7.2.1 区间估计的概念和术语在线视频

大家好

今天我们来学习第七章第二节，区间估计

在给出区间估计的概念之前，先通过一个例题

来回顾一下前面讲到的点估计

设某大学全体男生的身高

服从正态分布

其中，总体方差是已知的

现在随机抽取10个学生测得数据如下

求男生身高μ的估计值

根据前面我们讲过的点估计的知识，

μ的点估计值为样本均值

即这10个数据求和除以10

等于175

我请大家思考这样的一个问题

175是不是总体均值μ的真实值呢

如果不是，那么这个误差到底有多大呢

由点估计是无法计算误差的

因此我们就想，

是否可以从点估计出发

构造一个区间

并且以较大的概率保证该区间

包含未知参数的真值

这样对未知参数的估计是不是就

更具有实际意义呢

接下来，我们就来介绍参数估计的

另一种方法

区间估计法

首先我们来看区间估计的定义

设(𝑿𝟏,𝑿𝟐,⋯,𝑿𝒏)是取自总体的样本

θ为总体分布的一个未知参数

θ1和θ2是两个统计量

如果对于一个给定的数字𝟏−𝜶，有

这个式子成立

即，θ位于θ1和θ2

之间的概率为𝟏−𝜶

我们就称随机区间(θ1,θ2)为

未知参数θ的一个置信度为

𝟏−𝜶的置信区间

其中θ1称为置信下限

θ2称为置信上限

𝟏−𝜶称为置信度或置信水平

关于这个定义我做两点注释

一

随机区间(θ1,θ2)

以𝟏−𝜶的概率，包含

待估参数θ的真实值

置信度𝟏−𝜶反映了

区间估计的可靠程度

例如

当𝜶等于0.05时，置信度

为0.95

那么这里的置信度为0.95

是什么意思呢

我们可以这样理解

如果重复抽样100次，会得到

100个具体的区间

那么

其中包含真值的

有95个左右

一个区间估计的置信度越大就越可靠

但是构造一个置信度很大的区间

并不是一件很困难的事

比如，在刚才的例子中

将大学生平均身高估计为一米到两米之间

这个估计可靠度非常高

但是它的范围太大

没有任何意义

所以，一个好的区间估计

还需要有一个精度的要求

区间的

精度的标准

不止一个，常用的标准是区间长度

即区间的范围不能太大

区间长度θ2-θ1反映了

区间估计的精度，长度越小精度越高

在实际问题中

我们自然希望区间估计的

精度和置信度都很大

那么

能否同时提高精度和置信度呢

事实上

在给定样本容量之后

如果置信度变高

𝟏−𝜶就会变大，相应的区间变长

精度变低

反之，如果

精度高的话就会导致区间长度变短

从而𝟏−𝜶变小，置信度也就变低了

因此

置信度与精度

两者相互制约

那么该怎样来解决这样的矛盾呢

统计学家Neyman给出了这样的建议

先保证置信度，再在这个前提下

尽量提高精度

也就是说

我们先给定置信度𝟏−𝜶

再尽量缩小区间长度

下面我们来看具体的例子

设总体X

服从正态分布

其中σ²已知，μ未知

(𝑿𝟏,𝑿𝟐,⋯,𝑿𝒏)是取自总体X样本

X表示样本均值，求总体均值μ的

置信度为𝟏−𝜶的置信区间

我们来分析一下这个问题

我们要寻找一个以𝟏−𝜶的概率

包含μ的区间，需要构造一个

含有μ的统计量

并且这个统计量的分布

要求已知，根据前面的抽样分布定理

我们知道

样本均值

服从正态分布

期望不变方差变为原来的1/N

从而

U等于X减μ除以σ比上根号n

这个统计量就服从标准正态分布

我们做区间估计就是寻找

a和b

使得U这个统计量在ab之间的

概率为𝟏−𝜶

我们画出U这个统计量的

分布密度函数图

我们要使得中间阴影部分的

面积为𝟏−𝜶

还要尽量保证

这个区间的长度最小

由于统一量U的密度图形为单峰对称

要保证中间的面积为𝟏−𝜶

而且长度尽量短，很显然

我们应该对称着取区间端点

也就是说

使得中间阴影部分的面积为𝟏−𝜶，

而两边空白部分的面积都为α/2

这时a和b关于原点对称

当b等于负a时，置信区间的长度最短

这时我们可以根据分位数的概念

得到a等于uα/2

又等于负的u𝟏−𝜶/2

而b等于负a等于u𝟏−𝜶/2

由此我们得到

u这个统计量绝对值小于

u𝟏−𝜶/2的概率，等于𝟏−𝜶

我们将绝对值去掉

并从中解出

未知参数μ

就可以得到μ位于这个区间的

概率为𝟏−𝜶

因此

我们就得到了总体均值μ的置信度

为𝟏−𝜶的置信区间

为下面这个式子

那么我们回到刚才的例题

我们来求一下男生身高μ的置信度

为0.95的置信区间

根据我们刚才分析的结果

置信度为𝟏−𝜶的置信区间

是这个式子，我们只需要代入数据

就可以求得

男生身高的置信度为0.95的

置信区间

为(168.8,181.2)

这节课我们从点估计的不足出发

引出了置信区间的概念

同时给出了单个正态总体

均值的置信区间为

下次课我们讨论正态总体参数估计的

其它情况

这节课就讲到这里，谢谢大家