当前课程知识点:概率论与数理统计 > 第七章 参数估计 > 第3节 非正态总计参数的区间估计 > 7.3 非正态总体参数的区间估计和单侧置信区间
大家好
今天我们来学习第七章第三节
非正态总体参数的区间估计
和第四节单侧置信区间的内容
当总体不服从正态分布时
统称为非正态总体
一般来说
对于非正态总体要确定统计量的分布,
是非常困难的
在实际问题中
我们可以根据中心极限定理
将非正态总体的区间
估计问题,近似转化为正态总体的
区间估计问题
设总体X分布任意,总体均值
E(X)=μ,总体方差D(X)=σ²
都是存在的
(X1,X2···Xn)是取自总体X的样本
X和S²分别表示样本均值和样本方差
对于给定的置信度𝟏−𝜶
讨论总体均值μ的置信区间
当σ²已知时
U这个统计量
等于Xi求和减去它们
和的期望除以标准差
分子分母同时除以n
就得到这个式子
它等于X-μ除以σ比上根号n
根据中心极限定理,U是近似的
服从于标准正态分布
因此
根据分位数的定义就有这个概率
约等于𝟏−𝜶
我们从中解出μ
就得到了总体μ的置信度为
𝟏−𝜶的置信区间
如果σ²是未知的
这时
以σ²的无偏估计量S²来代替σ²,
那么统计量U依然近似服从
标准正态分布
因此在σ²未知时
总体均值μ的置信度为𝟏−𝜶的
置信区间,近似的为下面这个式子
我们来看一个例题
从一大批产品中随机抽取100个产品
经检验有60个一级品,求这批产品的
一级品率p的置信度为0.95的置信区间
由于总体方差未知
因此所求的置信区间是这种形式
我们代入数据
n=100,x=0.6,s=0.49
U𝟏−𝜶/2等于1.96
我们就可以计算出来
所求的置信区间为(0.5035,0.6965)
接下来,我们来看单侧置信区间的概念
前面我们讨论的
区间估计问题,参数的置信区间都是有
两个有限的端点置信下限和置信上限
这样的置信区间叫做双侧置信区间
但是在一些实际问题中
我们有时关心的只是未知参数
至少有多大或者不超过多大
这样就引出了单侧置信区间的概念
我们来看定义,设(X1,X2···Xn)是取自
总体X的样本,θ为总体分布的
一个未知参数
θ1或者θ2是由样本构造的一个统计量
如果对于给定的置信度𝟏−𝜶
有这两个式子成立
我们就称
随机区间θ1到无穷或者
负无穷到θ2为
未知参数θ的一个置信度为𝟏−𝜶的置信区间
其中的θ1称为单侧置信下限
θ2为单侧置信上限
下面我们来看一个具体的题目
从一批灯泡中随机抽取5只做寿命试验
测得其寿命如下
设灯泡寿命服从正态分布
参数是μ和5的平方,求平均寿命μ的
置信度为0.95的单侧置信下限
我们设灯泡寿命的样本均值为X
根据抽样分布定理
T这个统计量服从自由度为n-1的T分布
根据分位数的概念
我们可以得到
T这个统计量小于t𝟏−𝜶的概率为𝟏−𝜶
我们从中解出μ,就得到
平均寿命μ的置信度为0.95的
单侧置信下限为
X减去S除以根号n乘以t的分位数
我们代入题目中的数据
计算就可以得到置信下限为1068.6
因此所求的单侧置信区间为1068.6到正无穷
在本节课我们讨论了
非正态总体参数的区间估计
和单侧置信区间问题
这样,所有的参数估计的问题就讨论完了
接下来将进入统计中的另一类重要的问题
假设检验
这次课我们就讲到这里,谢谢大家,再见
-第1节 随机事件
--1.1 作业
-第2节 概率的定义和性质
--1.2 作业
-第3节 古典概型与几何概型
--1.3 作业
-第4节 条件概率
--1.4 作业
-第5节 随机事件的独立性
--1.5 作业
-本章测试
--第一章测试
-第1节 随机变量与分布函数
--2.1 作业
-第2节 离散型随机变量
--2.2 作业
-第3节 连续型随机变量
--2.3 作业
-第4节 随机变量函数的分布
--2.4 作业
-本章测试
--第二章测试
-第1节 二维随机向量及其分布函数
--3.1 作业
-第2节 二维离散型随机向量
--3.2 作业
-第3节 二维连续型随机向量
--3.3 作业
-第4节 条件分布与随机变量的独立性
--3.4 作业
-第5节 随机向量函数的分布
--3.5 作业
-本章测试
--第三章测试
-第1节 数学期望
--4.1 作业
-第2节 方差
--4.2 作业
-第3节 协方差和相关系数
--4.3 作业
-第4节 矩和协方差矩阵
-本章测试
--第四章测试
-第1节 大数定律
--5.1 作业
-第2节 中心极限定理
--5.2.2 De Moivre-Laplace 中心极限定理
--5.2 作业
-本章测试
--第五章测试
-第1节 数理统计的基本问题
-第2节 总体、样本和统计量
--6.2 作业
-第3节 抽样分布
--6.3 抽样分布
--6.3 作业
-第4节 抽样分布定理
--6.4 作业
-本章测试
--第六章测试
-第1节 参数点估计
--7.1 作业
-第2节 区间估计
--7.2 作业
-第3节 非正态总计参数的区间估计
--7.3 作业
-本章测试
--第七章测试
-第1节 假设检验的基本概念
--8.1 作业
-第2节 正态总体参数的假设检验
--8.2 作业
-第3节 非正态总体参数的假设检验
-本章测试
--第八章测试
-期末考试