当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第一章 概率论的基本概念 > 第4节 条件概率 > 1.4.3 贝叶斯公式
大家好
前面我们学习了
求解复杂事件发生概率的全概率公式
它主要用来求
由原因求结果的复杂事件发生的概率问题
而在实际问题中
我们还经常遇到
由结果求原因的复杂问题
下面就来研究这样的问题
我们来学习第一章第四节
条件概率的第三个内容
贝叶斯公式
首先，来看一个例子
某人去外地开会
乘火车、汽车、飞机的概率分别为0.3，0.2，0.5
若乘火车和汽车则迟到的概率
分别为0.1和0.2
若乘飞机则不会迟到
求该人迟到了
它是乘火车去的概率
我们首先要表示事件
设A1、A2、A3分别表示
乘火车、汽车和飞机
B表示该人迟到了
那么所求的概率就可以表示成
B发生的条件下
A1发生的条件概率
由条件概率的定义，这个概率可以写成
A1交B的概率比上B的概率
我们再用乘法公式将A1选作条件
那么A1交B的概率就可以写成
A1的概率乘以A1发生的条件下
B发生的条件概率
而B的概率由上一节课
我们学习的内容，全概率公式
可以获得B事件发生的概率
那我们把这个全概率公式代入到
B的概率当中
我们就可以得到这样的一个计算公式
我们代入数据可以获得
B发生的条件下
A1发生的条件概率等于3/7
对于这个问题，利用相同的方法
我们还可以研究该人迟到了
它是乘汽车去的概率
也就是B发生的条件下
A2发生的条件概率
这时
我们仍然可以利用刚才的那种想法
我们只需要把上面的这个公式
当中的那个A1
和这个A1，给它换成A2就可以了
那我们代入数据可以计算B发生的条件下
A2发生的条件概率等于4/7
同样的，可以得到该人迟到了
它是乘飞机去的概率，即B发生的条件下
A3发生的条件概率是等于零的
我们比较这三个概率值，可以知道该人迟到了
那么它最有可能是乘汽车去的
因为这个概率是最大的
我们来分析一下这个问题
如果我们将迟到B看做是结果
而将A1、A2、A3看作是
导致它发生的三个原因
那么该人迟到了
它是乘坐哪种交通工具去的
问题就是由结果
求原因的问题
那么我们刚才给出的三个计算公式实际上
就是一个简单的贝叶斯公式
它可以用来解决已知结果求导致这个结果的
某个原因发生的概率的问题
可以看到
在这三个公式中
分母上B的概率就是结果的概率
可以用全概率公式来进行求解
写成了三项和的形式
而分子上的表达式就是分母表达式当中
三项和中的一项
求结果发生的条件下
第几个原因发生的概率
我们就选三项和当中的第几项就可以了
我们可以把这个公式推广到更一般的情况
就可以获得一般的贝叶斯公式
设A1、A2到An是样本空间Ω的
一个划分，B是任意的一个事件
并且B的概率是大于零的
那么
B发生的条件下，Ai发生的条件概率
就可以写成这样的一个计算公式
我们把这个公式称为贝叶斯公式
这里我们把Ai的概率称为先验概率
而把B发生的条件下，Ai发生的
条件概率称为后验概率
先验概率常常是根据
以往的经验总结获得的
而后验概率是对先验概率的一种修正
下面我们会给大家举例子
来说明这两者之间的关系
贝叶斯公式主要用来解决由结果
求原因的概率的计算问题
它通常会与全概率公式一起使用
全概率公式是由因求果
而贝叶斯公式是由果求因的问题
经常用来解决条件概率的问题
下面我们来看一个实际的问题
据统计人群中病毒携带者约占千分之一
也就是0.001
携带者对试剂反应呈阳性的概率为0.95
未携带者对试剂反应呈阳性的
概率为0.01
现随机地在人群中抽取一人
求该人检验结果呈阳性的概率
若该人检验结果呈阳性
则该人携带病毒的概率
对于这个实际问题
我们首先要表示事件
设A表示
该人携带病毒，B表示
该人检验结果是呈阳性的
则根据已知条件
A的概率等于0.001，A发生的条件下
B发生的条件概率等于0.95
A的对立事件的概率等于0.999
A的对立事件发生的条件下
B发生的条件概率是等于0.01的
那么第一个问题
若该人检验结果呈阳性
则这个人可能携带病毒
也可能不携带病毒
所以A和A的对立事件可以看作是
导致B发生的两个原因，是由原因
求结果的问题
我们可以用全概率公式来进行求解
可以得到B发生的概率是
等于0.01094
我们来考虑问题二
若该人检验结果呈阳性
则该人携带病毒的概率
显然是条件概率的问题
因为B是结果
而A是原因
所以我们可以用贝叶斯公式来进行求解
我们来求B发生的条件下
A发生的条件概率
代入数据可以计算得到
概率是0.0868
这里我们看到A的概率
它实际上就是先验概率
B发生的条件下
A发生的条件概率就是后验概率
可以看到后验概率比先验概率
增大了80倍左右
这也就是说
当一个人检验结果是呈阳性的
则它携带病毒的可能性就大大增加了
但是概率值等于0.0868
也是比较小的
这时
我们可能会怀疑检验的准确性了
因为你的检验结果呈阳性
而携带病毒的概率还这么小
是不是不准确呀
我们说并不是这样的
在实际的临床诊断当中
常常我们是高度怀疑
携带病毒才会进行检测
也就是说
先验概率P(A)是很大的
因此
我们在实际问题当中
我们不妨取A的概率是0.5
则A的对立事件的概率也是0.5
我们把它再代入到公式当中可以计算
B发生的条件下
A发生的条件概率
我们计算可以得到它的概率值
等于0.9896
我们可以看到这时准确率是大大提高了
在医学上利用贝叶斯公式根据
后验概率来做出判断
进行诊断的方法
我们把它称之为是贝叶斯决策
贝叶斯公式不仅在疾病的诊断
而且在企业的知识评判，诉讼，市场预测
邮件的过滤等方面也有广泛的应用
好，到现在为止，条件概率的
所有内容就全部学完了
我们来总结一下
在条件概率中
我们首先学习了条件概率的计算公式
然后推导了乘法公式，利用有限可加性
和乘法公式获得了由因求果的
全概率公式
进一步利用条件概率和
全概率公式获得了
由果求因的贝叶斯公式
这些都是我们计算事件发生概率的
重要方法
希望大家能够灵活的运用这些方法
计算事件的概率
今天的内容就讲到这里，谢谢大家
-第1节 随机事件
--1.1 作业
-第2节 概率的定义和性质
--1.2 作业
-第3节 古典概型与几何概型
--1.3 作业
-第4节 条件概率
--1.4 作业
-第5节 随机事件的独立性
--1.5 作业
-本章测试
--第一章测试
-第1节 随机变量与分布函数
--2.1 作业
-第2节 离散型随机变量
--2.2 作业
-第3节 连续型随机变量
--2.3 作业
-第4节 随机变量函数的分布
--2.4 作业
-本章测试
--第二章测试
-第1节 二维随机向量及其分布函数
--3.1 作业
-第2节 二维离散型随机向量
--3.2 作业
-第3节 二维连续型随机向量
--3.3 作业
-第4节 条件分布与随机变量的独立性
--3.4 作业
-第5节 随机向量函数的分布
--3.5 作业
-本章测试
--第三章测试
-第1节 数学期望
--4.1 作业
-第2节 方差
--4.2 作业
-第3节 协方差和相关系数
--4.3 作业
-第4节 矩和协方差矩阵
-本章测试
--第四章测试
-第1节 大数定律
--5.1 作业
-第2节 中心极限定理
--5.2.2 De Moivre-Laplace 中心极限定理
--5.2 作业
-本章测试
--第五章测试
-第1节 数理统计的基本问题
-第2节 总体、样本和统计量
--6.2 作业
-第3节 抽样分布
--6.3 抽样分布
--6.3 作业
-第4节 抽样分布定理
--6.4 作业
-本章测试
--第六章测试
-第1节 参数点估计
--7.1 作业
-第2节 区间估计
--7.2 作业
-第3节 非正态总计参数的区间估计
--7.3 作业
-本章测试
--第七章测试
-第1节 假设检验的基本概念
--8.1 作业
-第2节 正态总体参数的假设检验
--8.2 作业
-第3节 非正态总体参数的假设检验
-本章测试
--第八章测试
-期末考试
