8.2.2 正态总体均值的假设检验（方差未知）在线视频

大家好

这一讲我们介绍单个正态总体

均值的假设检验问题

第二种情况

方差未知时

σ²未知

我们给出要检验的假设

H₀: μ=μ0

H₁：μ≠μ0

其中μ0是已知的常数

这是一个双侧检验

由于对总体均值做检验

我们要考虑样本均值

选择检验统计量

由于总体的方差是未知的

这时我们选择用样本的标准差

S去替换总体的标准差σ

得到的估计量是 Xbar-μ0

比上S除以根下n

在原假设H₀成立的条件下

由定理6.4 ，它是服从自由度为

n-1的T分布

接下来 我们就要通过T分布的分位数

来给出小概率事件

也就是给出拒绝域

对于给定的显著性水平α

由于T分布 它的密度图形

与标准正态分布极为类似

是关于Y轴对称的

那么我们考察T分布的上二分之α分位数

t 1减二分之α

自由度为n-1

以及它的对称点

负的t 1减二分之α

服从自由度为n-1的T分布的变量

落在这两个点左右两侧的面积

分别都是二分之α

因此

统计量 |T|大于等于

自由度为n-1的T分布的

二分之α分位数的概率就是

两边的面积之和α

这是一个小概率事件

如果小概率事件在一次试验中发生了

那么就与小概率原理是矛盾的

我们就拒绝原假设H₀

因此

H₀的拒绝域是检验统计量

T的观测值

我们记为t，它满足

|t|大于等于自由度为n-1的

上二分之α分位数

下面我们做几点说明

第一

这种采用服从T分布的

检验统计量的方法

我们称之为T检验法

第二，大家来看拒绝域

H₀的拒绝域有两个临界值

一个是自由度为n-1的

上二分之α分位数

一个是它的对称点

负的t 1减二分之α

n-1

当观测值落在这两个临界值的

左右两侧时

我们就拒绝原假设H₀

因此 这是一个双侧检验

第三

自由度为n-1的上二分之α分位数

它满足

|T|>=t 1减二分之α(n-1)

的概率是α

因此我们也形象的

把t 1减二分之α(n-1)

称为自由度为n-1的

T分布关于α的双侧分位数

这是双侧检验

那么接下来我们介绍单侧的

检验假设 H₀: μ=μ0

H₁：μ小于μ0，μ0为已知的常数

大家也可以写成 H₀: μ>=μ0

H₁：μ小于μ0

这两种不同的形式

它们的检验法则检验效果也是一致的

与双侧的一样

我们选择的检验统计量依然是

T等于Xbar减μ0

比上S除以根下n

大家看，在H₁中 μ小于μ0

当H₁为真时

μ的估计量Xbar往往偏小

因此

当Xbar偏小时，我们就拒绝原假设H₀

从而H₀的拒绝域在左侧

这是一个左侧检验

大家看这个图

落在负的t 1减α(n-1)

左侧区域的面积为α

因此

H₀的拒绝域可以表示成

t小于=负的t 1减α(n-1)

类似的

我们给出右侧检验

检验假设 H₀: μ=μ0

H₁：μ>μ0

其中μ0为已知的常数

大家也可以把H₀写成

H₀: μ小于=μ0

H₁：μ>μ0

这两种不同的形式

检验法则检验效果也是一致的

我们选择的检验统计量依然是

T等于Xbar减μ0

比上S除以根下n

在H₁中 μ>μ0

当H₁为真时

μ的估计量Xbar往往偏大

因此

当Xbar的观测值偏大时

我们就拒绝原假设H₀，

因而它的拒绝域在右侧

大家看图

落在点t 1减α(n-1)

右侧区域的面积是α

因此H₀的拒绝域就是

t>=t 1减α(n-1)

右侧检验和左侧检验

我们统一称为单侧检验

好，接下来我们看一道例题

某厂生产的灯泡寿命X服从正态分布

μ与σ²均未知

现随机抽取10个灯泡 测得寿命的数据如下

让我们判断该厂生产的灯泡平均寿命

能否认为是1600小时

显著性水平α取成0.05

在正态分布当中

它的第一个参数μ代表平均值

因此这个问题就转化成判断

μ与1600小时是有差别还是没有差别

因此原假设取成没有差别

好，第一步提出假设

H₀: μ=μ0=1600

H₁： μ≠μ0

这是一个双侧检验

而且它是关于总体均值μ的一个检验

我们要判断总体的方差是已知还是未知

由题目条件

总体的方差是未知的

因此我们选择的检验统计量是T

T等于Xbar减μ0

比上

S除以根下n

在原假设H₀成立的条件下

它是服从自由度为n-1的T分布

H₀的拒绝域是 T的观测值

|t|>=t 1减二分之α(n-1)

下面 我们就代入数据做判断

由于α=0.05

n=10

我们要确定的临界值就是

t 1减二分之α(n-1)

也就是t 0.975(9)

通过查表可以得到

t 0.975(9)=2.2622

因此H₀的拒绝域的形式为

观测值

|t|>=2.2622

接下来 我们求一下数据可以得到

样本均值Xbar的观测值为1582

标准差为128.56

代入检验统计量

求出它的值

检验统计量的具体取值是这样的

1582-1600

比上

128.56除以根下10

求出来它的绝对值

等于0.4428

它比2.2622显然要小

因此就告诉我们

检验统计量的观测值

落在接受域之内

因此我们就接受原假设H₀

即可认为该厂生产的灯泡平均寿命

是1600小时

这是一个双侧的

那么 接下来我们继续看第二个

如果我们假设该厂生产的灯泡

合格品的标准是平均寿命不低于1600小时

那么由刚才的数据来判断

这批灯泡是否为合格品

α=0.1

这个问题是要我们判断这批产品的

平均寿命低于1600小时了吗

那么原假设就是不低于1600小时

第一步 我们提出假设H₀

H₀: μ>=μ0 =1600

H₁：μ小于μ0

大家也可以写成

H₀: μ=μ0， H₁：μ小于μ0

这两种形式检验法则检验效果

是一致的

这是一个左侧检验

而且是对于总体均值做检验

我们就要判断总体的方差

是已知还是未知

由题目条件

总体的方差是未知的

那么我们选择的统计量是T

T等于Xbar减μ0

比上S除以根下n

H₀的拒绝域位于左侧

它的拒绝域的形式是这样的

观测值

t小于= 负t 1减α(n-1)

接下来我们要查表

α=0.1，n=10

我们要查的就是t 1减α(n-1)

也就是t 0.9(9)

通过查T分布表，

t 0.9(9)=1.3830

因此

H₀的拒绝域就是

t小于=-1.3830

接下来 最后一步判断

由样本的数据求出

xbar=1582

s=128.56

代入检验统计量

求出它的值

1582-1600

比上128.56

除以根下10

求出来的值，等于-0.4428

它显然比-1.3830大

这就告诉我们

检验统计量的观测值落在接受域之内

因此我们就接受原假设H₀

既可以认为这批产品是合格品

好，这一讲我们介绍了

单个正态总体均值的检验

第二种情况

方差未知的时候

我们采用的是t检验法

也是分双侧和单侧两种情况进行了讨论

这一次的内容就到此结束

谢谢大家