1.3.1 古典概型在线视频

大家好

我们继续学习概率的古典定义和几何定义

在这部分内容中

大家要明确什么是古典概型，几何概型

学会用概率的古典定义，几何定义

计算事件发生概率的方法

我们来学习第一章第三节古典概型

与几何概型当中的第一个问题

古典概型

通过这部分内容的学习

大家要明确什么是古典概型

学会用概率的古典定义

计算事件发生概率的方法

首先我们来看什么是古典概型

如果随机试验E具有有限性，即样本空间

Ω中只有有限个样本点

二，具有等可能性，即每个样本点

发生的可能性都是相同的

则我们就称E为古典概型

比如抛一枚硬币观察正反面出现的情况

抛掷一枚骰子观察出现的点数

这些都是属于古典概型的问题

古典概型是概率论发展初期的

主要研究对象

在古典概型当中

我们用古典概率来计算事件发生的概率

下面我们看什么是古典概率

设E为古典概型

Ω为样本空间，A为任意的事件

则A发生的概率就可以写成是

A当中包含的样本点的个数比上样本空间

当中包含的样本点的总数

这就是概率的古典定义

我们可以利用概率的古典定义

来计算事件发生的概率

下面我们举一个例子

一个袋中有八个球

其中有三个红球

编号是一到三号，五个黄球编号是四到八号

我们从中随机摸一个球

记A表示摸到的是黄球

来求A发生的概率

首先我们要确定样本空间当中

含有的样本点的个数

我们从八个球中随机地摸一个球

显然样本空间当中有八个样本点

而A当中有五个样本点

由古典概率，A的概率是等于

八分之五的

可以看到

用古典定义求概率的问题，就是算数的问题

这里我们经常要借助于加法原理

乘法原理以及排列和组合的方法

来进行计算

我们下面呢

来复习一下这些内容

首先来看加法原理，完成某件事情

共有n类方法

而每类方法中又有mi不同的方法

则完成这件事儿共有m1加上m2

一直加到mn种方法

举个例子来说

从北京到海口有两种途径

分别是坐火车或者是坐飞机

而坐火车有六种路线

坐飞机有三种路线

那么从北京到海口

有多少种不同的方式呢

显然

完成这件事儿是分类的

它是符合

加法原理的

所以共有六加三种

等于九种方式

我们可以看到做某件事儿

如果需要分类来进行完成

就可以考虑用加法原理来解决

接下来看乘法原理

完成某件事情需要先后分成n个步骤

每个步骤又有mi种不同的方法

则完成这件事儿共有m1乘以m2

一直乘到mn种不同的方法

我们来举个例子

从北京到杭州有六种方法，从杭州到海口

有三种方法，则从北京到海口

有多少种不同的方法呢

显然

从北京到海口是分布来完成的，那么第一步

从北京到杭州有六种方法

而第二步，从杭州到海口有三种方法

我们由乘法原理可以知道从北京到海口

共有6乘以3等于18种不同的方法

我们看到，做某件事需要分布骤来完成

就可以考虑用乘法原理来进行解决

下面我们来看排列和组合的计算公式

所谓的排列就是指从n个不同的元素中

随机的抽取k次

每次一个，按一定的顺序排成一列

我们可以把它分成有重复的排列

和无重复的排列

有重复的排列，排列的总数是n的k次方

而无重复的排列，排列的总数是

n!比上(n-k)!的形式

下面我们来看组合的内容

组合是指从n个不同的元素中任取k个

我们不管顺序

所以呢

一共有Cnk种方法

并且排列和组合之间有这样的一些

转化的计算公式，这些排列和组合的

计算公式

在今后我们计算事件发生的概率

当中是非常有用的

在古典概率的计算中

我们要注意，分清所研究的问题是分类的

还是分步的，是排列问题还是组合问题

这是非常关键的

下面我们就结合这些原理和方法

给大家介绍两种古典概型的基本模型

先来看抽球模型

我们来举一个例子

这袋中有a只白球和b只黑球

现任取n只球，n是大于等于1

小于等于a+b的，求n只球中恰有

k只黑球的概率

这里k大于等于0小于等于b

我们来考虑

不放回的这种抽取方式

如果我们设A表示取出的

n只球中恰有k只黑球

首先，考虑样本空间中含有样本点的个数

我们在a加b只球中

任取n只球是不考虑顺序的

所以呢，这是组合问题

样本空间当中含有样本点的个数

就是

而A事件是要分步完成的

我们需要先在b个黑球中任取k个黑球

再在a个白球中任取n-k个白球

由乘法原理，A中含有样本点的

个数是

Cbk再乘以Can-k的形式

那么我们由古典概率可以获得

A的概率，通常我们称这个公式为

超几何分布公式

对于这个问题，我们还可以再考虑

有放回的方式来进行抽取

仍然设A表示取出的

n只球中恰有k只黑球

由于是在a加b个球中有放回地抽取n次

每次取一个球

因此，是分步的问题

我们可以用乘法原理得到样本空间当中

含有的样本点的个数，是

(a+b)的n次方

同样的

我们再利用乘法原理，A当中含有样本点的

个数是Cnk乘以b的k次方

再乘以a的n-k次方

这样的形式

那我们由古典概率也可以得到A的概率

我们将这个公式整理一下

计算可以得到，A的概率它等于Cnk再乘以

b比上(a+b)的k次方

再乘以

a比上(a+b)的n-k次方

我们称这个公式为二项概率公式

下面我们再来看一个抽球模型的例子

设袋中有a只白球和b只黑球，现随机

一只只抽出，求第k次抽到黑球的概率

我们考虑不放回的这种方式

首先我们来表示事件，设A表示

第k次取到黑球，设球都是不同的

我们编以不同的序号

考虑样本空间当中含有样本点的个数

我们将a加b只球一只一只取出

相当于把a加b只球排在桌面的

a加b个位置上

这显然是分步的问题

那么第一个球

它有a加b种排法

而第二个球

有a加b-1种排法，依次的

我们由乘法原理可以知道，样本空间当中

含有样本点的个数就是a加b的

阶乘的形式

而a的发生相当于在第k个位置上

放了一只黑球，则我们在b个黑球中

任取一个球放在第k个位置上

而剩下的a加b-1个球在

a加b-1个位置上是任意放置的

由乘法原理，A当中含有样本点的个数

就是Cb1再乘以

(a+b-1)!的形式

由古典概率

我们整理可以得到a发生的概率

它等于b比上a+b的形式

这里我们可以看到

这种不放回的抽球模型当中

第k次抽到黑球的概率

是与次序k无关的

这说明什么问题呢

这说明在实际当中，抽签和抓阄问题的

公平性的问题

这个问题我们在后边的条件概率当中

还会进一步的去讨论，去讨论抽签的

公平性的问题

好，这是抽球模型

下面呢

我们来介绍第二种基本模型，分房模型

或者叫盒子模型

我们来看一个例子

设有r个小球

每个小球都等可能地放到

n个不同的盒子中的任意一个

每个盒子所放的球数是不限的

我们来求下列事件发生的概率

首先，考虑样本空间当中含有样本点的个数

因为盒中放球的个数是没有限制的

所以每个球都有n种放法

那么，我们根据乘法原理，样本空间当中

含有样本点的个数就是n的r次方个

考虑事件A，A表示指定的r个盒子

每个各有一球

由于盒子是指定的，就相当于

r个盒子放到了桌面上

那么第一个球有r种方法

第二个球

有r-1种方法，依次下去

第r个球就有一种方法

那么我们由乘法原理，A当中含有样本点的

个数显然是r的阶乘

考虑事件B

恰好有r个不同的盒子

每个各有一球

这时我们首先要把盒子选出来

n个盒子任选r个那么有Cnr种方法

我们再把球放进去，就又回到了事件A上了

那么有r!种方法

我们由乘法原理，可以得到B当中含有

样本点的个数是Cnr乘以r!

接下来考虑事件C

在某个指定的盒子中

有k个球的问题

我们先从r个球中取出k个

放到指定的盒子当中

那么会有Crk种方法

则还剩r-k个小球

放到n-1个盒子当中

那么每个盒子中球数是不限的

只要我们会有n-1的r-k次方种方法

由乘法原理

C当中含有样本点的个数就是

Crk乘以(n-1)的r-k次方

我们由古典概率可以获得

A、B、C发生的概率

这就是分房模型

或者叫盒子模型

那么这种分房模型

还有这个抽球的问题

它的应用都是十分广泛的啊

我们下面来看一下这个盒子模型

或者叫分房模型的

它的一个应用

我们来介绍一个生日问题

设某班有n个人

问其中至少有两人生日

在同一天的概率

我们首先来表示事件

设A表示

至少有两人生日

在同一天

那么我们可以看到A事件可能是

两个人生日在同一天也可能是三个人

也可能是n个人

生日在同一天是一个比较复杂的事件

但是我们发现这里出现了至少两个字

所以呢

我们可以考虑用对立事件来解决这个问题

我们设

A的对立事件

表示n个人的生日各不相同

这里如果我们将一年的365天

看做是365个盒子

那么n个人看作是n个小球

则求n个人生日各不相同的概率的问题

就是刚才我们分房模型当中的

第二种情况

也就是恰好有r个不同的盒子

每个盒子各有一球的问题

这样的话

我们将B事件发生的概率表达式

当中的n换成是365

而这个r呢

我们换成n就可以得到A的对立事件

发生的概率的问题

再进一步的利用对立事件之间的关系

我们可以得到A事件发生的概率

我们可以看到这个概率值是跟n有关系的

我们说当n取20的时候

这个概率是等于0.411的

当n等于60时

这个概率就可以达到0.994

所以说，我们说如果一个班级的人数

它是60人的话

那么这个班级当中至少有两人生日

在同一天的概率是非常大

好，这就是生日问题

总结一下这部分内容

我们主要学习了古典概型

概率的古典定义，介绍了两种古典概率的

基本模型，抽球模型和分房模型

在利用古典概率计算事件发生的

概率的时候，要注意加法原理

乘法原理及排列组合内容的运用

希望大家能够灵活的运用这些方法

求事件发生的概率

好，这部分内容就学习到这里，谢谢大家