2.2.2 0-1分布和二项分布在线视频

大家好

今天我们开始讲常见的离散型随机变量

这部分内容将要重点讨论三个重要的分布

分别为两点分布

二项分布和泊松分布

今天我们主要讲这一部分内容的

前两个重要分布

两点分布和二项分布

首先我们来看0-1分布

若随机变量𝑋只取0与1两个值

它的概率分布列为，表格的形式是

𝑋等于0的概率等于1−𝑝

𝑋取1的概率等于𝑝

或者表示为，𝑋等于𝑘的概率等于

𝑝的𝑘次幂乘上

1−𝑝 的

1−𝑘次幂，𝑘取0和1

这样一般通项表达形式

那么如果它的概率分布列是表格形式

或者是后边这样一个形式

我们就称𝑋服从0-1分布或两点分布

有时也称伯努利分布

若随机变量𝑋表示伯努利试验中

成功出现的次数

则𝑋取值只有0与1两种情况

因此𝑋一定服从0-1分布

所以只考虑两种可能结果的伯努利试验中的

成功出现的次数，都可以用0-1分布

来描述

例如，明天的股票是涨还是跌，掷骰子时

所赌的点数是否出现，抽到的产品

是合格品还是次品等等

好，下面我们来介绍二项分布

若随机变量𝑋的概率分布列为

取值为0,1,⋯,𝑛，一共𝑛+1种情况

取值的概率𝑝_𝑘

也就是等于𝑋=𝑘的概率

等于𝐶_𝑛^𝑘乘上𝑝的𝑘次幂

乘上1−𝑝的𝑛−𝑘次幂

这个概率分布列这个表达式

恰为二项展开式中的一般项

因此我们就称，具有这样概率分布列的

随机变量

服从参数为𝑛， 𝑝的二项分布

记为大𝑋波浪线大𝐵(𝑛,𝑝)

如果随机变量𝑋表示

𝑛重伯努利试验中成功出现的次数

则随机变量𝑋取值和取值对应的概率

恰好为二项分布的概率分布列

因此𝑋一定服从

参数为𝑛， 𝑝的二项分布，也就是

𝑛重伯努利试验中成功出现的

次数的概率分布情况

都可用二项分布来描述

而且当𝑛等于1的时候

𝑋服从的是大𝐵(1,𝑝)的二项分布

此时随机变量𝑋只取0，1两种情况

𝑋服从0-1分布

也就是0-1分布为二项分布的特例

下面我们来看二项分布的分布特征

当𝑘大于等于1时，固定𝑛,𝑝，考虑比值

𝑝_𝑘比上𝑝_(𝑘−1)

也就是

概率分布列的后项比前项，带入二项分布的

概率分布列化简为1+𝑚

其中𝑚等于𝑘乘上1−𝑝分之

𝑛加1倍的𝑝减𝑘

那么𝑘的正负与它的分子𝑛加

1倍的𝑝减𝑘的正负是一致的

当𝑘小于𝑛加1倍的𝑝时

𝑚大于0

比值大于1

也就是𝑝_𝑘大于𝑝_(𝑘−1)

后项比前项大

也就是𝑝_𝑘随着𝑘的增大而增大

而当𝑘大于𝑛加1倍的𝑝时

𝑚小于0

比值小于1

𝑝_𝑘小于𝑝_(𝑘−1)

后项比前项要小

那么这个时候𝑝_𝑘会随着

𝑘的增大而减小

由这两项分析

我们就知道，二项分布的概率分布列

一定是先随𝑘的增大而增大

后随𝑘的增大而减小

因此

一定会存在着极大值项

而当𝑛加1倍的𝑝不是整数时

我们把𝑛加1倍的𝑝取整，记为𝑘_0

那么分布列的极大值项

只有一项为𝑝_(𝑘_0 )

也就是X等于k0的概率达到极大值

那𝑋等于𝑘_0的可能性就是最大的

𝑘_0等于𝑛加1倍的𝑝的取整

就为二项分布最可能成功的次数

如果𝑛加1倍的𝑝恰好为一个整数

这个时候我们就取𝑘_0

就等于𝑛加1倍的𝑝

此时，比值𝑝_(𝑘_0 )比上𝑝_(𝑘_0−1)

就等于1

也就是𝑝_(𝑘_0 )等于𝑝_(𝑘_0−1)

两项同时达到极大值

那么𝑘_0和𝑘_0−1都为二项分布

最可能成功出现的次数

下面我们给出了四组

𝑛,𝑝值的二项分布的分布图

从图中我们也看到，二项分布分布列

先随𝑘增大而增大

然后随𝑘增大而减小

这样的一个分布特征

下面我们来看例题

一大批产品，一级品率为0.2

随机抽取二十只

求其中一级品数𝑋的

概率分布列以及二十只中

最有可能的一级品数

从一大批产品中随机抽取二十只

可以看作是20重伯努利试验

抽到一级品数认为是成功

则随机变量𝑋就服从参数为𝑛,𝑝的

二项分布

其中𝑛等于二十

𝑝等于0.2

由二项概率分布列

我们就知道，𝑋的概率分布列的

一般通向表达式为𝑝_𝑘等于

𝑋等于𝑘的概率等于

𝐶_20^𝑘，0.2的𝑘次幂乘上

1−0.2的20−𝑘次幂

𝑘等于0,1,2一直到20

其中𝑛加1倍的𝑝就等于

21乘0.2等于4.2

不是整数

因此𝑘_0就等于4.2的取整等于4

概率分布列的极大值项只有一项

就是那个𝑝_(𝑘_0 )

也就是p4

也就是X取4的概率是最大的

20只中最可能的一级品数就为4

好，下面再来看另一例题

掷一枚骰子六十次

若随机变量𝑋为点数小于三的次数

问，𝑋服从什么样的分布

掷一枚骰子六十次

可以看作是60重伯努利试验

点数小于3认为成功

那么这样的一个伯努利实验成功

出现的次数可以用二项分布来描述

也就是

𝑋服从二项分布，参数𝑛等于60

𝑝为成功的概率，𝑝为点数小于3的概率

它是未知的

需要我们进一步来求解

如果设随机变量𝑌表示

掷一枚骰子出现的点数

那么随机变量𝑌的取值为

1,2,3,4,5,6，六种情况

取值对应的概率是等可能的

都为六分之一

那么点数小于3的概率

就等于𝑌等于1的概率加上

𝑌等于2的概率等于三分之一

因此𝑋服从的就是参数为

60,1/3的二项分布

这一节我们主要讲了两点分布和二项分布

并介绍了二项分布的性质

两点分布可以作为只有两个试验结果的

伯努利试验中成功次数的概率模型

二项分布可以作为𝑛重伯努利试验中

成功出现的次数或事件𝐴

发生次数的概率模型

好，今天就讲到这里

谢谢大家