4.2.3 三种连续型随机变量的方差在线视频

大家好

上次课我们学习了三种常见的

离散型随机变量的方差

接下来我们学习三种常见的

连续型随机变量的方差

这三种连续型随机变量

分别为均匀分布

正态分布，指数分布

首先看均匀分布

X是服从

区间a，b上的均匀分布，概率密度函数

f(x)等于x大于a小于b时

为b-a分之一

其它的时候为零

X的数学期望等于二分之a+b

X平方的数学期望等于X平方

乘以X的概率密度函数

在负无穷到正无穷的积分

因为f(x)在x大于a小于b时

为b减a分之一

其余的为零

所以此积分等于

x平方比上b-a在

区间a,b上的积分

根据牛顿莱布尼兹公式我们可得

x的立方比上三倍的b-a

在a,b区间上的增量

等于三分之a²+b²+ab

X的方差等于X平方的期望

减去X期望的平方

等于三分之a²+b²+ab

减去二分之a+b的平方

从而X的方差等于12分之b-a的平方

X服从均匀分布

数学期望等于二分之a+b

方差等于12分之b-a的平方

接下来为指数分布的方差

X服从参数λ的指数分布，概率密度函数

f(x)等于x>0时，λ乘上

e的负λX方，其它的为零

数学期望为λ分之一

X平方的数学期望等于X平方乘以

f(x)在区间负无穷到正无穷的积分

等于

X平方乘以λe的负λx方

零到正无穷的积分

利用分布积分等于负的零到正无穷

x平方de负λx

等于负X平方e的负λx

在零到正无穷的增量

加2x乘以e的负λx

在零到正无穷的积分

两项加和中

其中第一项增量是等于零的，于是积分等于

零到正无穷对2x乘以e的

负λx的积分

为了计算方便，提出λ分之二

于是等于λ分之二乘以

从零到正无穷，X乘以λe的

负λx方的积分

其中零到正无穷

这个积分为X的数学期望

所以等于λ分之二乘以λ分之一

等于λ²分之二

于是X的方差等于X平方的期望

减去X期望的平方，等于λ平方分之二

减去λ平方分之一

等于λ平方分之一

所以指数分布的数学期望等于λ分之一

方差等于λ平方分之一

接下来为正态分布

X服从参数μ，σ²的

正态分布，概率密度函数为

f(x)等于1比上根号2πσ

e的负的（x-μ）²比上2σ²

正态分布的数学期望等于μ

计算正态分布的方差，X的方差等于

X减去X期望平方的期望

等于X减去μ的平方乘f(x)

在负无穷到正无穷的积分

为了计算方便，我们令

u等于x-μ比上σ

于是积分等于σ的平方比上

根号2π乘以u²乘以e的

负二分之u的平方，在负无穷到正无穷的

积分

其中负无穷到正无穷，u²乘以e的

负的二分之u²的积分，利用伽马函数

等于根号

2π

所以积分等于σ的平方

比上根号2π乘以根号2π

等于σ的平方

于是，如果X服从μ，σ平方的

正态分布，数学期望为μ

方差为σ的平方

接下来我们看例题

已知X，Y独立同分布，X服从正态分布

2，4的正态分布

求2X减去2Y的方差

利用方差的性质

2X减去2Y的方差，等于四倍的

X方差加上四倍的Y的方差

因为XY同分布，方差均为四

所以等于4×4+4×4=32

接下来，我们看第二道例题

已知X的概率密度函数为f(x)，等于

当X大于0小于1时，为ax²+x+c

其它的时候为零

又已知，X的方差等于0.15

X的期望等于0.5，求a，b，c

首先我们利用概率密度函数的性质

得，(ax²+bx+c)在区间

0,1上的积分等于1

从而推出a/3+b/2+c=1

再利用数学期望，于是得

x(ax²+bx+c)在0到1上的

积分等于0.5

于是得

a/4+b/3+c/2

等于0.5

再利用方差得，

x²(ax²+bx+c)dx等于0.15

加0.5的平方

从而

a/5+b/4+c/3

等于0.4

联立得方程组，从而得a等于12

b等于-12，c等于3

接下来我们对本次课的知识进行总结

我们学习了三种常见连续型

随机变量的方差

如果X是服从a，b区间上的均匀分布

方差等于12分之b-a的平方

如果X是服从λ的指数分布

方差等于λ平方分之一

如果X是服从参数μ，σ²的

正态分布方差等于

σ的平方

本次课到此结束

谢谢大家