当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第四章 随机变量的数学期望 > 第2节 方差 > 4.2.1 方差的定义及性质
大家好
今天我们学习第四章的第二节
随机变量的方差
在这一节中介绍方差的定义及性质
三种常见的离散型随机变量的方差
三种常见的连续型随机变量的方差
以及切比雪夫不等式
首先，方差的定义及性质
方差的定义
X为随机变量
如果X减去X期望的平方的期望存在
则称此期望为X的方差，通常用D(X)表示
即D(X)=E{[X-E(X)]²}
X的方差表示为X的取值与其
数学期望的偏离程度
如果X取值比较集中
则方差较小
如果X取值比较分散，则方差较大
通过方差的定义可以看出，方差
大于等于零，于是对方差开方
称σ(X)为方差开方
为X的标准差或者是均方差
对方差计算的时候，可以采用
X的方差等于X平方的期望
减去X期望的平方
因为X的方差等于X减去
X数学期望平方的期望
对平方展开
等于X平方
加上X期望的平方减去
二倍的X乘以X期望再求期望
根据数学期望的性质
可以得到X平方的期望
加上X期望的平方减去
二倍的X期望乘以X期望
所以X的方差等于X平方的期望
减去X期望的平方
接下来我们讨论方差的性质
第一个性质，C为常数
则常数C的方差等于零
因为C的方差等于C的平方的期望
减去C的期望的平方，等于C方
减去C方等于零
性质2，C为常数，X为随机变量
则C乘X求方差
等于C的平方乘以X的方差
C乘X求方差，等于C的平方X平方的
数学期望减去
C乘X的期望的平方
于是等于，C方乘以X平方的期望减去
C方乘以X期望的平方
公因子C方提出，于是得
C方乘以X平方的期望
减去X期望的平方
从而C乘X求方差
等于C的平方乘以X的方差
第三个性质
X，Y为任意的随机变量
则X加上Y求方差，等于X方差加
Y的方差，加二倍的X乘以Y的期望
减去X期望乘以Y的期望
X加上Y求方差，等于
X加上Y平方的期望
减去X加上Y期望的平方
平方展开
于是，X平方加Y的平方加
二倍XY的数学期望减去X期望
加Y的期望再平方
根据数学期望的性质
于是得，X平方的数学期望
加Y的平方的期望，加二倍的X乘以
Y的期望减去X期望的平方，减去
Y的期望的平方减去二倍的X期望
乘Y的期望
那么
X平方的期望
减去X期望的平方，为X的方差
Y的平方的期望
减去Y的期望的平方，为Y的方差
剩下两部分，公因子二提出
于是加上二倍的X乘以Y期望
减去X期望乘以Y的期望
通过第三个性质
于是我们可以得到如下推论
X，Y为任意随机变量
则X减去Y求方差，等于X方差加
Y的方差减去二倍的X乘以Y期望
减去X期望乘以Y的期望
通过数学期望的性质
我们已经知道
如果XY相互独立
在相互独立的条件下
X乘以Y的期望，等于X期望乘Y的期望
于是，XY如果相互独立
则X加上Y的方差，等于X方差加
Y的方差，同时等于X减去Y求方差
我们再进行推论
于是得X1，X2，···Xn
如果相互独立
则σi从1到n，Xi的方差
等于σi从1到n，D(Xi)
接下来我们看例题
已知，X的方差等于1，Y的方差等于2
并且XY相互独立
求2X减去3Y减去1的方差
根据方差的性质
于是可以得到，4D(X)+9D(Y)
X的方差为1，Y的方差为2
于是等于4×1+9×2，等于22
好，看第二道例题
已知一台设备由三大部件构成
运行时
它们需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3
假设它们之间相互独立
X表示同时需要调整的部件数
求，X的期望X的方差
记X1，X2，X3
表示三大部件
各自需要调整的部件数
于是，X=X1+X2+X3
X1表示
第一个部件需要调整的部件数
于是X的取值分别为0、1
相应的概率为0.9、0.1
于是得到，X1的数学期望等于0.1
X1的平方的数学期望等于0.1
X1的方差等于0.09
同理可得
X2的取值
也为0、1，相应的概率0.8、0.2
X2的数学期望0.2，X2平方的
数学期望0.04，X2的方差
等于0.16
那么
X3的取值0、1，相应的概率0.7、0.3
X3的数学期望为0.3，X3平方的
数学期望为0.09，X3的方差等于
0.21
从而X的数学期望等于X1的期望
加X2的期望加X3的期望，等于
0.1+0.2+0.3=0.6
X的方差等于X1的方差加
X2的方差加X3的方差，等于
0.09+0.16+0.21=0.46
接下来我们对本次课进行总结
这次课我们学习了方差的定义及性质
方差D(X)等于X减去X平方的期望
等于X平方的期望
减去X期望的平方
C为常数，C的方差等于零
C为常数，X为随机变量
C乘X求方差
等于C方乘以X的方差
XY为任意的随机变量
则X加上Y求方差等于X方差加
Y的方差，加二倍的X乘以Y的期望
减去X期望乘以Y的期望
今天的课到此结束
谢谢大家
-第1节 随机事件
--1.1 作业
-第2节 概率的定义和性质
--1.2 作业
-第3节 古典概型与几何概型
--1.3 作业
-第4节 条件概率
--1.4 作业
-第5节 随机事件的独立性
--1.5 作业
-本章测试
--第一章测试
-第1节 随机变量与分布函数
--2.1 作业
-第2节 离散型随机变量
--2.2 作业
-第3节 连续型随机变量
--2.3 作业
-第4节 随机变量函数的分布
--2.4 作业
-本章测试
--第二章测试
-第1节 二维随机向量及其分布函数
--3.1 作业
-第2节 二维离散型随机向量
--3.2 作业
-第3节 二维连续型随机向量
--3.3 作业
-第4节 条件分布与随机变量的独立性
--3.4 作业
-第5节 随机向量函数的分布
--3.5 作业
-本章测试
--第三章测试
-第1节 数学期望
--4.1 作业
-第2节 方差
--4.2 作业
-第3节 协方差和相关系数
--4.3 作业
-第4节 矩和协方差矩阵
-本章测试
--第四章测试
-第1节 大数定律
--5.1 作业
-第2节 中心极限定理
--5.2.2 De Moivre-Laplace 中心极限定理
--5.2 作业
-本章测试
--第五章测试
-第1节 数理统计的基本问题
-第2节 总体、样本和统计量
--6.2 作业
-第3节 抽样分布
--6.3 抽样分布
--6.3 作业
-第4节 抽样分布定理
--6.4 作业
-本章测试
--第六章测试
-第1节 参数点估计
--7.1 作业
-第2节 区间估计
--7.2 作业
-第3节 非正态总计参数的区间估计
--7.3 作业
-本章测试
--第七章测试
-第1节 假设检验的基本概念
--8.1 作业
-第2节 正态总体参数的假设检验
--8.2 作业
-第3节 非正态总体参数的假设检验
-本章测试
--第八章测试
-期末考试
