当前课程知识点:概率论与数理统计 >  第七章 参数估计 >  第3节 非正态总计参数的区间估计 >  7.3 非正态总体参数的区间估计和单侧置信区间

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7.3 非正态总体参数的区间估计和单侧置信区间在线视频

下一节:8.1.1 假设检验的思想和方法

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7.3 非正态总体参数的区间估计和单侧置信区间课程教案、知识点、字幕

大家好

今天我们来学习第七章第三节

非正态总体参数的区间估计

和第四节单侧置信区间的内容

当总体不服从正态分布时

统称为非正态总体

一般来说

对于非正态总体要确定统计量的分布,

是非常困难的

在实际问题中

我们可以根据中心极限定理

将非正态总体的区间

估计问题,近似转化为正态总体的

区间估计问题

设总体X分布任意,总体均值

E(X)=μ,总体方差D(X)=σ²

都是存在的

(X1,X2···Xn)是取自总体X的样本

X和S²分别表示样本均值和样本方差

对于给定的置信度𝟏−𝜶

讨论总体均值μ的置信区间

当σ²已知时

U这个统计量

等于Xi求和减去它们

和的期望除以标准差

分子分母同时除以n

就得到这个式子

它等于X-μ除以σ比上根号n

根据中心极限定理,U是近似的

服从于标准正态分布

因此

根据分位数的定义就有这个概率

约等于𝟏−𝜶

我们从中解出μ

就得到了总体μ的置信度为

𝟏−𝜶的置信区间

如果σ²是未知的

这时

以σ²的无偏估计量S²来代替σ²,

那么统计量U依然近似服从

标准正态分布

因此在σ²未知时

总体均值μ的置信度为𝟏−𝜶的

置信区间,近似的为下面这个式子

我们来看一个例题

从一大批产品中随机抽取100个产品

经检验有60个一级品,求这批产品的

一级品率p的置信度为0.95的置信区间

由于总体方差未知

因此所求的置信区间是这种形式

我们代入数据

n=100,x=0.6,s=0.49

U𝟏−𝜶/2等于1.96

我们就可以计算出来

所求的置信区间为(0.5035,0.6965)

接下来,我们来看单侧置信区间的概念

前面我们讨论的

区间估计问题,参数的置信区间都是有

两个有限的端点置信下限和置信上限

这样的置信区间叫做双侧置信区间

但是在一些实际问题中

我们有时关心的只是未知参数

至少有多大或者不超过多大

这样就引出了单侧置信区间的概念

我们来看定义,设(X1,X2···Xn)是取自

总体X的样本,θ为总体分布的

一个未知参数

θ1或者θ2是由样本构造的一个统计量

如果对于给定的置信度𝟏−𝜶

有这两个式子成立

我们就称

随机区间θ1到无穷或者

负无穷到θ2为

未知参数θ的一个置信度为𝟏−𝜶的置信区间

其中的θ1称为单侧置信下限

θ2为单侧置信上限

下面我们来看一个具体的题目

从一批灯泡中随机抽取5只做寿命试验

测得其寿命如下

设灯泡寿命服从正态分布

参数是μ和5的平方,求平均寿命μ的

置信度为0.95的单侧置信下限

我们设灯泡寿命的样本均值为X

根据抽样分布定理

T这个统计量服从自由度为n-1的T分布

根据分位数的概念

我们可以得到

T这个统计量小于t𝟏−𝜶的概率为𝟏−𝜶

我们从中解出μ,就得到

平均寿命μ的置信度为0.95的

单侧置信下限为

X减去S除以根号n乘以t的分位数

我们代入题目中的数据

计算就可以得到置信下限为1068.6

因此所求的单侧置信区间为1068.6到正无穷

在本节课我们讨论了

非正态总体参数的区间估计

和单侧置信区间问题

这样,所有的参数估计的问题就讨论完了

接下来将进入统计中的另一类重要的问题

假设检验

这次课我们就讲到这里,谢谢大家,再见

概率论与数理统计课程列表:

第一章 概率论的基本概念

-第1节 随机事件

--1.1.1 随机试验、样本空间、随机事件

--1.1.2 事件的关系和运算

--1.1 作业

-第2节 概率的定义和性质

--1.2.1 随机事件的频率及概率

--1.2.2 概率的性质

--1.2 作业

-第3节 古典概型与几何概型

--1.3.1 古典概型

--1.3.2 几何概型

--1.3 作业

-第4节 条件概率

--1.4.1条件概率的概念和概率的乘法公式

--1.4.2 全概率公式

--1.4.3 贝叶斯公式

--1.4 作业

-第5节 随机事件的独立性

--1.5.1 两个事件、三个事件及多个事件的独立性

--1.5.2 n 重伯努利试验

--1.5 作业

-本章测试

--第一章测试

第二章 随机变量及其概率分布

-第1节 随机变量与分布函数

--2.1.1 随机变量

--2.1.2 分布函数

--2.1 作业

-第2节 离散型随机变量

--2.2.1 定义与基本概念

--2.2.2 0-1分布和二项分布

--2.2.3 泊松分布

--2.2 作业

-第3节 连续型随机变量

--2.3.1 定义与基本概念

--2.3.2 均匀分布和指数分布

--2.3.3 正态分布

--2.3 作业

-第4节 随机变量函数的分布

--2.4.1 离散型随机变量函数的概率分布

--2.4.2 连续型随机变量函数的概率分布

--2.4 作业

-本章测试

--第二章测试

第三章 二维随机向量及其分布

-第1节 二维随机向量及其分布函数

--3.1 二维随机向量及其分布函数

--3.1 作业

-第2节 二维离散型随机向量

--3.2 二维离散型随机向量

--3.2 作业

-第3节 二维连续型随机向量

--3.3.1 基本概念与性质

--3.3.2 二维连续型随机向量的例题

--3.3.3 二维均匀分布与二维正态分布

--3.3 作业

-第4节 条件分布与随机变量的独立性

--3.4.1 条件分布

--3.4.2 随机变量的独立性

--3.4 作业

-第5节 随机向量函数的分布

--3.5.1 离散型随机向量函数的分布

--3.5.2 连续型随机向量函数的分布

--3.5 作业

-本章测试

--第三章测试

第四章 随机变量的数学期望

-第1节 数学期望

--4.1.1 离散型随机变量的数学期望

--4.1.2 连续型随机变量的数学期望

--4.1.3 随机变量函数的数学期望

--4.1.4 数学期望的性质

--4.1 作业

-第2节 方差

--4.2.1 方差的定义及性质

--4.2.2 三种离散型随机变量的方差

--4.2.3 三种连续型随机变量的方差

--4.2.4 切比雪夫不等式

--4.2 作业

-第3节 协方差和相关系数

--4.3.1 协方差

--4.3.2 相关系数

--4.3 作业

-第4节 矩和协方差矩阵

--4.4 矩和协方差矩阵

-本章测试

--第四章测试

第五章 大数定律和中心极限定理

-第1节 大数定律

--5.1.1 依概率收敛和伯努利大数定律

--5.1.2 切比雪夫大数定律和辛钦大数定律

--5.1 作业

-第2节 中心极限定理

--5.2.1 独立同分布的中心极限定理

--5.2.2 De Moivre-Laplace 中心极限定理

--5.2 作业

-本章测试

--第五章测试

第六章 数理统计的基本概念

-第1节 数理统计的基本问题

--6.1 数理统计的基本问题

-第2节 总体、样本和统计量

--6.2 总体、样本和统计量

--6.2 作业

-第3节 抽样分布

--6.3 抽样分布

--6.3 作业

-第4节 抽样分布定理

--6.4 抽样分布定理

--6.4 作业

-本章测试

--第六章测试

第七章 参数估计

-第1节 参数点估计

--7.1.1 矩估计法

--7.1.2 最大似然估计法

--7.1.3 估计量的评选标准

--7.1 作业

-第2节 区间估计

--7.2.1 区间估计的概念和术语

--7.2.2 正态总体参数的区间估计

--7.2 作业

-第3节 非正态总计参数的区间估计

--7.3 非正态总体参数的区间估计和单侧置信区间

--7.3 作业

-本章测试

--第七章测试

第八章 假设检验

-第1节 假设检验的基本概念

--8.1.1 假设检验的思想和方法

--8.1.2 假设检验的形式和两类错误

--8.1 作业

-第2节 正态总体参数的假设检验

--8.2.1 正态总体均值的假设检验(方差已知)

--8.2.2 正态总体均值的假设检验(方差未知)

--8.2.3 正态总体方差的假设检验

--8.2.4 两独立正态总体均值相等的假设检验

--8.2.5 两独立正态总体方差相等的假设检验

--8.2 作业

-第3节 非正态总体参数的假设检验

--8.3 非正态总体参数的假设检验

-本章测试

--第八章测试

期末考试

-期末考试

7.3 非正态总体参数的区间估计和单侧置信区间笔记与讨论

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