2.3.2 均匀分布和指数分布在线视频

大家好

常见的连续型随机变量，这部分内容

将要重点讨论三个重要的分布

分别为均匀分布，指数分布和正态分布

今天我们主要讲这一部分内容的

前两个分布，均匀分布和指数分布

首先我们来看均匀分布

若连续型随机变量𝑋具有概率密度

在区间[𝑎,𝑏]上是常值

且恰好为区间长度分之一

记𝑏减𝑎分之一

其它为0

我们把具有这样概率密度的随机变量𝑋

称为在区间[𝑎,𝑏]上服从均匀分布

记为大𝑋波浪线

大𝑈[𝑎,𝑏]

均匀分布的密度曲线，如右图的形式

由概率密度可知

随机变量𝑋值在区间[𝑎,𝑏]上取值

且在每一点附近取值概率的大小相同

因此

区间[𝑎,𝑏]上服从均匀分布的随机变量

在区间[𝑎,𝑏]上是等可能取值的

也就是几何概型

实质上均匀分布是几何概型的

一个数学模型

例如𝑋服从区间[𝑎,𝑏]上的均匀分布

对于区间[𝑎,𝑏]的任意子区间[𝑐,𝑑]

随机变量在[𝑐,𝑑]上取值的概率

也就是大𝑋大于等于𝑐

小于等于𝑑的概率

等于概率密度在[𝑐,𝑑]上的积分

这个被积函数是一个常值

结果就等于𝑏减𝑎分之区间的长度𝑑减𝑐

恰好等于两段区间的长度比

𝑑减𝑐比上𝑏减𝑎

再一次说明均匀分布

实际上就是我们的几何概型

下面我们来看另一例题

若随机变量𝑋在区间[−4,6]上

服从均匀分布

则方程𝑥²加上𝑥乘上

大𝑋加1等于零

有实根的概率为多少

由于均匀分布的区间长度是10

由均匀分布的定义，随机变量𝑥的

概率密度就等于区间[−4,6]上

为常值十分之一

其它为零

方程有实根的概率

实际上就是Δ大于等于0的概率

而Δ就等于𝑏²−4𝑎𝑐

那么这个概率就是𝑏²−4𝑎𝑐

大于等于0的概率

我们把𝑥²−4大于等于0的概率

可以写成大𝑋小于等于−2的概率

加上大𝑋大于等于2的概率和的形式

由概率密度的积分表示为概率密度函数

从负无穷到−2的积分

加上2到正无穷的积分

那么有效的非零积分为−4到−2

十分之一的积分，还有2到6

十分之一的积分

这两个积分的结果为五分之三

接下来我们来看指数分布

若随机变量𝑋具有概率密度

𝑥大于等于零时

为𝜆倍的𝑒^(−𝜆𝑥)

其它为零，其中参数𝜆

大于0

我们把具有这样概率密度的随机变量𝑋

称为服从参数

为𝜆的指数分布

记为𝑋~𝐸(𝜆)

𝜆是大于0的一个

参数

概率分布密度曲线如右图的形式

在第一象限是衰减的这样一个曲线

以𝑥轴为渐近线

指数分布的分布函数可以由

概率密度积分求得

分布函数为𝑥大于等于0时，1减𝑒^(−𝜆𝑥)

其它为零

对于指数分布的概率密度和分布函数

要注意区分，𝑥大于等于零时，概率密度

为

𝜆倍的𝑒^(−𝜆𝑥)

分布函数为

1减𝑒^(−𝜆𝑥)

指数分布常用来做各种寿命的近似分布

例如动物的寿命

电子元件的使用时间

服务系统的服务时间等等

都近似服从指数分布

关于指数分布

还有另外一种等价的定义形式

若随机变量𝑋的概率密度为

𝑥大于等于0时为

𝜃分之一倍的

𝑒的负的𝜃分之一倍的𝑥

其它为零

其中𝜃大于0，则称𝑋服从

参数为𝜃的指数分布

这个定义与前边比较

就是把前边的参数

𝜆写成了𝜃分之一

类似的分布函数为，𝑥大于等于0时

为𝜃分之一倍的𝑒的负的𝜃分之一𝑥�

𝑥小于0时为0

好，下面我们来看例题

修理某机器所用时间𝑋，服从参数

𝜆等于0.5的指数分布

求某次机器出现故障后

在一小时内修好的概率

随机变量𝑋服从参数为

0.5的指数分布

因此

随机变量𝑋的概率密度函数就等于

𝑥大于等于0时，0.5倍的

𝑒^(−0.5𝑥)，其它为0

相应的，𝑋的分布函数，就是𝑥

大于等于0时为1减𝑒^(−0.5𝑥)

其它为0

由于随机变量𝑋表示修理

某机器所用的时间

因此一小时内修好的概率就可以表示为

𝑋大于0小于1的概率

这个概率可用概率密度积分来计算

也可用分布函数来表示

很显然，用分布函数来表示比较简单

这个概率就等于分布函数在1点的

函数值减去在0点的函数值

带入分布函数中由1减𝑒^(−0.5)

减0，等于1减𝑒^(−0.5)

下面我们来看另一例题

设

𝑋为某电子元件使用时间，服从参数

为𝜆的指数分布

求已知电子元件使用𝑠小时后

再使用𝑡小时的概率

由题意，𝑋的分布函数为𝑥大于

等于0时，等于1减𝑒^(−𝜆𝑥)

其它为零

已知使用𝑠小时后再使用𝑡小时的概率

是一个条件概率，表示为大𝑋

大于𝑠发生条件下

大𝑋大于𝑠+𝑡发生的

这样一个条件概率的形式

按条件概率计算公式，等于

两个事件交的概率比上

大𝑋大于𝑠的概率，显然

大𝑋大于𝑠加𝑡，比大𝑋大于𝑠范围小

分子两事件的交事件

就等于大𝑋大于𝑠加𝑡

从而等于大𝑋大于

𝑠加𝑡的概率比上

大𝑋大于𝑠的概率

分子分母用分布函数表示并带入有

1−𝐹(𝑠+𝑡)比上1−𝐹(𝑠)

等于

𝑒的负𝜆(𝑠+𝑡)

比上𝑒^(−𝜆𝑠)

消去𝑒^(−𝜆𝑠)这个因子

等于𝑒^(−𝜆𝑡)

𝑒^(−𝜆𝑡)又可以表示为1−𝐹(𝑡)

等于大𝑋大于𝑡的概率

右边这个概率

是与𝑠的大小无关的

由此例题可以说明

已知使用𝑠小时后再使用

𝑡小时的概率和直接使用𝑡小时的

概率是一样的

也就是与之前使用了多少小时无关

我们常常把指数分布所具有的这种特性

称为无记忆性或无后效性

有时也常说指数分布是个永远年轻的分布

今天我们主要讲了均匀分布和指数分布的

概率密度和分布函数

以及用两个分布计算概率问题

均匀分布可以作为等可能

也就是几何概型的概率模型，指数分布

常用来作为各种寿命和排队模型中的

服务时间的近似分布

且指数分布就有一个有趣的性质

无记忆性

好，这一节就到这里

谢谢大家