1.5.2 n 重伯努利试验在线视频

大家好

我们来学习事件的独立性中的

n重伯努利试验

在这部分内容中

大家要明确什么是伯努利试验

什么是n重伯努利试验

并会用二项概率公式，计算事件发生的概率

我们首先来看什么叫伯努利试验

如果一个试验只有两个可能的结果

一个把它记作成功

另外一个把它记作失败

那么我们就把这样的试验

叫做是伯努利试验

也把它称为是成败试验

比如

掷一枚硬币一次

我们观察

它出现正反面的情况

那它可能的结果只有两种

一个是正面

一个是反面

再比如，掷一个骰子一次

那么恰为一点和不是一点，也可以看作是

这个试验的两个可能的结果

从52张牌中取1张

这个试验也可以把它看作是

只有两个可能结果的试验

一种结果是取到红牌

另外一种结果是取到黑牌

如果我们把伯努利试验独立的重复n次

就可以得到n重伯努利试验

比如说掷一枚硬币n次

掷一颗骰子n次

从52张牌中有放回的方式取n次

每次一张

这些都是n重伯努利试验

我们在伯努利试验当中

如果将成功记成A，失败记成A的对立事件

即A的概率等于小p，A的对立事件的

概率等于1-p的形式

那我们关心n重伯努利试验当中

成功发生k次的概率

对于这样的一个事件发生的概率

我们可以用如下的计算公式来进行运算

我们把在n重伯努利试验当中

成功发生k次的概率，把它记成是

小Pnk的形式

那么它可以写成是Cnk再乘以

p的k次方再乘以1-p的n-k次方的

形式

这里k取的是0，1，2一直到n的形式

我们也可以把它记成这样的符号

b(k;n,p)的形式

那我们把这里边出现的这个小p

它实际上就是A出现的概率

我们把这个计算

成功发生k次的概率的计算公式

叫做是二项概率公式

因为这个公式当中的表达式

它实际上就是

[p+(1-p)]的n次方

这样的一个二项展开式当中的

一般项的形式

所以我们把它叫做是二项概率公式

那对于成功发生k次的概率

它有如下的一些性质

当我们这个公式当中的k取0取1

那么取0就表示成功零次

取k呢就表示成功K次

取1就表示成功一次的意思

那么这些概率的和，它是等于一的

我们在n重伯努利试验当中还关心

成功至多发生k次的概率

它可以写成如下的计算公式

那么这个计算公式

它是怎么得到的呢

我们分析一下

说至多成功k次

那么就是成功零次，成功一次

或者是成功两次，一直到k次

而成功零次，成功一次

还有成功K次

这些事件显然是互斥的关系

那么它们的并，就可以写成它们的和的形式

那我们由二项概率公式代入， 就可以

得到这样的一个计算公式

同样的

我们还关心在n重伯努利试验当中

至少成功k次的问题

那么至少成功k次的概率

我们可以把它写成这样的形式

而至少成功k次

它实际上就是成功k次，成功k+1次

或者是成功n次的问题

我们把它写成并的形式

而这些事件又是互斥的关系

它们的并也可以写成它们的和的形式

这样我们就得到了这些

做和的形式

那我们再代入二项概率公式，就可以

得到这样的一个表达形式

这样我们就知道了

在n重伯努利试验当中，我们去计算

事件发生概率的一些计算公式

好，下面呢

我们利用这些计算公式

来计算事件发生的概率

抛一颗骰子100次

求恰有40次点数是小于四的概率

我们来分析一下

我们抛骰子一次

显然点数小于四或者是点数是大于等于四的

可以有这样的两种情况

如果我们把点数小于四看作是成功

把点数大于等于四看作是失败的话

那显然抛骰子一次

是一个伯努利试验

那么

在这个试验当中，成功的概率

它是等于0.5的，这是由古典概率得到的

现在我们求抛骰子100次

恰有40次点数小于四的

这种概率

那我们看抛骰子一次

是伯努利试验

那么抛100次

就是100重的伯努利试验

那么求恰有40次点数小于4

点数小于4是成功的意思

所以，这个概率的问题就是

100重伯努利试验当中，成功发生40次

这样一个事件发生的概率的问题

那我们由二项概率公式

我们把k取成40，把n取成100

p取成0.5，代入可以计算

获得这个事件发生的概率

那我们在实际问题当中要去研究问题

一定要看清楚一次试验

分清成功和失败以及成功的概率是什么

然后呢

再考虑这个n次试验的问题

我们再来看一个例子

从装有a个白球和b个黑球的盒中

有放回的方式取n次

求n次

恰有k次黑球的概率

我们来看这样的一个问题

我们来分析一下

取一次球的话

那么要么取到是白球

要么取到的是黑球

如果我们把取到黑球看作是成功

那取到白球就是失败

所以取一次球，看是黑球还是白球的问题

就是一个伯努利试验的问题

那么

在这个伯努利试验当中，成功的概率

它显然可以用古典概率来求

它等于a+b分之b

我们要求的n次当中，恰有k次黑球的概率

那就是

n重伯努利试验当中，成功恰好发生k次的

这样的事件发生的概率的问题

所以我们可以用二项概率公式来进行求解

这样就得到了有放回的方式抽取n次

n次中恰有k次黑球这件事发生的概率

这个就是二项概率公式

我们再来看一个问题

一个完全不懂阿拉伯语的人去瞎懵一个阿拉伯语考试

假设考试有五道选择题

每题给出n个结果供选择

其中只有一个结果是正确的

试问他居然能至少答对三题

从而及格的概率

这也是一个实际问题啊

那我们要解决这个问题的话

我们首先来看

我们对于每道题来说

要么是答对的

要么是答错的，对吧

所以对于每道题来说啊

答对和答错这个实际上

就是一个伯努利试验

那么

如果把答对看作是成功

把答错看作是失败的话

那成功的概率显然等于n分之一

因为我们给出了n个结果供选择

其中只有一个结果是正确的

所以

小p的概率是等于n分之一的

而我们假设考试题呢

是有五道题的，那么每一道题

都是有对有错的对吧

所以呢

做五道题的话就相当于

做了五重的伯努利试验

那么我们在这五重的伯努利

试验当中，什么啊

至少答对三题

那就是至少成功三次的问题呗

那我们要想求这个事件发生的概率

我们是不是还是这个利用

二项概率公式来进行求解啊

那也就是说成功至少发生三次，这样的问题

我们可以把这个概率写成这样的形式

好了，那么在这个概率的表达形式当中

大家看一下啊

如果n取不同的值

那我们就可以得到不同的概率值

现在我们不妨

取n=3

我们代入进去，可以计算这个概率

等于0.2099

我们再取n=4

代入进去可以计算这个概率

等于0.1035

大家发现了什么问题

我们看到这个

4是不是比3大呀

对吧

也就是说你选项增加了之后

那么这个人靠瞎懵及格的概率

是不是变小了

对吧

这实际上具有一般性啊

如果我们把n取得更大

你会发现这个概率会变得更加的小

所以，显然随着n的增大

靠瞎懵及格的概率

它就变小了

那这说明什么问题啊

说明我们在学习的时候一定要脚踏实地

只有认真的学习才能取得好的成绩

靠瞎懵是不能取得好成绩的

这就是这个实际问题啊

那我们今天这部分内容

我们就讲到这里，总结一下，我们学习了

伯努利试验，n重伯努利试验的概念

以及利用二项概率公式

求n重伯努利试验中成功

发生k次的概率的方法

大家在实际问题中要会判断试验

是不是n重伯努利试验

这部分内容就学习到这里，谢谢大家