3.5.2 连续型随机向量函数的分布在线视频

大家好

下面我们学习3.5节的第二个模块

连续型随机向量函数的分布

我们要注意的问题是已知联合

密度或联合分布函数

给定随机变量Z与X,Y的

函数关系来求变量Z的密度或

分布密度函数

针对复杂的二元函数g(x,y),

求 Z 的分布比较困难

那么在本模块中

我们只对相对简单的二元函数入

g(x,y)来求Z的分布

比如

简单的函数 Z=X+Y

X,Y 的最大值函数以及

X,Y 的最小值函数

首先我们学习随机向量和的分布

该问题的一般提法为

已知联合密度f(x,y)

Z=X+Y,来求Z的密度函数

这里我们不加证明的

给出由联合密度求变量Z等于

X+Y 的分布密度的

公式

这个公式以边际密度公式非常相似

大家可以比较一下

看起来像是把边际密度公式中被积

函数f(x,y)中的一个变量用

z-x

或者

z-y 替换

但要注意这种看法并不是

对这个公式的证明

下面我们来看看关于和的分布的例题

假设X,Y独立

并且都服从[0,1]上的均匀分布

让我们来求 Z=X+Y 的密度函数

那么这里呢我们就用刚刚给出的求随机向量

和的分布的这个公式来求Z的

密度函数

那我们需要事先去准备联合密度函数

由X,Y都是[0,1]上的均匀分布

那我们容易写出 X 和 Y

各自的边际密度函数

再有,X,Y是独立的

那么边际密度函数的乘积

经过计算就得就可以得到联合密度函数

如下式给出

那么我们在有了联合密度函数的条件下

那我们就用该式来计算Z的密度函数

那这是一个积分

在这个积分中呢

我们要特别注意一下

x是积分变量

z是参变量

我们先要对z分情况

然后再对x积分

那么这里我们为了便于更好的积分

我们把被积函数它的非零区域

以及在非零区域时候的表达式

把它给准备出来

并且呢

我们把非零区域也绘制在如下的坐标系中

那么在这个坐标系中大家注意一下

我们的坐标轴横轴是x轴纵轴呢

注意我们这里是z轴不再是y轴

因为这里没有y变量的值

换成了z变量

注意一下

好了 那么我们看

当z小于0或者z大于2时

我们结合被积函数的非零区域

当然也相当于它知道了它的零的区域

以及图示

我们发现呢,在z小于0或者在z大于2时呢

被积函数是恒为0

那么积分应该为0

当z大于等于0

小于等于1时

那么我们发现呢,被积函数不恒为0

它在0到z是不为0的

也就是x的积分限

当z大于1小于等于2的时候

被积函数不恒为0

当

x在z-1到1的时候是不为0的

那也就确定了x 的积分限

好了

那么我们做进一步的积分计算就

可以得出Z的密度函数

如下示

它是一个分段函数

这是我们说的随机向量和的

分布的一个典型例题

那我们再看一个关于和分布的例题

假设X,Y独立

并且X,Y都是标准正态分布

求Z=X+Y的密度函数

那么对于本题呢

我们依然采取

和分布的

密度函数公式来做

同样我们事先去准备一下联合密度函数

由X,Y都是标准正态分布

那么容易写出它们的密度函数

在由X,Y的独立性呢

边际密度的乘积

就得到联合密度如下示

那么对于这里的这个联合密度

我们说还是比较简单的

那么这里的简单我指的是它不分情况

联合密度在全平面上任何一点都

是同样的表达式

好了

那么再有了联合密度的基础上

我们用

该式来计算Z的密度函数

那我们呢,把被积函数代入

看一下这样一个积分

那么我们观察一下这个积分

中的指数这个地方呀

它是包含了x的两项

那么我们为了简化积分的计算呢

我们把关于x的项展开

最后再合并一下

合成x的一项

那么对于多出来的关于z 的

一项，e的负四分之z方

由于积分变量是x，我们

可以把这一项提到

这积分号的外面

接着呢我们对积分做一个变量替换

让 x - z/2 等于根号二分之t

目的是让我们的积分看起来更简单

那么在这个 －∞ 到 ＋∞ 的积分中呢

我们看怎么来计算了

那我们就观察呢

它恰好是对标准正态密度函数在

－∞ 到 ＋∞ 的一个积分

它的值应该等于1

那这样的话我们就计算完毕了

Z的密度函数

并且我经过整理呢发现,还发现呢

Z是一个

参数为0和2的正态分布

这是我们这一个的证明

那么接下来呢

我们来看一看关于正态分布的结论

我们在前面的章节以及本章分别学习过

一维正态分布以及二维正态分布

那么也会产生一些关于它们的结论

那么下面我们就来把这些结论

做一个总结和归纳

那么在刚才的这个题目中呢

标准正态加标准正态

如果它们是独立的

那就是一个

N(0,2)的分布

下面呢我把这个结论呢做一个推广

得到一个更一般性的结果

假设X,Y独立

X是参数为μ1,σ1方

的正态分布

Y是μ2,σ2方的

正态分布

那么 X+Y 也就是两

个独立正态分布的和

结果是仍为正态分布参数是

对应位置参数的和

当然这个结论是可以证明的

我们这里就略过去了

那么接下来我们再回顾一下我们第二章

中关于一维正态分布的结论

X 是一维正态

并且假设我有一个参数a是

不等于0

那么我们有两个结论

第一个

aX+b产生的新的变量Y

在a不等0的前提下

仍然是一个正态分布,参数变为

aμ+b,a方

σ方

第二个呢是x-u

除以σ创建的变量 Y

服从标准正态分布

那么对于这个第二个结论呢

也可以认为是如何把一个一般

正态改造成标准正态的一个方法

也可以这样看待

这是我们在第二章中学过的

关于一维的两个结论

那么我们把这一页的两个结论做一个综合

可以得到一个新的更广泛的结果

假设X,Y独立

X是一般正态分布μ1，σ1方

为参数的，Y是

μ2，σ2方为参数的正态分布

如果我们这里的数a和b

都不等于0

那么就会有下面的结果

aX+bY

+c 所产生的变量 Z

服从

正态分布

参数为aμ1+b

μ2+c,a方

σ方 加 b方σ2方

这是我们这个综合性的结果

好了

我们看一个例题来熟悉一下这个结果

X,Y 分布给定

并且相互独立

问我们Z1=X+Y什么分布

那么独立的正态加正态

它还是正态分布参数是对应位置参数相加

-2+5

是3,9+6是15

好,我们再看Z2

-2X+Y+3

那么这个呢,就应用一下我们上边的

这个结论带入一下

参数

经过计算呢Z2服从正态分布参数

是12和42

那么大家注意

在我们应用关于正态分布结论的时候

一定要注意成立的前提条件是什么呢

X,Y要是

独立的

如果不独立,就没有告诉我

X,Y之间的关系

那么两个正态分布的和是否

依然是正态分布呢

答案是不一定的

那么接下来我们再看另一种函数分布

随机向量最大值函数的分布

该问题的一般提法是这样

假设X,Y独立给定了

它们各自的分布函数

Fx以及Fy

Z是X,Y中的最大值函数

产生的变量

让我们求Z的分布函数

那么这里边呢我们采取分布函数的

定义法来求Z的分布函数

也就是从

P{Z≤z}开始计算

那么这里边呢

我们把这个Z也换一下

换成X,Y的信息

也就是xy的最大值把它换进来

那么X,Y的最大值是小于等于z

也就意味着什么呢

也就等价于,X和Y同时

都小于等于z

那么我们在应用一下已知条件

X,Y 已知是独立的

那么就可以把事件交的概率变成概率的

乘积

那再进一步观察呢

我们发现

X≤z 的概率以及Y≤z

Y≤z 的概率恰好是X的

分布函数与Y 的分布函数

在z的值

那这样的话咱们就计算得到了

z的分布函数

是X的分布函数

自变量换成z,乘以Y的分布函数

自变量换成z

这是我们关于最大值分布的分布函数

那么下面我们再看另一种情况

随机向量最小值函数的分布

那么该问题的提法为

假设X,Y是独立的

给定了它们各自的分布函数

Fx以及Fy

Z等于X,Y的最小值函数

来求Z变量的分布函数

那么这里呢我们依然采取分布函数法来求

这里的分布函数从定义出发

P{Z≤z}

那么这里边呢,我们应用一下对立事件

把{Z≤z} 事件呢

用独立事件来表示一下

那概率上就等于1减

对立事件的概率

此时我们把Z等于X,Y的

最小值代入替换进来

那么X,Y的最小值比z大

等价的也就是什么呢

X,Y同时比

z大

接着我们在应一下已知的X,Y独立

把事件交的概率变成概率的乘积

那么对于P{X>z} 以及P{y>z}

我们在应用一下对立事件

得到下式

注意到在该式中呢

P{X≤z}以及

P{Y≤z} 可以用

X和Y变量的分布函数来表示

那么最终我们也就求到

了Z变量的分布函数

可以用X的分布函数在z的值

以及Y的分布函数在z的值

用它们给最终表现出来

这就是我们随机向量最小值函数的

分布问题

在本模块中

我们学习了连续型随机向量和的分布

给出了关于正态分布变量和的结论

在X,Y独立的前提下给出了X,Y

最大值和最小值函数的

分布函数

好了

对本知识模块的学习就到这里

再见