4.1.2 连续型随机变量的数学期望在线视频

大家好

上次课我们学习了离散型随机变量的数学期望

本次课我们学习连续型随机变量的

数学期望

首先看连续型随机变量

数学期望的定义

设连续型随机变量X的

概率密度函数为f(x)

如果积分小x乘以f(x)在负无穷到

正无穷上的广义积分

绝对收敛

那么就称x乘以f(x)从负无穷到

正无穷上的广义积分的值为随机变量X的

数学期望

记成E(X)

E(X)等于x乘以f(x)在负无穷到

正无穷上的广义积分

如果这个广义积分发散

我们就称X的数学期望不存在

可与离散型随机变量X期望公式

相比较帮助我们记忆

设随机变量X

服从(a,b)区间上的均匀分布,求E(X)

因为随机变量X概率密度函数为f(x)

等于当x大于a小于b的时候

等于b减a分之1,其它情况等于零

如图所示

故我们要求的E(X)就等于x乘以

f(x)在负无穷到正无穷

这个区间上的广义积分,等于在(a,b)区间上

b减a分之xdx这个积分

然后这里的b减a分之1是因为

它是均匀分布

所以它的密度函数是b减a分之1

这个积分很好算我们得到

它的积分值是2分之a+b

也就是均匀分布的随机变量,它的数学期望

等于（a,b）区间的中点,2分之a+b

设随机变量X服从参数为

为μ,σ²的正态分布

求X的数学期望

因为X的概率密度函数为f(x)

等于根号下2πσ分之1

e的负二倍的σ²分之x减μ的平方

x大于负无穷

小于正无穷

首先判别E(X)的存在性

因为

x绝对值乘以f(x)在负无穷到正无穷

上的广义积分小于等于μ的绝对值乘以

f(x)在负无穷到正无穷上的广义积分

加上x减μ的绝对值乘以f(x)在

负无穷到正无穷上的广义积分，这一步

是为了我们为了简化计算

大家看这一步

我们用了什么技巧

就是把x变成μ加上x减μ

然后利用一下三角不等式

和的绝对值小于等于绝对值的和

这个式子就得到了

然后第一项就是μ的绝对值,第二项

我们把小f(x)的表达式代入

就得到根号2πσ分之1

然后是x减μ的绝对值乘以

e的-2σ²分之x减μ的平方

在负无穷到正无穷上的广义积分

看看这个广义积分

我们下面搞一个变量替换，大家看

我们另t等于x减μ比上σ

那么这个式子就等于

μ的绝对值加上σ

除以根号

2π

然后这个积分限

下限是负无穷上限是正无穷

被积函数是t的绝对值乘以

e的负二分之t方dt

大家看到这是一个广义积分

经过计算

我们发现这个广义积分的值是2

所以

就得到等于μ的绝对值加上

2倍的σ除以根号2π

它是小于正无穷的

也就是说它是绝对收敛的，绝对收敛

这个数学期望就存在

下面我们求这个数学期望

那么

E(X)等于x乘以f(x)在负无穷到正无穷上的

广义积分,还是刚才的技巧

把x拆成μ加上x减μ

然后就得到下面这个式子等于是μ

乘以f(x)在负无穷到正无穷上的

广义积分加上x减μ乘以f(x)

在负无穷到正无穷上的广义积分

第一项等于μ,第二项

我们把f(x)表达式代入它就是

根号2πσ分之1

然后是积分限,负无穷到正无穷

被积函数x减μ乘以e的负2σ²乘以

x减μ的平方dx

做变量替换,令t等于x减μ比上σ

那么

E(X)就等于是μ加上根号2π分之σ

t乘以e的负二分之t方在负无穷

到正无穷上的广义积分

那么这个广义积分

大家发现它是0, 所以的话呢

我们就得到

最后的值是μ

可见

正态分布N(μ,σ²）当中

前面的参数μ

就是它的数学期望

设随机变量

X服从参数为λ的指数分布

它的概率密度函数为小f(x)等于λ的

乘以e的负λx次方,x大于零的时候

x小于零的时候等于零

λ大于零, 求E(X)

根据定义，E(X)就等于x乘以f(x)

在负无穷到正无穷上的广义积分

就等于

把f(x)表达式代入, 就等于这个式子

x乘以λ乘以

e的负λx次方在零到正无穷上的

广义积分

大家分析一下这个广义积分

它是幂函数和指数函数相乘

然后我们自然想到用分部积分法

去解这个积分

所以我们变换一下

就得负的x乘以de的负λx次方

从零到正无穷的广义积分

然后用分部积分法

我们得到

e的负λx次方在零到正无穷上的广义积分

e的负λx次方

它的原函数是负λ分之1，e的负λx次方

所以这个积分就等于λ分之1

指数分布是最重要的寿命分布之一

由该例可知

一个元器件的寿命分布

如果是参数

为λ的指数分布,则它的

平均寿命为λ分之1

常见连续型随机变量的数学期望

区间(a,b)上的均匀分布,它的数学期望是

(a,b)区间的中点

也就是二分之a+b,参数为λ的

指数分布,它的数学期望为λ分之1

参数为μ,σ²的正态分布

它的数学期望为μ

例题设随机变量X服从区间

（0，a）上的均匀分布

而且X大于1的概率是1/3

求期望E(X)

由题意

我们知道1/3等于P(X>1)等于

由1到a,a分之1,它的积分

这里的a分之1就是均匀分布

它的密度函数就是a分之1

然后这个积分就等于a分之a减1

我们得到a等于3/2

这时候的E(X)就等于2分之a

也就是3/4

设随机变量X服从柯西分布

它的概率密度函数为f(x)等于π乘以

1加x方分之1,x大于负无穷

小于正无穷

问数学期望是否存在

由于只有当x绝对值乘以f(x)在

负无穷到零上的广义积分以及

x绝对值乘以f(x)在零到正无穷上的

广义积分都收敛时

这个广义积分才收敛

换句话说

前两个广义积分

只要有一个发散

那么第三个广义积分就一定是发散的

我们看第二个广义积分x绝对值乘以f(x)

在零到正无穷上的广义积分

等于1/π从零到正无穷积分,被积函数

1加x方分之xdx

大家发现这个被积函数

它的原函数

可以很好的求出来

等于是1/2πln(1+x²)

最后计算结果这个广义积分的值等于

正无穷,这个广义积分是发散的

从而第三个广义积分也是发散的

从而我们要求的数学期望不存在

总结

数学期望是一个常数

而非变量

它是一种加权平均与一般的平均值不同

它从本质上体现了随机变量

所有可能取值的真正的平均值

好，本次课我们学习了连续型随机变量

数学期望的定义

举例说明了连续型随机变量

数学期望的求法

本次课就到这里