1.4.1条件概率的概念和概率的乘法公式在线视频

大家好

前面我们已经学习了概率的各种定义

概率的基本性质

利用这些定义和性质

可以计算简单的事件发生的概率问题

以这些定义和性质为基础

结合事件的关系和运算

我们就可以研究更加复杂的

事件发生的概率问题

我们来学习第一章第四节，条件概率的问题

主要包括条件概率和乘法公式

全概率公式和贝叶斯公式

首先学习条件概率和乘法公式

我们来看一个例子

抛掷一颗骰子观察其出现的点数

A表示出现的点数小于4

B表示出现偶数点，试求A的概率

B的概率和A交B的概率

这显然是一个古典概型的问题

所做的试验为掷骰子观察点数

那么样本空间中有六个样本点

而A出现点数小于四中

有三个样本点

所以A的概率为二分之一

B出现偶数点中有三个样本点

所以B的概率等于二分之一

而A交B中出现点数小于四

并且是偶数点显然只能是二点

所以A交B中有一个样本点

那么A交B的概率等于六分之一

这里B的概率是一个无条件概率

接下来我们再考虑A发生的条件下

B发生的概率

我们可以把它写成这样的一个符号的形式

这时显然样本空间缩减成了A

由古典概率，A发生的条件下

B发生的概率等于三分之一

它是一个条件概率

可以看到

条件概率和无条件概率显然是不相等的

但是我们发现

A发生的条件下

B发生的概率值三分之一

恰好等于A交B的概率六分之一

除以A的概率二分之一

我们可以把这个计算条件概率的

方法，称之为是公式法

这里出现的公式

它实际上具有一般性

这就是我们要学习的条件概率

下面我们给出条件概率的一般定义

对于事件A和B

如果A的概率大于零

我们就称

A发生的条件下

B发生的条件概率，可以写成

A交B的概率再比上A的概率

我们把这个概率就称为A发生的条件下

B发生的条件概率

类似的当B的概率大于零

我们可以得到

B发生的条件下

A发生的条件概率

它可以写成A交B的概率再比上B的概率

对于条件概率

我们要注意以下的几个方面

一般的，条件概率和无条件概率是不等的

但是当A等于必然事件时

我们这时把条件概率当中的

那个条件换成必然事件

那我们就可以得到

条件概率和无条件概率

它是相等的

第二个

条件概率

它也是概率，它满足概率的所有的性质

比如说，我们前面所学习的概率的

有限可加性，单调性等等

这些都是满足的

第三个需要注意的问题

就是

我们要知道A交B的概率

与A发生的条件下

B发生的条件概率

它们的区别是什么

我们说这里A交B表示

两个事件

同时发生

而A发生的条件下

B发生是指A和B的发生在时间上存在一定的

先后或者是逻辑上的主从关系

也就是说，A和B的发生

不是同时的，不是并列的

下面我们来看一个例子

某种元件用满6千小时

未坏的概率是四分之三，用满1万小时

未坏的概率是二分之一

现有一个此种元件，已经用过6千小时未坏

问它能用到1万小时的概率

要求事件发生的概率

首先我们要表示事件

设A表示

用满6千小时未坏

B表示用满1万小时未坏

则有已知条件，A的概率等于四分之三

B的概率等于二分之一

那么所求问题就是，求A发生的条件下

B发生的条件概率的问题

由条件概率的公式

它等于A交B的概率比上A的概率

我们注意到，用满1万小时未坏

则它一定用满了6千小时未坏

也就是说

B事件的发生一定会导致A事件的发生

所以

事件A和B满足这样的关系

事件A包含事件B

那么A交B

显然等于B

所以已经用过6千小时未坏

它能用到1万小时的概率

为B的概率比上A的概率

等于三分之二

这里我们用条件概率解决了一个实际问题

接下来我们来学习乘法公式

我们注意到条件概率的公式当中

A的概率大于零，B的概率大于零

如果我们把分母上的概率都乘过来

那我们就可以得到A交B的概率

我们把这样的两个

计算事件发生的概率的公式，称之为是乘法公式

具体的来看一下

如果A的概率大于零

那我们有A交B的概率等于

A的概率乘以A发生的条件下

B发生的条件概率

如果B的概率大于零

我们会有A交B的概率等于B的概率

再乘以B发生的条件下

A发生的条件概率

我们注意到这里A的概率大于零

和B的概率大于零

这是由条件概率的定义所决定的

这里的乘法公式还可以进一步的推广到

求三个事件交的概率的情况

如果A的概率大于零，A交B的概率大于零

那么A交B交上C

它的概率就可以写成

A的概率乘以A发生的条件下

B发生的概率

再乘以A交B发生的条件下

C发生的条件概率

那么对于这个公式,我们知道

事件的交运算是有结合律的

如果我们在这里首先把A交B结合在一起

把它看作条件

那我们利用上面给出的乘法公式

我们把它打开就可以得到

这样的一个计算公式

当然

在这里面我们也可以把B交C结合在一起

把它看作条件

那我们可以得到另外的一个

计算A交B交C的概率的一个计算公式

进一步的可以将乘法公式

推广到更一般的情况

我们设A1、A2、... An是任意的n个事件

那么A1交A2

再交到An的概率就可以写成

这样的一个计算公式

这就是乘法公式

今后

当我们遇到求两个事件三个事件

或者是多个事件交的概率的时候

我们就要想到乘法公式

尤其是两个事件的乘法公式

好，下面我们举例子来看

如何用乘法公式来求事件发生的概率

已知10只产品中有2只次品

现在不放回的任取两只

求取到的两只都是正品的概率

这个问题我们可以用两种方法来解决

第一种方法是用古典概率来求

我们设A

表示抽到的两只都是正品

求A发生的概率，首先考虑样本空间中

含有样本点的个数

我们所做的试验是在十个产品中

不放回的任取两只

这是有顺序的

所以属于排列的问题

因此样本空间中含有样本点的总数

就可以写成P十二的形式

也可以从乘法原理的角度来考虑

第一次抽取时是在十只产品中抽取一只

所以有十种方法

由于是不放回的抽取

所以第二次抽取时有九种方法

因此

由乘法原理

我们就可以得到样本空间当中含有样本点的

个数是十乘以九的形式

我们来考虑事件A

第一次抽取时有八个正品

所以有八种方法

而第二次抽取时有七只正品

所以有七种方法

因此A当中含有样本点的个数

由乘法原理，就是八乘以七的形式

那我们由古典概率可以计算

A发生的概率等于28/45

接下来我们来看第二种方法

设A表示

第一次抽到正品

B表示第二次抽到正品

则我们要求的抽到的两只都是正品

这件事发生的概率，就可以写成

A交B的概率的形式

我们将A选作条件，由乘法公式可以得到

A交B的概率就等于A的概率

乘以A发生的条件下

B发生的条件概率

这里A发生的概率和A发生的条件下

B发生的条件概率

都可以用古典概率来求

那么

A发生的概率

它是等于十分之八的

而A发生的条件下

B发生的条件概率

我们可以用缩减样本空间的方法

同时利用古典概率可以获得

当第一次抽取时是正品

那么产品当中还剩九件，有七件是正品

在A发生的条件下

B发生的条件概率我们代入到下面的公式当中

就可以获得A交B的概率了

它也是

28/45

这和用古典概率的那种方法

求出的结果是一致的

好，接下来我们再来看另外的一个例子

一批灯泡一共有100只

其中10只是次品

其余为正品

我们不放回的抽取

每次取一只，求第三次才取到正品的概率

首先我们来表示事件

设Ai表示

第i次取到正品

i取1，2，3

则我们用已知的事件来表示要求的事件

我们要求的事件是

第三次才取到正品这件事儿

那这也就说明第一次是没有取到正品的

第二次也没有取到正品

而第三次才取到正品

这三件事儿应该是同时发生的

所以我们要求的事件就可以表示成

A1的对立事件交A2的对立事件

再交上A3的形式

对于这个事件发生的概率

我们可以用前面介绍的

乘法公式来进行求解

我们来求第一次取到次品

这件事发生的概率

当第一次抽取时有100只灯泡

其中有10只次品

那么由古典概率，A1对立事件

也就是第一次取到次品这件事

发生的概率就是10/100

当第一次取到的是次品

那么我们第二次抽取时有99个灯泡

其中有九只是次品

所以由古典概率

A1的对立事件发生的条件下

A2的对立事件发生的

条件概率就等于9/99

接下来再考虑第三次抽取

由于前两次抽的都是次品

所以第三次抽取时是在

98只灯泡中取一只，取到的是正品

而我们知道

原来这批灯泡中

正品是90只

所以由古典概率，它的概率等于90/98

我们可以计算得到，结果约等于0.008

这样我们就计算了这个事件发生的概率了

好，以上我们学习了条件概率和乘法公式

简单的总结一下

我们主要学习了条件概率

有两个条件概率的计算公式，由条件概率公式

又推出了乘法公式及乘法公式的

推广形式

条件概率和乘法公式在求事件

发生的概率当中应用十分广泛

希望大家能够认真地做好复习

这部分内容就学习到这里，谢谢大家