3.5.1 离散型随机向量函数的分布在线视频

大家好

下面我们学习三点五节

随机向量函数的分布

对于本节知识

我们分成离散型随机向量函数的分布和

连续型随机向量函数的分布两个模块

首先我们学习第一个模块离散型

随机向量函数的分布

该类问题的描述为已知(X,Y)的

联合分布列与Z=g(X,Y)的

函数关系

来求Z的分布列

下面我们就通过例题的形式

来展现这部分知识

已知(X,Y)的分布列如右表给出

求Z=X+Y的分布列

是一个非常简单的函数关系

那么这里呢我们知道Z

是一个一维的离散型

我们需要去求Z的取值

以及Z取这些值的概率

首先我们看 Z 的取值

由于Z=X+Y 那么我们看

联合分布列中X,Y的取值

就易得到 Z 的取值情况

Z 可以取 -2 或 者 -5 或者 1

Z取这么三个可能值

那么接着我们看Z取值的概率

Z取-2的概率

那么什么时候 Z 取-2呢

有两种情况

X 取-2

同时Y取0

还有一种情况

X取1 Y取-3

那么Z取-2的概率应该是两个概率的

和

那么代入概率值

得到Z取-2的概率就是0.4

那我们再看Z取-5的概率

也就是当X取-2

同时Y取-3的时候

概率值0.3

Z取1的概率

就是当X 取1 同时Y取

0的概率为0.3

这样的话我们就把Z的取值

以及取各个值的概率计算完毕了

我们填到分布列中就完成了Z 的分布列

这是这样一个例题

那么我们再看下一个例题

已知 X,Y 相互独立

给定了(X,Y) 各自的边际分布列

让我们来求

Z 等于 X,Y 最大值的分布列

那么这里边呢

Z 也是一个一维的

离散型变量我们需要去确定它的取值

以及取这些值的概率

咱们还是先看它的取值情况

X,Y 值的中的最大值是 Z 的值

那我们看 X 取 0 或 1, Y取0或1

那么当x 取0

同时y取0的时候

最大值是0

所以Z可能取0

X取0,Y取1或者X取1,Y取

0或者X取1,Y取1的时候

X,Y的最大值都等于

1,所以Z的可能取值

还有一个是1

这是Z的两个可能取值

我们找到了

那接下来我们看Z 取0的概率

Z 取0也就是X取0,y取0的时候

在结合到已知条件 X,Y 独立

变成事件概率的乘积

我们计算得到0.25

Z 等于 1 的概率

应该是三种情况都会使得Z等1

那应该是三个概率的和

同样应用一下独立性

那我们经过计算得到概率是0.75

好 我们填入数据既完成了Z 的分布列

好了

我们看这样的例题

那这个例题呢是关于泊松分布

最终这个题目告诉我们一个关于

泊松分布和的结论

假设 X,Y 独立

X是参数为λ1的泊松分布,Y是参数

为λ2的泊松分布

让我们证明 X+Y 仍然是泊松分布

参数变为λ1加λ2

那我们又已知 X,Y 都是泊松分布

易知X,Y各自的取值

以及它们取值的概率

那么由Z=X+Y我们

容易确定 Z 的取值

为0,1,2,3...

那接下来我们只需要再去

证明 Z取k的概率

如下式

就证明了Z服从参数

为λ1加λ2的泊松分布

所以呢下边我们只需证明Z取k的

概率是这样一个式子

就可以了

那么对于Z 等 k 这里边的这个Z呢

我们把它换到X,Y上去

Z=X+Y 那么它换进来

那么对于 X+Y 等于

k 这个事件呢

我们把它做一个分解

把它分解成 X 取 i

同时 Y 取 k-i

i从0到k这样的一些事件的并集

正好代表的是X+Y等于

k

好了 那么接下来

再用一下事件独立性

由 X,Y 独立

用一下事件的独立性

X=i同时Y=k-i的

概率变成它们概率的乘积

接着呢我们把X和Y取值的概率带入

得到下式

那么对于这个式子呢

我们再需要一个工具

需要准备一个东西什么呢

就是关于λ1加λ2的

k次方的一个二项展开式

如果我把展开式用进来的话

那这个式子就变为我们最终想要

证明的这个结果了

那这样的话我们就证明了X+Y

是服从参数为λ1加λ2的

泊松分布

我们看一个最简单的例子

假设X,Y独立,X是参数为2的泊松分布

Y是参数为5的泊松分布

那么 X+Y

应该是

参数为7的泊松分布

那在这个

结论应用的时候啊

大家要注意前提条件必须要求

X,Y是独立

如果没有这个独立的话

泊松分布加泊松分布

不一定服从泊松分布

如果有独立就可以了

一定要注意一下这个独立性

通过对本知识模块的学习

我们掌握了给定联合分布列以及函数

关系来求新变量Z 的

分布列的方法

同时给出了关于两个独立的泊松分布

和仍为泊松分布的结论

好了

对 本知识模块的学习

就到这里

再见