4.1.3 随机变量函数的数学期望在线视频

大家好

前面我们学习了

随机变量数学期望的定义

离散型随机变量

数学期望的计算

连续型随机变量的数学期望的

计算方法，下面我们讨论

随机变量函数的数学期望，给出一种直接的

计算方法和一种间接的计算方法

包括两个知识点

一个随机变量函数的数学期望

二维随机向量函数的数学期望

首先我们看一个随机变量

数学期望函数的求法

随机变量函数是一个随机变量

我们可以先把函数的

分布列或者密度求出来

然后根据数学期望的定义

计算函数的数学期望

看这样一个例题

设X的分布列为X等于-1

概率是0.2

0的概率是0.1，1的概率是0.4

2的概率是0.3

下面我们求一下

X的平方这样一个函数的数学期望

我们可以先把X的平方分布列求出来

通过X的分布列可以求出

X平方的分布列是1，概率对应的是0.6

0的概率是0.1

4概率是0.3

这样X平方的数学期望就是

1×0.6+0×0.1

+4×0.3

等于1.8

我们来看一下这个1.8，这个

数学期望是怎样求出来的

那么E(X的平方)等于1乘以0.6

我们看，是1乘以0.2加上0.4得来的

那么这个1呢，是由-1的平方

和1的平方得来的

我们继续分解一下

就是-1的平方乘以0.2

加上1的平方乘以0.4

0

X平方等于0乘以0.1

是X等于0的平方乘以0.1得来的

4乘以0.3

是X等于2，2的平方乘以0.3得来的

这样我们看一下X的平方

数学期望可以看作是

-1的平方乘以0.2

加上0的平方乘以0.1

加上1的平方乘0.4

加上2的平方乘以0.3

那么，我们就可以得到这样一个结论

如果X是连续型的随机变量

它的分布律为X=xk，记作pk

那么这样的话

它的数学期望可以用这样一个公式来求

如果g(X)是X的函数

那么g(X)的数学期望就等于

g(xk)乘以对应的分布列pk

可以从一到无穷，求和得到

前提条件呢，是这个级数呢要绝对收敛

这样我们就得到了这样一个结论

这个结论对于连续型的也是成立的

那么对应于连续性的结论是这样的

若X是连续型的随机变量

它的概率密度为f(x)

则g(x)的数学期望等于

g(x)乘以密度函数，变量从负无穷

积到正无穷，积分就得到g(x)的数学期望

前提条件呢，仍然是被积函数

要绝对可积

利用这个结论呢

我们可以很容易计算一些

函数的数学期望

下面我们证明这个结论

我们只对连续型随机变量的函数

满足单调性的情况给予证明

假设函数y=g(x)是单调

并且导数不等于零

也就是说y=g(x)是一个严格单调函数

y=g(x)它的密度函数

可以由第二章得到

那么假设Y的密度

即为fY(y)，就等于

f(h(y))，这里这个h(y)是

y=g(x)的反函数乘以h(y)关于

y的导数

加绝对值

如果x从负无穷变成正无穷

y=g(x)的取值

是从α变到β

这时候呢fY(y）可以写为f(h(y))

乘以x关于y的导数的绝对值

这是当y在(α,β)之间变化的时候

其它变化的范围呢，fY(y)的值是零

这是由第二章结论

我们得到Y的密度函数

有了Y的密度函数

我们可以直接把函数的数学期望求出来

那么就是Y的数学期望等于

y乘以Y的密度函数

在整个区域上积分

这时候呢,我们看一下fY(y)

可以带入上面的公式

是y乘以f(h(y))乘以

h(y)关于y的导数的绝对值

那么y呢,在非零区域上

α到β上积分

我们看一下这个积分

当h关于y的导数大于零的时候

y的数学期望就等于y乘以f(h(y))

因为h(y)是大于零的

可以把绝对值号直接去掉

那么y是从α积到β

这时候呢y等于

h(x)

h(y)呢是等于x，所以f(h(y))

就是f(x)

f(x)是X的密度函数

我们把这个h(y)的导数放到后面去

就变成了dx

这是大于零的时候

当h(y)关于y的导数

小于零的时候

Y的数学期望等于

把h(y)的导数

绝对值去掉

那么因为h(y)的导数是负的

所以前面呢要加一个负号

所以等于负的α到β

yf(h(y))h(y)

关于y的导数的积分

那么仍然是y等于h(x)

f(h(y))就是f(x)

把h(y)的导数和

关于y的微分呢

记作dx，这样就得到后面这个形式

就是负无穷

就得到负的正无穷到负无穷

g(x)f(x)dx积分

因为这时候导数是小于零

是一个单调递减函数

被积上下限交换

那么就等于从负无穷积到正无穷

前面要加一个负号

本来前面有一个负号

所以呢，就是等于负无穷到正无穷

g(x)f(x)dx

这样我们就把这个结论证明了

下面我们看这样一个问题，设连续型随机变量

X的密度如下

试求Y等于X的绝对值的

数学期望

密度函数式等于，当x小于等于零的时候

是二分之一e的x次幂

当x大于零的时候，是二分之一

e的负x次幂

根据上面的公式

Y的数学期望等于

g(X)，这里的g(X)

就是X的绝对值，乘以密度函数

在整个区域上积分，从负无穷积到正无穷

这时候，因为密度函数是分段的

所以呢，我们要根据这个分段

将被积区域划为负无穷到零和零到正无穷

两个区域积分，如果是负无穷到

零的时候

这时候呢

绝对值就成了负x

因为这时候x是小于零的，密度函数是

二分之一e的x次幂

这是负无穷到零的积分

然后加上零到正无穷的积分

那么可以把x的绝对值的

绝对值号直接去掉

就是x，乘以密度函数是二分之一

e的-x次幂，二分之一呢也

提到前面来

然后这两部分积分，分别积分

我们就得到二分之一

一加一等于二

再看这样一个问题

游客乘电梯从电视塔的

底层到顶层观光

电梯于每个整点的

第五分钟

二十五分钟和五十五分钟

从底层起行

假设游客在每一小时的任意时刻X

到达底层候梯处

X服从[0,60]上的均匀分布

求游客

等候的平均值

我们设游客等候时间为Y

则Y是到达时刻X的函数，可以记成

Y=g(X)

如果到达的时间X

是在零到五分钟这个范围内

这时候呢，它会坐第五分钟起行的这个电梯

所以等候的时间是5-X，如果到达时间是

五分钟到二十五分钟之间

它会坐第二十五分钟的

这部电梯，所以等候的时间呢是25-x

如果到达的时间在二十五分钟

到五十五分钟之间

它会坐第五十五分钟这部电梯

所以等候的时间呢

是55-X，如果达到时间是在

五十五分钟到六十分钟之间

它呢会坐下一小时的

第五分钟出发的这个电梯

所以等候的时间呢是60-X

还要加上五分钟

我们看，这个函数是分段的

那么随机变量也就是到达的时间X

它的密度函数是零到六十的均匀分布

所以密度等于

在零到六十之间的时候是六十分之一

其它的时候呢是零

所以呢，我们看一下，Y的数学期望就等于

g(x)乘以f(x)，在整个区间上积分

可以根据g(x)的不同

可以呢在不同区间上进行积分

化成零到五分钟

五到二十五分钟

二十五到五十五分钟

五十五分钟到六十分钟之间

这四个区间进行积分

比如在零到五分钟的时候

密度函数是六十分之一

g(x)是5-x，所以是

60分之5-x，零到五分钟

这个范围内积分

那么其它区间的积分呢

我们都很容易积出来

就是这个结果呢,是11又三分之二分钟

我们可以考虑这样一个问题

如果电梯于每个整点的第二十分钟

四十分钟和六十分钟从底层起行

游客的平均等候时间是多少呢

大家看，这时候任意两部电梯

起行的间隔都是二十分钟

是等值的

那么这时候等候的时间呢

我们算出来呢是十分钟，要比

例题中等候的平均时间呢

要小

所以电梯的设计,我们有优化问题

下面我们讨论两个随机变量

函数的数学期望

看这样一个结论

设X，Y为离散型随机变量

g(x,y)为二元函数

和一个随机变量函数的

数学期望有类似的结论

则X,Y函数g(X,Y)数学期望就等于

g(xi,yj)

乘以分布列pij

关于i,j分别求和

这就能够得到

X,Y函数g(X,Y)数学期望

其中(X,Y)的联合分布列为pij

那么我们仍然要求呢，这个级数

要绝对收敛，才能够求数学期望

这个结论对连续型呢同样成立

设(X,Y)为连续型随机变量

g(x,y)为二元函数

则g(X,Y)的数学期望等于

g(x,y)乘以联合密度函数

f(x,y)关于x,y积分就得到

g(x,y)的数学期望

其中呢f(x,y)是

(X,Y)联合密度函数

我们仍然要求

这个积分是绝对收敛的

特别地，由二维随机变量的联合分布

可以直接求出各个分量的数学期望

这时候呢

我们可以把x看作是特殊的g(x,y)

把y呢

看作特殊的g(x,y)，这样由上面的结论

我们就可以得到

如果(X,Y)是离散型随机向量

这时候X的取值就等于

xi乘以pij

关于i和j求级数

就得到X的均值

同样

yjpij

关于i，j分别求和

就得到Y的数学期望

那么对于连续型呢

也有同样的结论

X的均值就是X乘以

(X,Y)的联合密度

关于x,y积分

Y的均值呢

就是y乘以联合密度积分，就得到Y的均值

下面我们看这样一个问题

设二维随机向量(X,Y)的联合概率分布

为下面这个表格形式，大家看X是

两点分布，X取1,3 ，Y是四点分布

Y等于

0,1,2,3这样一个形式

它们的联合分布列

是表格形式

下面我们求下面这些问题

求X的均值，求Y的均值

求X乘Y的均值

首先我们求一下X乘Y的均值

那么X，Y的均值就是

X，Y函数的均值

应该等于xiyj乘以pij

关于i和j分别求和

得到均值

现在我们看X和Y中

第一列Y等于0

那么它们的联合分布列pij中呢

也有很多等于零

所以呢，我们只要求

X不等于零且Y不等零

并且pij不等零的

这些项求和就可以

这样的话，我们看这个求和呢是X等于1

Y等于1，对应的分布列是3/8

也就是1乘1乘以3/8

加上1乘以2乘以3/8

加上X等于3

Y等于3乘以1/8

求出来的结果呢，是4/9

下面我们再可以求一下

X的均值和Y的均值

比如X的均值

X的均值等于X等于1

乘以3/8加上

X等于1乘以3/8

加上X等于3乘以1/8

结果是3/2，同理，Y的均值是3/2

算出来呢，乘积是9/4

在这个例题中，我们看到

乘积的，X，Y的乘积的均值

等于X的均值乘以Y的均值

那么

我们也可以把分布列求出来

把X，Y的边际分布列求出来

但是发现边际分布列乘积

不等于联合分布列

比如X等于1

概率是3/4，Y等于零0

概率是1/8

3/4乘以1/8

显然不等于零

所以呢，边际分布列不等于联合分布列

所以不相互独立

再看这样一个问题

这是一个连续型随机变量

设二维随机向量(X,Y)它的

联合密度为f(x,y)等于

当x大于等于0

小于等于1

y大于等于0

小于等于1时

是x加y，其它是零

求Z=XY的数学期望

我们看XY的数学期望就等于

x乘以y乘以联合密度

关于x,y积分得到，这时候

联合密度值在(0,1)上

非零

所以我们只积0到1的区间上

积分就可以

这样也就等于

0到1，x积分，0到1

y的积分，被积函数是

xy乘以x+y，积出来的结果呢

是三分之一

再看一个实际问题

航海雷达的环视扫描显示器

是半径为R的一个圆

由灯塔反射回来的信号按均匀分布

用光点的形式呈现在这个圆内的任意位置

求光点中心到圆心距离的平均值

我们以圆心为坐标

建立直角坐标系，设光点中心的

坐标为(X,Y)

X和Y是两个随机变量

光点中心到圆心的距离为g(X,Y)

是根号X²+Y²

这样的话我们要求g(X,Y)的均值

首先呢，我们看(X,Y)的分布密度是

f(x,y)等于当x²+y²

小于等于R²的时候呢

是πR²分之一

其它范围内是零

这样由函数的数学期望的求法

我们可以得到g(X,Y)的均值

等于g(X,Y)

乘以联合密度积分，联合密度只在圆域内非零

所以呢，我们把密度带进来

是πR²分之1

函数在圆域内是

根号x²+y²

然后用极坐标变换

x等于rcosφ

y等于rsinφ

那么这样r的取值是0到R

φ的取值是0到2π

根号x²+y²是等于

r的平方，从根号拿出来是r

还要乘一个雅可比行列式

这个值呢是r

所以是r的平方

积出来结果是2r/3

上面我们学习了随机变量函数的数学期望

我们给出了一个随机变量函数的数学期望的

计算公式和两个随机变量函数的

数学期望的计算公式

今天我们就学习到这里

谢谢大家