𝑌得1的概率

对应等于𝑋等于0的概率，等于二分之一

𝑌等于0的概率对应

𝑋等于二分之𝜋的概率等于四分之一

𝑌等于负1的概率对应等于

𝑋等于𝜋的概率等于四分之一

我们习惯于将随机变量取值从小到大排列

调整顺序后

就会得到𝑌的概率分布列

取值为−1,0,1

概率，对应的概率为四分之一

四分之一，二分之一

下面我们来看另一例题

已知𝑋的概率分布列为这样的一个形式

取值为五种可能

求𝑌等于𝑋−2平方的分布列

首先仍然来看𝑌对应𝑋的函数值

当𝑋等于负1时

𝑌就是负1减2的平方等于9

当𝑋等于0时

𝑌就等于

0减2的平方等于4

类似的,当𝑋等于2的时候

𝑌得0，𝑋得4的时候

𝑌得4，𝑋等于5的时候𝑌等于9

𝑌对应𝑋的函数值有相同项

所以𝑌的不同取值只有0，4，9三种情况

也就是三个值

而且𝑌等于零对应𝑋等于2的概率

等于0.2，𝑌等于4的概率

对应的就是𝑋等于0的概率

加上𝑋等于4的概率，等于

0.3加0.3等于0.6

而𝑌等于9的概率对应𝑋等于

负1的概率加上𝑋等于5的概率

等于0.1

加0.1等于0.2

从而得到𝑌的概率分布列取值为

0,4,9

取值对应的概率为0.2，0.6，0.2

今天的内容相对比较简单

我们主要学习了如何确定离散型随机变量

函数的概率分布列的问题

下次课我们讨论连续型随机变量的情形

好，今天就到这里

谢谢大家