当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第四章随机变量的数学期望 > 第3节协方差和相关系数 > 4.3.2 相关系数

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4.3.2 相关系数在线视频

下一节:4.4 矩和协方差矩阵

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4.3.2 相关系数课程教案、知识点、字幕

大家好

上次课我们学习了协方差

接下来我们学习相关系数

首先，是相关系数的定义

XY为随机变量，称X和Y的

协方差比根号D(X)乘以根号D(Y)

为X与Y的相关系数，通常用

ρ(X,Y)来进行表示

即X和Y的相关系数，等于X和Y的协方差

比根号D(X)乘以根号D(Y)

X和Y的相关系数是描述随机变量

X和Y之间线性关系的数字特征

当X和Y的相关系数的绝对值越大

说明X和Y的线性关系越显著

接下来我们学习相关系数的性质

性质1，X和Y的相关系数的绝对值

小于等于一

性质2

如果相关系数的绝对值等于一

充分必要存在常数a与b

使得Y等于aX

加上b

也就是说

相关系数等于正1

充要条件是存在常数

a，b

其中a是大于零的常数

使得Y等于aX

加上b

相关系数等于-1，充要条件为

存在常数a，b

其中a是小于零的常数

使得Y等于aX

加上b

我们对相关系数进行计算的时候

如果相关系数等于零

则称X与Y是不相关的

于是我们可以得到，X与Y不相关

充分必要相关系数等于零

充分必要XY的协方差等于零

充分必要X加上Y求方差

等于X方差加Y的方差

同时也等于，X减去Y求方差

如果X与Y相互独立

则X与Y不相关

反之不成立

特别是XY服从二维正态分布时

那么X与Y的独立性和相关性

就是等价的命题

也就是XY服从二维正态分布

X与Y不相关充分必要ρ等于零

充分必要X与Y

相互独立

接下来我们看例题

已知X的方差等于4，Y的方差等于9

X与Y的相关系数等于0.5

求，X加上Y的方差以及X减去Y的方差

根据方差的性质，X加上Y的方差

等于X方差加Y的方差加二倍的

XY的协方差

X减去Y求方差，等于X方差加Y的方差

减去二倍的X与Y的协方差

于是需要求出X与Y的协方差

求协方差，于是我们采用相关系数

X和Y的协方差等于根号D(X)乘以根号D(Y)

乘以X和Y的相关系数

于是，X和Y的协方差等于

2×3×0.5=3

从而得，X加上Y求方差，等于

4+9+2×3=19

X减去Y求方差，等于

4+9-2×3=7

接下来我们看第二道例题

已知X1，X2，X3，X4

为两两不相关的随机变量

均值均为0，方差均为1

试着求X1加X2

与X3加X4的相关系数

求X1加X2与X2加X3的相关系数

根据相关系数的计算，要求相关系数

首先需要求协方差

第一问，需要求X1加X2

与X3加X4的协方差

根据协方差的性质，等于X1和X3的

协方差加X1和X4的协方差加

X2和X3的协方差加X2和X4的

协方差

因为X1，X2，X3，X4两两不相关

所以X1，X2，X3，X4

两两的协方差均为零

所以X1加X2与X3加X4的

协方差等于零

从而，X1加X2与X3加X4的

相关系数等于零

看第二问

求X1加X2与X2加X3的相关系数

同样需要求，X1加X2与

X2加X3的协方差

于是，等于X1和X2的协方差加

X1和X3的协方差加X2和X2的

协方差加X2和X3的协方差

因为两两不相关

所以X1和X2的协方差等于零

X1和X3的协方差等于零

X2和X3的协方差等于零

剩下X2和X2的协方差

根据协方差的性质

我们已经知道X2和X2的协方差等

于X2的方差，X2的方差等于1

要求相关系数，我们还得要求

X1加X2的方差开方，乘以X2加

X3的方差开方

根据方差的性质得，根号X1的方差

加X2的方差，乘以根号X2的方差

加X3的方差

方差均为1 ，所以方差等于2

于是可以得到，X1加X2与

X2加X3的相关系数等于1/2

接下来我们对本次课进行总结

这次课我们学习了相关系数

相关系数ρ等于X和Y的协方差

比上根号D(X)乘以根号D(Y)

相关系数的绝对值小于等于1

如果相关系数的绝对值等于1，充分必要

存在常数a，b，使得Y等于aX

加上b

X与Y不相关，充分必要相关系数等于零

充分必要协方差等于零

本次课到此结束

谢谢大家

概率论与数理统计课程列表：

第一章概率论的基本概念

-第1节随机事件

--1.1.1 随机试验、样本空间、随机事件

--1.1.2 事件的关系和运算

--1.1 作业

-第2节概率的定义和性质

--1.2.1 随机事件的频率及概率

--1.2.2 概率的性质

--1.2 作业

-第3节古典概型与几何概型

--1.3.1 古典概型

--1.3.2 几何概型

--1.3 作业

-第4节条件概率

--1.4.1条件概率的概念和概率的乘法公式

--1.4.2 全概率公式

--1.4.3 贝叶斯公式

--1.4 作业

-第5节随机事件的独立性

--1.5.1 两个事件、三个事件及多个事件的独立性

--1.5.2 n 重伯努利试验

--1.5 作业

-本章测试

--第一章测试

第二章随机变量及其概率分布

-第1节随机变量与分布函数

--2.1.1 随机变量

--2.1.2 分布函数

--2.1 作业

-第2节离散型随机变量

--2.2.1 定义与基本概念

--2.2.2 0-1分布和二项分布

--2.2.3 泊松分布

--2.2 作业

-第3节连续型随机变量

--2.3.1 定义与基本概念

--2.3.2 均匀分布和指数分布

--2.3.3 正态分布

--2.3 作业

-第4节随机变量函数的分布

--2.4.1 离散型随机变量函数的概率分布

--2.4.2 连续型随机变量函数的概率分布

--2.4 作业

-本章测试

--第二章测试

第三章二维随机向量及其分布

-第1节二维随机向量及其分布函数

--3.1 二维随机向量及其分布函数

--3.1 作业

-第2节二维离散型随机向量

--3.2 二维离散型随机向量

--3.2 作业

-第3节二维连续型随机向量

--3.3.1 基本概念与性质

--3.3.2 二维连续型随机向量的例题

--3.3.3 二维均匀分布与二维正态分布

--3.3 作业

-第4节条件分布与随机变量的独立性

--3.4.1 条件分布

--3.4.2 随机变量的独立性

--3.4 作业

-第5节随机向量函数的分布

--3.5.1 离散型随机向量函数的分布

--3.5.2 连续型随机向量函数的分布

--3.5 作业

-本章测试

--第三章测试

第四章随机变量的数学期望

-第1节数学期望

--4.1.1 离散型随机变量的数学期望

--4.1.2 连续型随机变量的数学期望

--4.1.3 随机变量函数的数学期望

--4.1.4 数学期望的性质

--4.1 作业

-第2节方差

--4.2.1 方差的定义及性质

--4.2.2 三种离散型随机变量的方差

--4.2.3 三种连续型随机变量的方差

--4.2.4 切比雪夫不等式

--4.2 作业

-第3节协方差和相关系数

--4.3.1 协方差

--4.3.2 相关系数

--4.3 作业

-第4节矩和协方差矩阵

--4.4 矩和协方差矩阵

-本章测试

--第四章测试

第五章大数定律和中心极限定理

-第1节大数定律

--5.1.1 依概率收敛和伯努利大数定律

--5.1.2 切比雪夫大数定律和辛钦大数定律

--5.1 作业

-第2节中心极限定理

--5.2.1 独立同分布的中心极限定理

--5.2.2 De Moivre-Laplace 中心极限定理

--5.2 作业

-本章测试

--第五章测试

第六章数理统计的基本概念

-第1节数理统计的基本问题

--6.1 数理统计的基本问题

-第2节总体、样本和统计量

--6.2 总体、样本和统计量

--6.2 作业

-第3节抽样分布

--6.3 抽样分布

--6.3 作业

-第4节抽样分布定理

--6.4 抽样分布定理

--6.4 作业

-本章测试

--第六章测试

第七章参数估计

-第1节参数点估计

--7.1.1 矩估计法

--7.1.2 最大似然估计法

--7.1.3 估计量的评选标准

--7.1 作业

-第2节区间估计

--7.2.1 区间估计的概念和术语

--7.2.2 正态总体参数的区间估计

--7.2 作业

-第3节非正态总计参数的区间估计

--7.3 非正态总体参数的区间估计和单侧置信区间

--7.3 作业

-本章测试

--第七章测试

第八章假设检验

-第1节假设检验的基本概念

--8.1.1 假设检验的思想和方法

--8.1.2 假设检验的形式和两类错误

--8.1 作业

-第2节正态总体参数的假设检验

--8.2.1 正态总体均值的假设检验（方差已知）

--8.2.2 正态总体均值的假设检验（方差未知）

--8.2.3 正态总体方差的假设检验

--8.2.4 两独立正态总体均值相等的假设检验

--8.2.5 两独立正态总体方差相等的假设检验

--8.2 作业

-第3节非正态总体参数的假设检验

--8.3 非正态总体参数的假设检验

-本章测试

--第八章测试

期末考试

-期末考试

4.3.2 相关系数笔记与讨论

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