当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第七章 参数估计 > 第2节 区间估计 > 7.2.2 正态总体参数的区间估计
大家好
今天我们继续来学习
第七章第二节，区间估计
上次课我们给出了置信区间的概念
和求解方法
这节课我们来看正态总体参数的
区间估计问题
设总体X服从正态分布
参数μ未知，（X1，X2···Xn）是取自
总体的样本，X和S²分别表示
样本均值和样本方差
对于给定的置信度𝟏−𝜶
分两种情况来讨论总体均值μ的置信区间
第一种
当σ²已知的时候
这是我们上次课讨论过的情况
我们选择U这个统计量，服从标准正态分布
我们只要找到它
在某个区间内成立的概率等于𝟏−𝜶
而且保证这个区间尽可能短就可以
U这个统计量
位于这个区间的概率等于𝟏−𝜶
我们从中解出μ就得到了
总体均值μ的置信度为𝟏−𝜶的置信区间
第二种情况
当σ²未知的时候
这时，U就不再是统计量
因为它包含σ
所以这时我们选择T这个统计量
将总体方差换为样本方差
根据前面的抽样分布定理
T这个统计量服从自由度为n-1的T分布
我们根据分位数的概念
T的绝对值小于T𝟏−𝜶/2的概率，等于𝟏−𝜶
我们从中解出μ就得到
μ的置信度为𝟏−𝜶的置信区间为
我们可以比较一下
在σ²已知和σ²未知的情况下
总体均值μ的置信区间的差别在于已知的
情况下是用的总体方差σ²
而σ²未知的情况下，是用样本方差S²来替代σ²
接下来，我们来看一个例题
设总体X服从正态分布
其中σ²=5²是已知的
从X中随机抽取一个容量为16的样本
样本均值是65，求μ的置信度为0.95的置信区间
由于σ²是已知的
因此所求的置信区间为这个式子
我们代入数据
其中σ等于5，U1-α/2等于1.96
样本均值的观测值是65，样本容量n=16
我们计算可以得到区间端点分别为62.55和67.45
这就是我们所得的μ的置信区间
我们再来看一个例子
某工厂生产的灯泡使用寿命X服从正态分布
其中μ和σ²都是未知的，随机抽取
10个灯泡，样本均值的观测值为1832
样本方差s²等于498的平方
求灯泡平均寿命μ的置信度为0.95的置信区间
在这个题中σ²是未知的
所以μ的置信区间为下面这个式子
我们代入数据
n=10
置信度𝟏−𝜶为0.95
样本均值的观测值是1832
样本标准差s=498
分位数是2.2622
我们可以计算得到
置信区间为这个式子
接下来我们讨论总体方差的区间估计
设总体X服从正态分布，总体方差σ²未知
（X1，X2···Xn）是取自总体的样本
根据点估计的结果知道样本方差
S²是σ²的无偏估计
根据抽样分布定理
x²这个统计量服从自由度为
n-1的x²分布
借助于x²分布分位数的概念
x²这个统计量位于下侧分位数和
上侧分数的概率为𝟏−𝜶
我们从中解出σ²得到的就是
置信度为𝟏−𝜶的置信区间
接下来我们来看两个总体的情况
设两个独立的总体X和Y都服从正态分布
从X，Y中取两个样本，样本均值分别记为X,Y
样本方差分别记为S1平方和S2的平方
我们首先写出它们的表达式
X是等于这个式子
这是Y
S1的平方和S2的平方
对于给定的置信度𝟏−𝜶
我们来求
μ1-μ2的置信区间
分两种情况来讨论
当σ1的平方和
σ2的平方都已知的情况
由于X和Y都服从正态分布
它们相减依然服从正态分布
其中的参数均值相减方差相加
将这个随机变量进行标准化
我们得到U这个统计量服从标准正态分布
从而得到下面这个概率式子
我们从中解出
μ1-μ2就会得到
两个总体均值之差的置信度为
𝟏−𝜶的置信区间
是下面这个式子
第二种情况
当σ1的平方和σ2的平方相同
但是未知的情况
这时
我们选择T这个统计量
它服从自由度为n1+n2-2的T分布
我们为了便于描述
用Sε表示下面这个式子
根据T分位数的概念
我们可以得到
T这个统计量绝对值小于T1-𝜶/2
的概率等于𝟏−𝜶
我们从中解出μ1-μ2就得到了
μ1-μ2的置信度为𝟏−𝜶的
置信区间，为这个式子
下面我们讨论两个总体
方差之比的置信区间
根据前面的抽样分布定理
F这个统计量是服从自由度为
n1-1，n2-1的F分布
我们要确定这个置信区间
需要寻找两个端点使得F落入这个
区间的概率为𝟏−𝜶
根据F分位数的定义
我们可以得到这个式子
我们从中解出σ1²/σ2²
就得到了
方差之比的置信区间
下面我们来看一个例题
设总体X服从N(μ1,σ1²)，
Y服从N(μ2,σ2²)
参数都是未知的
在X和Y中分别抽取容量为25和15的独立随机样本，
样本方差分别是6.38和5.15
求总体方差σ²的置信度为0.9的置信区间
我们首先写出F分位数
我们代入数据计算得到
两个区间端点是0.528和2.636
因此σ1²/σ2²的
置信度为0.9的置信区间
为0.528到2.636
根据上面的一般方法
我们分别给出了单个正态总体和
两个正态总体参数的置信区间
下次课我们将讨论非正态总体参数的
区间估计和单侧置信区间的问题
这节课就讲到这里，谢谢大家！
-第1节 随机事件
--1.1 作业
-第2节 概率的定义和性质
--1.2 作业
-第3节 古典概型与几何概型
--1.3 作业
-第4节 条件概率
--1.4 作业
-第5节 随机事件的独立性
--1.5 作业
-本章测试
--第一章测试
-第1节 随机变量与分布函数
--2.1 作业
-第2节 离散型随机变量
--2.2 作业
-第3节 连续型随机变量
--2.3 作业
-第4节 随机变量函数的分布
--2.4 作业
-本章测试
--第二章测试
-第1节 二维随机向量及其分布函数
--3.1 作业
-第2节 二维离散型随机向量
--3.2 作业
-第3节 二维连续型随机向量
--3.3 作业
-第4节 条件分布与随机变量的独立性
--3.4 作业
-第5节 随机向量函数的分布
--3.5 作业
-本章测试
--第三章测试
-第1节 数学期望
--4.1 作业
-第2节 方差
--4.2 作业
-第3节 协方差和相关系数
--4.3 作业
-第4节 矩和协方差矩阵
-本章测试
--第四章测试
-第1节 大数定律
--5.1 作业
-第2节 中心极限定理
--5.2.2 De Moivre-Laplace 中心极限定理
--5.2 作业
-本章测试
--第五章测试
-第1节 数理统计的基本问题
-第2节 总体、样本和统计量
--6.2 作业
-第3节 抽样分布
--6.3 抽样分布
--6.3 作业
-第4节 抽样分布定理
--6.4 作业
-本章测试
--第六章测试
-第1节 参数点估计
--7.1 作业
-第2节 区间估计
--7.2 作业
-第3节 非正态总计参数的区间估计
--7.3 作业
-本章测试
--第七章测试
-第1节 假设检验的基本概念
--8.1 作业
-第2节 正态总体参数的假设检验
--8.2 作业
-第3节 非正态总体参数的假设检验
-本章测试
--第八章测试
-期末考试
