4.1.4 数学期望的性质在线视频

大家好

前面我们学习了随机变量

数学期望的定义

数学期望的计算方法

函数的数学期望的计算方法

下面我们讨论数学期望的性质

1.设C是常数

则有C的数学期望等于C

2.设X是一个随机变量

C是常数，则有CX的乘积的

数学期望，等于C乘以X的数学期望

3.设X，Y是两个随机变量

则有X+Y的数学期望

等于X的数学期望加Y的数学期望

4.设X、Y是相互独立的随机变量

则有XY的乘积的数学期望，等于X的

数学期望乘以Y的数学期望

下面我们证明结论3

X+Y的数学期望，等于X的数学期望

加Y的数学期望

我们只证明连续形式，设二维随机向量

(X,Y)是连续形式

它的联合密度是f(x,y)

则根据上一节我们讲的函数的数学期望

得到X+Y的数学期望

等于X+Y乘以联合密度f(x,y)

关于x,y积分

上面被积函数我们可以拆成

xf(x,y)积分

加上yf(x,y)积分

那么前面这个积分

xf(x)积分等于E(X)

后边

yf(x,y)积分

恰好就是Y的数学期望

这样我们就得到，X+Y的数学期望

等于X的数学期望

加Y的数学期望

这个结论可以推广到n个随机变量

也就是

n个随机变量求和的数学期望

i从1到n，Xi的数学期望

等于每个随机变量数学期望的求和

等于Xi的数学期望

i也从1到n求和

我们证明第4个结论

如果X,Y相互独立

则XY的数学期望

等于X的数学期望

乘以Y的数学期望

我们仍然针对连续型随机向量证明

由X与Y相互独立

所以(X,Y)的联合密度f(x,y)

等于X的边际密度

乘以Y的边际密度

从而

X,Y乘积的数学期望

等于x乘以y

乘以联合密度f(x,y)

把联合密度写成f(x)乘以f(y)

然后x和X的密度结合

y和Y的密度结合

那么这个积分呢

就可以分分成xf(x)

关于X积分，乘以y乘以Y的密度

关于Y积分

这样就得到X的数学期望

乘以Y的数学期望，就证明了这个结论

下面我们看这样一个问题

设X服从二项分布

参数是n，p，求X的数学期望

我们知道X服从二项分布

X表示

n重伯努利试验成功的次数

现在我们定义这样一个随机变量Xi

第i次实验中事件A发生

Xi等于1

第i次试验中

事件A不发生

Xi等于零

也就是Xi表示

第i次试验成功的次数

这样我们看一下

A发生的概率是P

则Xi等于1的概率就是P

那么X1，X2···Xn

是相互独立的

并且都服从同样一个

0-1

两点分布

并且Xi的均值

就是

p

且

X等于Xi的和

服从二项分布

这样X的均值就等于X1加

X2加到Xn的和的均值

根据前面的性质

等于均值的和，也就等于X1的均值加

X2的均值，加到Xn的均值

每个Xi的均值都等于p

所以X的均值等于np

再看这样一个问题

一机场班车载有20位旅客自机场开出

旅客有10个车站可以下车

如到达一个车站

没有旅客下车就不停车

以X表示停车的次数

求

X的均值

也就是平均停车次数，设每位旅客

在各个车站下车是等可能的

并设各旅客是否下车

是相互独立的

首先我们引入随机变量Xi

如果在第i站没有人下车

Xi等于零

如果在第i站有人下车

Xi就等于1

也就是在第i车站下车的次数是Xi

下面我们求一下Xi

等于0和1的概率

如果Xi定义为

第i车站下车的次数

那么总的下车次数X就等于

X1加X2加到X10

也就是总的停车次数表示

在第一个车站下车的次数

加上第二个车站下车的次数

加上第十个车站下车的次数

那么我们看一下，Xi等于0

Xi等于0说明

在第i车站不停车

也就是说

二十个人

每个人都在第i站

不下车

那么每个人在第i站下车的概率

是等可能的，都等于

十分之一，不下车的概率就是

十分之九，二十个人都不下车

概率就是十分之九的20次幂

Xi等于0

就说明所有的人都在第i站不下车

所以是0.9的20次幂

这样

Xi等于1，也就是说在第i站

要停车

至少有一个人要下车

那么这个概率呢是

1减9/10的20次幂

这样Xi等于0，1的概率

就求出来了

然后我们就可以求Xi的均值

等于0乘以9/10的20次幂

加上1乘以

1减9/10的20次幂

也就等于1减去9/10的20次幂

这样我们就得到

X的均值等于

E(X1+X2+····+X10)

等于X1的均值加

X2的均值加到X10的均值

每项的均值都等于

1减9/10的20次幂

所以等于10乘以1减9/10的20次幂

平均值呢是8.784次

再看这样一个问题

设某电路中

电流是I电阻是R

是相互独立的随机变量

它们的密度分别是

电流的密度是g(i)

等于当i大于等于0

小于等于1的时候是2i，其它是0

电阻R的密度是

当r大于等于0

小于等于3的时候

是九分之r的平方

其它是零

现在我们求一下电路电压V等于

I乘R的均值

因为电流与电阻相互独立

所以

我们可以

分别把I的均值和R的均值求出来

V的均值就等于

I的均值乘以R的均值

I的均值乘以R的均值

I的均值是i乘以密度g(i)

关于i积分

g(i)在(0,1)之间是2i

再乘i是2i的平方

g(i)非零区域是零到1

积分呢是三分之二

那么R的均值

等于r乘以

在

(0,3)上

h(r)的积分,h(r)是九分之r²

所以是九分之r的三次幂

积分得到是四分之九

V的

数学期望就等于

I的数学期望乘以R的数学期望

是三分之二乘以四分之九等于二分之三

上面我们学习了

数学期望的一些基本的性质

一，常数的数学期望是常数

二

CX的数学期望等于

C乘以E(X)

三，X+Y的数学期望，等于

X数学期望加上Y的数学期望

四、如果X与Y相互独立

得到乘积的数学期望，等于数学期望的乘积

今天的课就讲到这里

谢谢大家