当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第四章 随机变量的数学期望 > 第2节 方差 > 4.2.2 三种离散型随机变量的方差
大家好
上次课我们学习了方差的定义及性质
这次课我们学习三种常见的
离散型随机变量的方差
这三种离散型随机变量
分别为0-1分布，二项分布
泊松分布
首先，0-1分布
X服从0-1分布，分布列为X取值为0、1
相应的概率为1-p，p
数学期望为p
X平方的数学期望等于
0²×(1-p)+1²×p
所以，X平方的数学期望等于p
X的方差，等于X平方的期望
减去X期望的平方，等于p-p²
等于p(1-p)
所以0-1分布的数学期望等于p
方差等于p(1-p)
接下来二项分布的方差
X服从二项分布
数学期望等于n乘以p
分布列为X等于k的时候的概率为
Cnk乘以p的k次方乘以
(1-p)的n-k次方
其中k等于0、1、2到n
X平方的数学期望等于
σk从0到n
k方乘以概率
我们在计算的时候，k等于零的时候为零
接着
我们把k方可以写成k乘以
k-1
再加上k
我们把这项加和拆成两项
其中第一项为k从1到n，k乘以
k-1乘以Cnk，p的k次方乘以
1-p的n-k次方
加上第二项为k从1到n，k乘以概率
在第一项中
如果k等于1，第一项为零
所以第一项可以写为，k从2到n
那么对于第二项来说
正好为二项分布的数学期望，为n乘以p
在第一项加和中，我们把组合Cnk
可以写成n的阶乘比上k的阶乘
乘以n-k的阶乘
为了计算方便，我们令l=k-2
于是第一项加和可以写为，l从0到n减去2
n的阶乘比l的阶乘
乘以n-2-l的阶乘，乘以
p的l+2次方，乘以
1-p的n-2-l次方
再加上np
在第一项加和中，我们把n乘以
n-1乘以p²提出
于是，等于n乘以n-1乘以p²
σl从0
到n-2
在加和中我们发现，l从0到
n-2
这一部分正好为p加上
1-p的n-2次方
所以我们可以求出，X平方的数学期望
等于n(n-1)p²+np
从而二项分布的方差，等于n乘以
n-1乘以p²
加np减去n²乘以p²
等于np(1-p)
所以二项分布的数学期望为np
二项分布的方差为n乘以p
乘以1-p
接下来，泊松分布的方差
X是服从参数λ的
泊松分布
其中λ是大于零的
数学期望为λ
分布列为X等于k的时候概率是
k的阶乘分之λ的k次方
乘上e的负λ次方
其中k等于0、1、2到无穷
那么
X平方的数学期望，等于k从0到n
σ加和，k的平方乘以概率
同样，我们k的平方可以写成
[k(k-1)+k]，k等于零的时候为零
于是等于k从1到n
我们把加和拆成两项加和，其中
第一项加和为k从1到n
k乘以k-1乘以相应的概率
第二项加和为k从1到n
k乘以k的阶乘分之λ的k次方
乘以e的负λ次方
其中第二项加和为X的数学期望λ
第一项加和可以写成
k从2到n
k-2的阶乘分之λ的k次幂
乘以e的负λ次方
加上λ
在第一项加和当中，我们把常数
λ平方e的负λ提出
在第一项加和中，k从2到n
为指数函数
e的λ次方
所以X平方的数学期望等于
λ的平方乘以e的负λ方
乘以e的λ次方加λ，等于
λ的平方
加上λ
从而可以求出，X的方差等于λ的平方
加λ减去λ的平方等于
λ
对于泊松分布来说
数学期望为λ，方差为λ
接下来我们看例题
已知X服从二项分布，n等于4
并且已知数学期望等于1，求2X的方差
2X的方差
根据方差的性质等于四倍的X的方差
等于4×4×p×(1-p)
要求2X方差，需要求出p
于是利用X的数学期望
X的数学期望等于4p
数学期望等于1，于是我们可以推出
p等于1/4
从而得到2X的方差等于3/4
接下来我们看第二道例题
将三个球随机地放入三个杯子中
X表示
杯中球的最大的个数，求X的期望和方差
因为X表示杯中球的最大的个数
所以X取值为1，2，3
X等于1，表示杯中球最大的个数为1
也就为1个球进入了一个杯子
所以X等于1的概率，等于三的三次方
分之三的阶乘，等于2/9
X等于2，表示杯中球最大的个数为2
即有两个球进入了同一个杯子
所以X等于2的概率，等于三的三次方分之
C32乘以C31乘以C21
等于2/3
X等于3，表示三个球进入同一个杯子
所以X等于3的概率，等于三的三次方
分之C31，等于1/9
所以X的数学期望等于1乘以2/9
加2乘以2/3加，3乘以1/9
等于17/9
X平方的数学期望，等于1乘以2/9
加4乘以2/3，加9乘以1/9
等于35/9
X的方差，等于X平方的期望
减去X期望的平方
所以等于26/81
接下来我们对本次课进行总结
在这次课中我们学习了三种
离散型随机变量的方差
如果X服从0-1分布，方差等于
p(1-p)
如果X服从二项分布，方差等于
np(1-p)
如果X服从泊松分布，方差等于λ
本次课到此结束
谢谢大家
-第1节 随机事件
--1.1 作业
-第2节 概率的定义和性质
--1.2 作业
-第3节 古典概型与几何概型
--1.3 作业
-第4节 条件概率
--1.4 作业
-第5节 随机事件的独立性
--1.5 作业
-本章测试
--第一章测试
-第1节 随机变量与分布函数
--2.1 作业
-第2节 离散型随机变量
--2.2 作业
-第3节 连续型随机变量
--2.3 作业
-第4节 随机变量函数的分布
--2.4 作业
-本章测试
--第二章测试
-第1节 二维随机向量及其分布函数
--3.1 作业
-第2节 二维离散型随机向量
--3.2 作业
-第3节 二维连续型随机向量
--3.3 作业
-第4节 条件分布与随机变量的独立性
--3.4 作业
-第5节 随机向量函数的分布
--3.5 作业
-本章测试
--第三章测试
-第1节 数学期望
--4.1 作业
-第2节 方差
--4.2 作业
-第3节 协方差和相关系数
--4.3 作业
-第4节 矩和协方差矩阵
-本章测试
--第四章测试
-第1节 大数定律
--5.1 作业
-第2节 中心极限定理
--5.2.2 De Moivre-Laplace 中心极限定理
--5.2 作业
-本章测试
--第五章测试
-第1节 数理统计的基本问题
-第2节 总体、样本和统计量
--6.2 作业
-第3节 抽样分布
--6.3 抽样分布
--6.3 作业
-第4节 抽样分布定理
--6.4 作业
-本章测试
--第六章测试
-第1节 参数点估计
--7.1 作业
-第2节 区间估计
--7.2 作业
-第3节 非正态总计参数的区间估计
--7.3 作业
-本章测试
--第七章测试
-第1节 假设检验的基本概念
--8.1 作业
-第2节 正态总体参数的假设检验
--8.2 作业
-第3节 非正态总体参数的假设检验
-本章测试
--第八章测试
-期末考试