2.1.2 分布函数在线视频

大家好

上一节我们讲了随机变量的概念

为了刻画随机变量取值的统计规律性

今天我们来学习第二章第一节的

第二部分内容

分布函数，下面我们来看分布函数的定义

设𝑋为定义在样本空间上的随机变量

对于任意的实数𝑥，则大𝑋小于

等于𝑥，这个随机事件的概率是

与𝑥有关的函数

记为𝐹(𝑥)，也就是𝐹(𝑥)等于

大𝑋小于等于𝑥的概率

那么我们就称函数𝐹(𝑥)为随机变量

𝑋的分布函数，也称𝑋服从分布𝐹(𝑥)

记为大𝑋波浪线𝐹(𝑥)

由定义，我们来看分布函数的几何解释

如果随机变量𝑋看成

数轴上的点坐标，那么大𝑋

小于等于𝑥，这个随机事件

可以解释为随机变量𝑋

取值范围是𝑥一点

左边的无界区域

也就是区间

负无穷到𝑥

那么分布函数𝐹(𝑥)就可以

几何的解释为随机变量𝑋

在区间负无穷到𝑥上取值的概率

或者是说随机变量𝑋取值落在区间

负无穷到𝑥上的概率

好，有了分布函数的定义

接下来我们讨论分布函数的性质

由定义，分布函数等于大𝑋

小于等于𝑥的概率

而概率一定是0到1之间的一个数

因此

有性质1，分布函数值一定是大于等于0

小于等于1

性质2

分布函数具有单调不减性

也就是，如果𝑥_1小于𝑥_2

则𝐹(𝑥_1)和𝐹(𝑥_2)由分布函数的

几何意义，分别是随机变量𝑋

在负无穷到𝑥_1和负无穷到𝑥_2

两区间内取值的概率

显然区间负无穷到𝑥_2大，故有分布函数

𝐹(𝑥_1)小于等于𝐹(𝑥_2)

也就是分布函数是单调不减的函数

下面我们来看性质3

𝐹负无穷等于0

𝐹正无穷

一定等于1

好，下面我们来解释一下

𝐹负无穷

可以写成𝑥趋于负无穷时

𝐹(𝑥)的极限形式

再把𝐹(𝑥)换成概率

等于𝑥趋于负无穷时

大𝑋小于等于𝑥的概率

当𝑥趋于负无穷时

随机变量取值范围向左边

无限收缩，取值范围的极限

趋于空集而在空集上取值的

概率一定等于0

因此有𝐹负无穷等于0

同理

𝐹正无穷也可以表示为极限的形式

等于

大𝑋大于

负无穷小于正无穷的概率

而随机变量在负无穷正无穷

内取值是必然的

因此概率等于1

也就是𝐹正无穷一定等于1

下面我们来看性质4，分布函数

是处处右连续的

也就是分布函数在𝑥点的右极限值

等于这一点的函数值，常常记为

𝐹(𝑥+0)=𝐹(𝑥)

下面我们来证明一下这个结论

𝐹(𝑥+0)可以写成

𝐹(𝑥+1/𝑛)

𝑛趋于正无穷的极限形式

由分布函数的定义等于大𝑋小于等于

𝑥加𝑛分之一概率的极限

而大𝑋小于等于𝑥加𝑛分之一

这个事件是关于𝑛单调减小的

事件列，由概率的连续性

这个事件概率的极限

就等于事件极限的概率

也就是概率与极限运算交换次序

而事件大𝑋小于等于

𝑥加𝑛分之一的极限

表示随机变量𝑋的取值上限

只取到𝑥，因此等于

大𝑋小于等于𝑥的概率

也就是等于𝐹(𝑥)，即分布函数

在𝑥点的右极限值

等于𝑥点的函数值

也就是分布函数一定是一个右连续的函数

上述性质是分布函数的基本性质

任意分布函数必满足上述4条基本性质

而不满足上述性质的函数

一定不是分布函数

例如，下列函数中找出

可作为分布函数的一项

第一个分布函数在区间

0到正无穷，是减函数

而且𝐹正无穷

等于0不等于1

选项𝐵中的函数

𝐹正无穷是等于4分之3加上

2π分之1乘上负的2分之π

等于2分之1不等于0

选项𝐶中的函数在区间

2分之π到π上，是减函数

而且𝐹正无穷等于0

不等于1，因此前三项不满足分布函数的

4条基本性质，均不是分布函数

只有选项𝐷中的函数

满足分布函数的4条基本性质

因此这个题的正确选项为𝐷

好，接下来我们来讨论分布函数如何来

刻画随机事件的概率

首先我们来看大𝑋小于等于𝑎的概率

由分布函数的定义

这个概率恰好等于

分布函数在𝑎这点的函数值

也就是等于𝐹(𝑎)

那么大𝑋小于𝑎的概率

需要我们进一步的去讨论

大𝑋小于𝑎，这个事件

可以表示为大𝑋小于等于

𝑎减𝑛分之一对于𝑛取极限的形式

那么左边的概率就等于

右边这个事件极限的概率

由于大𝑋小于等于𝑎减

𝑛分之一，是一个单调的事件列

根据概率的连续性

这个事件极限的概率，就等于

这个事件概率的极限

也就是

极限和概率两个运算交换次序

这个概率为𝐹(𝑎−1/𝑛)

那么这个概率的极限就等于

𝐹(𝑎−1/𝑛)的极限

这个极限恰好为分布函数

在𝑎这一点的左极限值

因此大𝑋小于𝑎的概率

就等于𝐹(𝑎−0)

好了，有了小1小2这两个结论，我们可以当成公式

来讨论其它各种形式事件的概率

比如大𝑋大于𝑎小于等于𝑏的概率

表示随机事件在𝑎，𝑏之间

左开右闭的区间内取值的概率

那么这个概率就可以表示为

大𝑋小于等于𝑏的概率减去

大𝑋小于等于𝑎的概率

两个区间概率的差

由结论1，等于分布函数在𝑏点的

函数值减去在𝑎点的函数值

也就是𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎)

同理

大𝑋大于等于𝑎小于等于𝑏的概率

就等于大𝑋小于等于𝑏的概率

减去大𝑋小于𝑎的概率

等于𝐹(𝑏)减𝐹(𝑎)的左极限

类似的，大𝑋大于𝑎小于𝑏

与大𝑋大于等于𝑎小于𝑏

这两个事件也可由分布函数值的差

来表示

大𝑋大于𝑎小于𝑏等于

大𝑋小于𝑏的概率减去

大𝑋小于等于𝑎的概率

等于𝐹(𝑏−0)减去𝐹(𝑎)

而大𝑋大于等于𝑎小于𝑏的

概率，等于大𝑋小于𝑏的概率

减去大𝑋小于𝑎的概率

等于𝐹(𝑏−0)

减去𝐹(𝑎−0)

那么我们会注意到，参照结论三的形式

只要区间非左开右闭的点的形式

分布函数值都是左极限的形式

下面我们来看其它形式的概率

单点取值的概率

单点取值的概率可以表示为

大𝑋小于等于𝑥的概率减去

大𝑋小于𝑥的概率

那么它就等于

𝐹(𝑥)减去𝐹(𝑥)这一点的左极限值

大𝑋大于小𝑥的概率可以表示为

大𝑋小于等于𝑥的对立事件的概率

那

就等于1减大𝑋小于等于x的

概率，等于1减𝐹(𝑥)

同理，大𝑋大于等于𝑥的概率就等于

1减大𝑋小于𝑥的概率就等于

1减𝐹(𝑥)这一点的左极限值

好，由以上讨论可以知道

只要知道随机变量𝑋的分布函数

随机变量在任意区间上取值的概率

都可由分布函数来表示

分布函数完整的刻画了随机变量取值的

统计规律性

并且，特别的，当分布函数是连续的时候

分布函数的左极限值就等于该点的函数值

那么前面讨论的4种形式的概率

它们都等于𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎)

也就是，4种形式的概率都相等

而且都等于𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎)

说明当分布函数连续时

随机变量在任意区间内取值的概率

不必关注区间的开闭

类似的，这种无界区域内的概率

也不必关注区间的开闭

也就是大𝑋小于等于𝑥

与大𝑋小于𝑥的概率

都等于𝐹(𝑥)，大𝑋大于等于𝑥

与大𝑋大于𝑥的概率也相等

等于1−𝐹(𝑥)

那么分布函数连续的时候

取单点的概率一定等于零

取单点的概率就等于𝐹(𝑥)

减去𝐹(𝑥)的左极限

那么这一点的函数值和左极限相等

所以单点的概率一定是0

通过上面的讨论说明

当分布函数连续的时候

随机变量取值的区间多一个点和少一个点

不影响概率的计算

好，下面我们来看一个例题

设随机变量𝑋的分布函数为𝐹(𝑥)

当𝑋大于零时为𝐴+𝐵倍的𝑒的

−𝜆𝑥

当𝑥小于等于0时为0

其中𝜆是大于0的常数

1，求分布函数中的参数𝐴和𝐵

2，求大𝑋大于等于0小于1的概率

由于

分布函数在正无穷这一点的函数值

可以表示为𝐴+𝐵倍的𝑒的

−𝜆𝑥的极限的形式

那么这个极限等于𝐴加上𝐵

乘上𝑒^(−𝜆𝑥)的极限

由于𝑒^(−𝜆𝑥)的极限为0

因此等于𝐴，又由于

𝐹正无穷等于1

因此有𝐴等于1

分布函数在零点的右极限可以表示

为(𝐴+𝐵𝑒^(−𝜆𝑥))

在零点的右极限

等于𝐴加上𝐵乘上𝑒^(−𝜆𝑥)

零点的右极限

而𝑒^(−𝜆𝑥)零点的右极限值为1

从而等于𝐴+𝐵

又由于𝐹在零点的右极限值

等于零点的函数值

而𝐹(0)又等于零，因此有

𝐴+𝐵等于0

由𝐴等于1，求得𝐵等于−1

从而得到分布函数的具体形式为

𝑥大于零时

为1−𝑒^(−𝜆𝑥)

其它为0

好，下面我们来看第二个问题

求解

大𝑋大于等于0小于1的概率

由于这个分布函数是连续的函数

所以事件区间的开闭

对于计算概率没有影响

这个随机事件的概率等于分布函数在

1点的函数值减去在0点的函数值

而𝐹(0)又等于0

那么这个概率就等于𝐹(1)，把1代入

分布函数就等于1−𝑒^(−𝜆)

这一节我们主要讲的分布函数的概念

分布函数的性质以及用分布函数计算随机变量

在任意区间内取值的概率

对于一个随机变量

如果知道随机变量的分布函数

那么随机变量在任意区间内取值的

统计规律性，都会得到全面的描述

好，今天就讲到这里

谢谢大家