3.1 二维随机向量及其分布函数在线视频

大家好

下面我们开始学习第三章

二维随机向量及其分布

首先问大家一个问题

我们通过上一章，已经比较系统的

掌握了一维随机变量的知识

那么我们为什么要研究二维随机向量呢

因为在我们实际生活中有一些试验

它的结果用一个变量是无法表达的

必须借助两个

甚至更多的变量来表现

比如

我们考察一个零件的质量

那么它的误差、光洁度、硬度

都是衡量其质量的指标

我们不可能说它的尺寸合格了

这个零件就算合格是不是

还有，如果我们考察某一个地区

某个年龄段儿童的健康状况

那么我们也不可能只用其身高

去衡量它的健康状况

我们需要考察更多的因素

对不对

所以我们说学习二维随机变量是有必要的

一维到二维是个质的变化

二维到

高维是量的变化

那么我们本章主要学习二维随机向量

对于本章内容

我们通过五节内容来学习

我们看一下五节的标题

会发现和上一章一维随机变量章节

标题是类似的

这也就提示我们

这两章知识密切相关

我们可以把上一章的知识结构和

学习方法借鉴到我们本章中

好了

下面我们来学习3.1节的内容

二维随机向量及其分布函数

我们在本节主要学习两个大问题

第一个就是什么是二维随机向量

也就是其定义

第二个呢

我们研究二维随机向量的分布函数

学习其性质

首先，我们看二维随机向量的定义

如果随机变量X和Y

是在同一个样本空间

Ω上的随机向量

那我们就称(X,Y)为

Ω上的二维随机向量

那么在这里呢

我们需要注意一下二维随机向量的写法

我们一般是用圆括弧

也就是小括号把X,Y括在一起

X,Y之间用逗号隔开

这就表示一个二维随机向量

还要注意一点

就是我们特别强调，只有定义在同一样本空间

上的两个变量，才可以构成

二维随机向量

那么我们看下面的一个例子

我们做一个试验，是同时掷两个骰子

如果我令X表示两个骰子的点数和

Y表示两个中的最大点数

那么我们的X和Y

显然都来自这一试验

所以按照定义

(X,Y)可以构成二维随机向量

那我们再看一个例子

如果我令X表示掷一个骰子的点数

Y表示掷一硬币一次，正面的次数

那么这里很明显

我们看呀，X和Y分别来自

两个不同的试验

那么按照随机向量的定义

X,Y不构成二维随机向量

对不对

通过这两个例子

我们也就发现啊

随机向量既要研究X和Y自身的分布

又要研究X,Y之间的关系

为什么呢

因为只有X和Y来自同一试验

X,Y之间才可能有关系

那如果

X,Y来自不同的试验

那么它们俩之间肯定是没有任何关系的

那么我们把它们俩放在一起研究

和分别研究X,Y，先后研究两次是

没有区别的

对吧

下面我们给出分布函数的定义

设(X,Y)是二维随机向量

对于任意的实数x和y

我们来定义一个二元函数 F(x,y)

那我们就称如下

的这个函数 F

为(X,Y)的联合分布函数

简称

分布函数

那么我们提醒大家呀

在学习二维的时候呢

一定要借鉴一维随机变量的知识

那么我们看这里的分布函数的定义

和前面一章一维随机变量分布函数定义

非常类似

只是多了一个变量Y，对不对

那么在这个定义中呢

我们要特别注意

p{X≤x,Y≤y}，

这个事件实际是两个事件的交的概率

也就是说{X≤x,Y≤y}

{X≤x,Y≤y}，表示的是两个事件的

交集

取交

然后再取概率，这个概率值我们就记作

函数F在x,y点的函数值

这就是

随机向量分布函数的定义

那么下面我们来看一下

F(x,y)，也就是分布函数值的意义

我们这里呢有一个观点

也就是

把这个二维随机向量看成一个随机点

那当然看成的是一个二维的点

把X看成这个点的横坐标

Y看成这个点的纵坐标

但由于X,Y取值随机

所以我们可以把它理解为一个随机点

那么我们把(x,y)

也看作一个点

只不过这个点中的 x,y

横纵坐标是事先固定好的

那我们可以看成一个固定的点

那么随机向量（X，Y）

落在（x,y）点左下区域

也就是如图的这个阴影区域

它的概率

其实就是谁呢

分布函数F的函数值

对不对

那这里我们也就给出了

F(x,y)函数值的

意义，也就是什么呢

随机点（X,Y）落在点

（x,y）左下区域范围内的

概率

这一观点在后面的学习中还是经常用到的

所以大家要特别注意

F(x,y)值的这个含义

接下来我们看

二维随机向量分布函数

也就是F(x,y)所满足的性质

那么它的性质呢

我们可以概括为四条

第一条

它的有界性

也就是F(x,y)的值在一定的范围内

首先它的值不会超过 1

也不会比 0 小

为什么呢

因为F的函数值它是一个概率值

当然一定在 0 与 1 之间

第二，F在正无穷正无穷处的值等于

1

那下面我们首先呢

看一下

它为什么等于 1

然后再来说一下这个式子所代表的意义

那么F在(＋∞,＋∞)处的值

其实就是在F的定义中

把x,y分别换成 +∞

+∞

那么这里其实就是一个

必然事件的概率

对不对

X≤+∞

同时Y≤+∞

这是一个必然事件

那概率当然等于 1

所以我们说这个

F(＋∞,＋∞)

等 1 ，是没有问题的

那么下面我们看看这个式子它的意义

是不是表示了随机点

(X,Y)落在全平面的概率啊

对吧，F(x,y)的值

不就是随机点落在一个

区域内的概率吗

那现在我们这个区域的一个左上顶点

是(＋∞,＋∞)，实际上

它的左下区域是不是就是全平面了

好，这是

这个有界性的前两个

那么其实

还有两条

就是F

在其中一个变量为取-∞的话

那么它的值都是 0

这个的证明呢，可以参考F(＋∞,＋∞)

等 1 的这个证明方法类似

那这里面应该对应的是

不可能事件的概率是 0 啊

这是这个有界性

下面我们看它的单调性与右连续性

我们不加证明的给出

F(x,y)关于x和y单调增且右连续

什么意思呢

也就是说这个二元函数F(x,y)

当我们把其中一个变量固定的时候

那当然就成了一个一元函数

那这个一元函数

是单调不减的

并且处处右连续的

其实这个性质

大家回想一下

我们上一章一维随机变量的时候

是不是也有类似的结果

对吧

这是我们的第二个性质

那么下一个性质是非负性

这个性质呢主要是想告诉我们

随机点落在一个矩形区域内的概率

如何计算的问题

好，那么这里边呢

利用大F函数值的意义，可以比较

容易的得到，随机点落在该矩形区内的

概率呢

用F在这个矩形区的四个顶点处

的函数值，做一个加减的组合

把它表示出来

如果从记忆角度的话

那其实可以理解为

最大的端点(x2,y2)

应该是这里面最大的

加上最小的端点

还有一个(x1,y1)

应该是这里面最小的，减去交叉的

交错的，x2大,y1小

x1小,y2大

这是我们的第三个性质

下面我们给出

在随机向量中的一个新概念，边际分布函数

我们知道对于二维随机向量(X,Y)来讲

它应该有分布函数

我们叫做联合分布函数

也就是F(x,y)

那么我们看这个二维随机向量

(X,Y)中它的两个分量x和y

单独看的话

那都是应该是

一维随机变量，它们也应该有自己的分布函数

那么这里，我们把X,Y各自的分布函数

就称作二维随机向量(X,Y)

关于X和Y的边际分布函数

好，那这里我们怎么认识呢

其实很简单

也就是说，我们拿X的来看啊

也就是说

FX(x)它其实有两个名字

第一个名字呢

它就是X变量自己的分布函数

第二个名字呢

相对于二维随机变量(X,Y)来讲

它又称作(X,Y)关于X的

边际分布函数

所以你从同一个函数有

两个名字的角度来理解和掌握

就很容易接受这个概念了

那么我们后边儿呀

还将继续提到边际两个字

所以这里边呢，我们也可以形成一种认识

边际一般来讲，指的就是

通俗的讲就理解为自己的，各自的的意思

那么这里面

我们有一个问题

既然出现了三个分布函数

一个是联合的

两个是边际的

那么这三者之间有没有什么关联

特别的，我们可以想啊

二维随机向量的分布函数大F

它含的信息呢

其实应该含有X变量与Y变量

自身的信息

以及X和Y之间关系的信息

而(X,Y)各自的分布函数

只含有自己的

分布的信息

所以呢，我们可以推想，由二元的F

应该可以求到两个一元的F

那么下边我们就用F(x,y)看看怎么样

求出我们的两个边际分布函数

好，那我们用

Fx它的定义来求

P{ X≤x}，这里边呢

我们为了上升到二维变量啊

我在这一块儿呢把这个

{X≤x}这个事件呀

把它改写一下

把它改写成

{X≤x}和另一个必然事件的交

那么一个事件交上必然事件

那还是这个事件本身

所以概率应该是不变的

对吧，那么这里呢我们就上升

到二维随机向量了

这里既有X又有Y

那么根据分布函数的定义

它应该等于

F(x,y)把原来y的位置啊

现在换成了谁呢

＋∞，是不是

那么我们也就得到了

从

联合分布函数

求

边际分布函数的一个，可以认为是一个公式

只需在F(x,y)中

令y的位置趋于＋∞

那我们就得到的是

X的边际分布函数

那么类似的

我们也可以得到

Y的边际分布函数

那么我们可以把这两个呀

作为一个公式把它去记一下

我们在后面的

知识中，也将陆续用到这俩公式

下面我们来看一看关于随机向量的

分布函数的例题

给定(X,Y)的联合分布函数F(x,y)

当然这个分布函数里呢

有三个未知数A,B,C

那么我们的问题呢

第一，把这里面的未知数给求出来

第二

求{X≤3,Y≤4}的概率

也就是个概率问题

第三，来求X的边际分布函数

我们看第一问

怎么来求A,B,C呢

那么三个未知数我们肯定要列三个方程

才能解出三个未知数

那么目前我们学到的只有

分布函数的性质可以利用

特别是它的什么呢

有界性

那么我们利用这三个有界性的

这三个方程

把(＋∞,＋∞)，(－∞,＋∞)

以及(＋∞,-∞)，带入到F(x,y)中

就列出了三个关于A,B,C的方程

好，那么三个方程我们很容易解到三个未知数

把A,B,C就求到了

这样的话呢，我们这个F(x,y)就变成了已知

那么下边我们来看第二问，求一个概率

那这个问题呀

它就是考察F(x,y)的定义

在F(x,y)的定义中

P{X≤x,Y≤y}

P{X≤x,Y≤y}

那现在也就是(x,y)的位置

分别换成了3和4

所以,也就意味着这个概率值，应该是

F(x,y)在3,4处的函数值

那就变成很简单了

我们把3,4带入上式，得到了这个函数值

这是我们第二问的

解决

第三问，求X的边际分布函数

那当然我们刚才给过了由联合分布函数

求边际分布函数的公式

我们就用这个来做

在F(x,y)中

令y趋于∞

把y给消掉

留下x

那么这里边呢我们需要注意一下

分布函数呢

它的定义域都是整个实数

整个全体实数，好吧

这是我们这个

三个问题，就解决掉了

在本知识模块中

我们学习了二维随机向量函数的定义

以及性质

掌握了分布函数函数值的意义

掌握了由联合分布函数求

边际分布函数的方法

好了

关于二维随机向量及其分布函数的知识

我们就学到这里

再见