6.4 抽样分布定理在线视频

大家好

今天我们学习抽样分布定理

包括两部分内容，单正态总体的抽样分布定理

和双正态总体的抽样分布定理

首先，我们看第一部分内容，单正态总体的

抽样分布定理，设X1，X2，···Xn

来自总体X服从(μ,σ²)的

正态分布样本

样本均值是X拔

样本方差是S的平方，则有如下结论

第一个结论

样本均值服从(μ,σ²/n)的

正态分布，标准化以后得到

样本均值减μ

比上σ比上根号n，服从标准正态分布

第二个结论

样本均值与样本方差是相互独立

并且(n-1)S²比上σ²

服从n-1的卡方分布

那么这个结论通常呢

我们用它的变形

σ²分之(n-1)S²，做一下变形以后呢

是i从1到n

Xi减去X拔括起来的平方

除以σ²，这样一个形式

那么它的分布呢，是n-1的

卡方分布

第三个结论

样本均值减μ比上

样本标准差除以根号n

服从n-1的T分布

下面我们证明结论一和结论三

首先证明一下结论一，样本均值

X拔是等于n分之1

i从1到n，Xi是服从的正态分布

所以它们的和，i从1到n，Xi

仍然是正态分布

因为Xi之间是相互独立

再乘以n分之1，正态变量乘以常数

仍然是正态的

所以，X拔这就是样本均值

是服从正态分布

这样我们只要确定它的均值

和方差就可以了

那么把X拔的表达式写出来

是n分之1

i从1到n，Xi括起来求均值

这是

乘以一个常数求均值

先把均值里面的

n分之1拿出来，那么就变成了n分之1

乘以i从1到n

Xi均值的和，那么每个均值和

总体的均值是一致的

是μ，所以是nμ，乘以n分之1

约掉n

所以等于μ

再求一下

样本均值的方差

样本均值是n分之1

i从1到n，Xi

那么它的方差

我们把n分之1拿出来是n²分之1

然后和的均值，和的方差等于方差的和

也就等于i从1到n，D(Xi)

每一个的方差等于σ²

有n个方差相加

所以是nσ²，乘以n²分之1

约到一个n，等于n分之σ²

所以我们就得到了结论

X拔服从参数是(μ,σ²/n)的正态分布

标准化一下就得到

X拔减均值比上σ比上根号n

服从标准正态分布

这是第一个结论

下面我们证第三个结论

样本均值减μ比上标准样本方差

比上根号n，服从自由度为(n-1)的T分布

我们来证明一下这个结论

首先由第一个结论

我们得到了一个统计量

X拔减μ比上σ比上根号n

它服从标准正态分布

由第二个结论

（n-1)S²的平方比上σ²

是服从自由度为

n-1的卡方分布

这样我们得到了一个

U统计量

也就是标准统计量

还有一个卡方统计量

并且由X拔与S²相互独立

所以，U和卡方也相互独立

所以我们看一下，U比上卡方

比上自由度

那么把U带进来

就是X平均减μ比上σ比上根号n

卡方带进来

是（n-1）S²

比上σ²比上根号n-1

那么σ在分子分母上都有，约掉

n-1和n-1约掉

那么就剩余了X拔-μ

比上S比上根号n

它的分布，我们说是U变量

比上卡方变量比自由度开根号，应该服从

自由度为n-1的T分布

就证明了这个结论

下面我们看

这样一个例题，设总体X服从

(μ,σ²)正态分布，取样本X1，X2，···Xn

样本均值是X拔

样本方差呢

是X的平方，第一个问题

求(X拔-μ)²

小于等于n分之

σ²

第二个问题

当n很大的时候

求(X拔-μ)²小于等于

n分之4S²

第三个问题

当n等于6的时候呢

我们求(X拔-μ)²小于等于

三分之二S²

首先我们求第一个问题

因为X平均减μ

比上σ比上根号n，是标准正态分布

所以我们将X-μ

X平均-μ括起来的平方

小于等于n分之σ²

两边开根号得到X拔-μ

绝对值小于等于σ比上根号n

那么根据第一个结论

我们把σ比上根号n移到左侧

就成了X拔-μ比上σ

比上根号n

绝对值里面是服从标准正态分布

根据标准正态分布

它的性质可以得到

2ϕ(1)-1=0.6826

第二个问题，当n很大的时候

T分布近似服从

标准正态分布，由第二个结论

X拔减μ比上S比上根号n

应该是自由度为n-1的T分布

但是n很大的时候呢

我们可以近似服从标准正态分布

所以我们看一下，我们用

标准正态分布来近似计算

X拔减μ

括起来的平方小于等于

n分之2S的平方

两边开根号，就等于X拔减μ比上

S比上根号n的绝对值

小于等于根号2

小于等于根号二

然后根据标准正态分布的性质

等于二倍的ϕ根号2减1

也就得到

0.8426

再看第三个问题

当n等于6时，由X拔减μ

比上S比上根号n，现在的n呢是6

所以是

S比上根号6，服从自由度为

n-1，n是6

所以是

n-1就是5，服从自由度为

n-1等于5的T分布

这样我们就得到

(X拔-μ)²

小于等于

三分之二S的平方

两边仍然是开根号

三分之二分子分母呢同时乘以二

就是六分之四

这样的话我们把

S除以根号6移到左侧，得到X拔-μ

比上S比上根号6，绝对值小于等于2

这是一个T统计量

也就是

T小于等于2

那么这个T统计量呢，服从自由度

为5的T分布

所以呢，我们看一下小于等于2的概率

那么如果这个2对应的是一个双侧分位数

它应该是1减2分之α(5)

它的值呢

应该是等于1-α，T的绝对值

小于等于T1-α，自由度是5的

这个概率呢

应该是等于1-α

根据T1减2分之α

自由度是5，等于2，可以把α求出来

是0.1

这样计算出来的概率呢

是0.9

下面我们看双正态总体的抽样分布定理

设X1，X2，···Xn1

为取自总体X服从

(μ1,σ1²)的样本

Y1，Y2，···Yn2是取自总体

Y服从(μ2,σ2²)的样本

且两组样本呢是相互独立

则有以下结论

第一个结论

X拔减Y拔

也就是说第一个样本的均值减去第二样本均值

减去括号里μ1-μ2

也就是说减去

第一个总体和第二个总体的均值的差

比上根号n1分之σ1方

加上n2分之σ2方

服从标准正态分布

也就是说这是一个U统计量

第二个结论

S1方比上σ1方

也就是说对第一个总体来说呢

它的样本方差比上总体方差

分母是S2方

比上σ2方

也就是第二个总体的样本方差

比上总体方差，服从n1-1

n2-1的F分布

这是第二个结论

第三个结论

当σ1方等于σ2方的时候

有这样一个结论

X拔减Y拔

减去μ1-μ2

也就是样本均值差减去总体均值差

比上Sω根号

n1分之1加n2分之1

服从n1+n2-2的T分布

这里的Sω平方是等于

n1减一S1方加n2减一S2方

比上n1+n2-2

这个结构呢，比较复杂一些啊

下面呢我们来分别证明这些结论

第一个结论

那么由单正态总体抽样分布定理

我们得到X拔服从

μ1，n1分之σ1²的

正态分布

Y拔服从呢

μ2，n2分之σ2²的正态分布

这是两个正态分布

它们的差我们说仍然是正态分布

差的正态分布服从

μ1-μ2

也就是均值差

X拔减Y拔的方差，等于n1分之σ1方

加n2分之σ2方

这个呢我们可以简单计算一下

D(X拔)减去D(Y拔)等于D(X拔)加D(Y拔)

也就是等于n1分之σ1方

加上n2分之

σ2方

然后呢，我们给它标准化一下

也就是说样本均值差

减去总体均值差比上

n1分之σ1方加

n2分之σ2方开根号，就是一个

标准正态统计量

这是第一个结论

下面我们看第二个结论

由单正态总体的抽样分布

定理的第二个结论

我们构造(n1-1)S1方

比上σ1方，是服从n1-1的

卡方分布

然后针对第二个总体

我们构造(n2-1)S2²

比上σ2²方，服从呢

n2-1的卡方分布

这两个统计量卡方1和卡方2

是相互独立的，由F分布的构造

那么F分布的构造呢

是卡方变量

比上自由度比上x²变量比上自由度

第一个卡方变量是卡方1平方

比上它的自由度是

n1-1

第二个卡方变量是卡方2

它的自由度是n2-1

把卡方1带进来就是（n1-1）S1²

比上σ1方

那么分母呢有一个n1-1

所以呢，那么分子呢

剩S1方比上σ1方

那么分母呢剩S2方比上σ2方

服从的分布是n1-1

n2-1的F分布

那么这两个自由度呢

和卡方的自由度是一致的

好，今天我们学习了抽样分布定理

包括单正态总体的抽样分布定理

和两个正态总体的抽样分布定理

这两个定理是我们进行参数估计和

假设检验的重要的理论基础

好，同学们

今天我们学习到这里

谢谢大家