1.4.2 全概率公式在线视频

大家好

伟大的数学家拉普拉斯说过

生活中最主要的问题

其中绝大多数在实质上

只是概率的问题

的确

利用概率知识，可以解决许多实际问题

下面

我们通过一个实际问题，研究由多个原因

导致的复杂事件，发生的概率问题

我们来学习第一章第四节条件概率的

第二个内容，全概率公式

我们首先来看一个例子

假如现在有两张足球赛的门票

有十个球迷

如何决定门票的归属呢

很自然的

大家会想到利用抽签的办法

来决定门票的归属

但是抽签是否公平呢

我们来分析一下

如果十个人抽到门票的机会

或者说概率是相同的

则说明抽签是公平的

这样实际问题就抽象成了数学模型

转化成了求事件发生的概率的问题

要求事件发生的概率

我们首先要表示事件

这里不妨设Ai

表示第i个人抽到门票

求Ai发生的概率

i的取值为一到十

我们考虑第一个人

当第一个人抽签时

有十张签两张门票，由古典概率可以计算

A1发生的概率等于1/5

接下来我们来考虑第二个人第三个人

一直到第十个人

显然

这些人抽签会受前面抽签结果的影响

都是比较复杂的事件

那么如何来计算

它们发生的概率呢

我们不妨从最简单的A2来考虑

第二个人抽签显然会受第一个人

抽签结果的影响

而第一个人抽签的结果

要么抽到了

记作A1，要么没有抽到

记作A1的对立事件

它们两个的和是整个的样本空间

这里A2显然是和A1和

A1的对立事件都是相交的

我们把A2写成必然事件交A2的形式

而必然事件可以写成A1加上

A1的对立事件的形式

那我们可以看到A2事件

也可以被A1和A1的对应事件

分割成这样的两部分

那么它可以表示成这样的形式

于是A2可以写成互斥事件和的形式

那我们要求互斥事件和的概率

利用概率的有限可加性，互斥事件和的概率

等于事件概率的和，我们再利用

乘法公式将A1和A1的对立事件

选作条件，就可以得到

计算A2发生概率的计算公式

这就是一个最简单的全概率公式

它综合的运用了有限可加性和乘法公式

这里我们注意到

在计算A2的概率时

A1和A1的对立事件将A2分割成了

互斥的两个部分，起了关键性的作用

这里A1和A1的对立事件互斥

并且和等于整个的样本空间

通常我们把具有上述两个特点的

一组事件，叫做样本空间的一个划分

这是一个非常重要的概念

可以推广到更一般的形式

我们通过建立划分与事件概率之间的关系

就可以推导更一般的全概率公式

从而得到求解A3到A10发生概率的方法

下面我们给出划分的定义

推导一般的全概率公式

设Ω是随机试验E的样本空间

事件A1、A2到An满足两两互斥

并且它们的和等于整个的样本空间

则我们就称A1、A2到An是样本空间的

一个划分或者叫完备事件组

我们可以用文氏图来表示划分

那么划分和事件发生的概率之间

有什么关系呢

我们分析一下

设B是一个任意的事件

它和样本空间一定是相交的，可以看到

B事件也被A1、A2到An分割成了

互斥的各个部分

于是，B就可以写成互斥事件和的形式

要求B发生的概率，就是求

互斥的事件和的概率

我们由概率的有限可加性可以得到

互斥事件和的概率就等于

这些事件概率的和

再利用乘法公式将Ai选作条件

我们可以得到计算B事件

发生概率的一个计算公式

这个公式就是求复杂事件发生概率的

一般的全概率公式

好，下面呢

我们以定理的形式给出

全概率公式的一般表述

设A1，A2···An是样本空间Ω的一个划分

Ai的概率是大于零的

则对于任意的事件B

我们都有如下的计算公式

这个计算公式就是一般的全概率公式

我们刚才的分析过程就是

这个定理的证明过程

我们可以看到全概率公式实际上是

有限可加性和乘法公式的综合运用

我们只要知道Ai的概率

和Ai发生的条件下

B发生的条件概率就可以求出

B事件发生的概率

这实际上就是一种化繁为简

化整为零的思想

那么

在实际问题中

我们什么时候用全概率公式来计算概率呢

在运用全概率公式时

怎样寻找样本空间的划分呢

这是本节课的一个难点的问题

我们下面利用数形结合的

方式给大家分析一下

在图形当中

我们可以看到A1、A2...An的发生

都会对B事件的发生产生影响

如果我们把B事件看作是结果

将A1、A2···An看作是导致B发生的

所有可能的原因的话

那么在实际问题当中

当我们遇到一个事件是由多个原因导致的

即由原因求结果的问题

我们就可以考虑用全概率公式来进行求解

这里导致B发生的所有可能的原因

就可以作为样本空间的一个划分

也就是说我们在实际问题当中

去寻找样本空间的划分的时候

只要找到导致B发生的所有可能的事件

就可以了

另一方面

如果所求的事件与前后的两个阶段有关

并且第一个阶段的各种结果

直接对第二个阶段产生影响

要求第二个阶段出现的某个事件的概率

也可以用全概率公式来进行求解

这时

第一阶段出现的各种结果就

可以作为样本空间的划分

这实际上也是由原因

求结果的问题

因此

在全概率公式当中，Ai发生的概率

就是原因的概率，而Ai发生的条件下

B发生的条件概率，就是原因发生的条件下

结果发生的概率

好了

有了全概率公式

我们前面提出的抽签的公平性的问题

就可以解决了，我们一起来看一下

由古典概率，第一个人抽到门票的概率

是等于1/5的，考虑第二个人

因为第二个人抽签会受

第一个人抽签结果的影响

因此第一个人抽签的结果

A1和A1的对立事件就可以看作

是导致A2发生的两个原因

并且是所有可能的原因

所以求A2的概率就是

由原因求结果的问题

可以用全概率公式来进行求解

这里导致A2发生的所有可能的原因有两个

我们代入到公式当中

注意到A1的概率等于1/5

如果第一个人抽到门票了

第二人抽签时，有九张签一张门票

那么由古典概率，A1发生的条件下

A2发生的条件概率就等于1/9

第一个人抽到门票的概率是1/5

那么它没有抽到门票的概率就是4/5

如果第一个人没有抽到，第二个人抽签时

有九张签两张门票，由古典概率

我们可以计算A1的对立事件发生的条件下

A2发生的条件概率就等于2/9

我们经过计算

可以知道A2发生的概率也是1/5

接下来考虑第三个人

第三个人抽签会受前两个人

抽签结果的影响

而前两个人抽签的结果

要么第一个人抽到了，第二个人没有抽到

或者是第一个人没有抽到

第二个人抽到或者是第一个人没有抽到

第二个人也没有抽到

或者是第一个人抽到了，第二个人也抽到了

这就是前两个人抽签所有可能的结果

它们就是导致A3发生的所有可能的原因

于是A3发生的概率仍然是

由原因求结果的问题

可以用全概率公式来进行求解

我们代入进去

经过计算发现A3发生的概率

也等于1/5

利用类似的方法采用全概率公式

我们可以获得A4到A10发生的概率

我们经过计算

可以看到这些概率都是等于1/5的

因此

抽签是公平的

那么这个问题我们实际上也可以

把它看作是抽奖的问题

比如说十张奖券中有两张大奖

在理论上利用全概率公式

每个人抽一张奖券中大奖的

概率都是1/5

也就是2/10

大家有没有考虑过

这里的2/10是什么呢

它是不是恰好就是大奖数与

奖券总数的比值啊

那么大家都知道

在实际生活中奖券的发行量

会远远的大于大奖的数量

因此买奖券中大奖是小概率事件

这也就是我们为什么买了那么多次的奖券

一次大奖也没有中呢

因为中大奖是一个小概率事件啊

所以我们在今后再遇到类似于抽签

或者是抽奖的这种问题的时候

大家一定要有一颗平常心

下面我们再来看一个实际问题

迟到问题

某人去外地开会

乘火车、汽车、飞机的概率分别是

0.3，0.2，0.5

若乘火车和汽车，则迟到的概率

分别为0.1和0.2

若乘飞机则不会迟到

求该人迟到的概率

这仍然是求事件发生的概率的问题

首先要表示事件，不妨设A1、A2、A3

分别表示乘火车，汽车和飞机

B表示该人迟到

我们分析一下

该人首先要乘坐交通工具

才能谈到迟到的问题

所以乘坐交通工具看作是第一个阶段

我们把迟到看作是第二个阶段

显然

第一个阶段乘坐交通工具的各种方式

直接影响到该人是否迟到

因此将该人乘坐交通工具的三种方式

可以看作是导致迟到的原因

把迟到呢，看做是结果

这仍然是由原因求结果的问题

可以用全概率公式来进行求解

这里导致B发生的原因有三个

那我们把它带入到全概率公式当中

根据题意，A1发生的概率等于0.3

A2发生的概率等于0.2

而A3发生的概率等于0.5

A1发生的条件下

B发生的条件概率等于0.1

而A2发生的条件下

B发生的条件概率等于0.2

那么乘飞机是不会迟到的

所以A3发生的条件下

B发生的条件概率是等于零的

我们代入公式，计算可以得到迟到的概率

这样我们利用全概率公式

解决了这个实际问题

全概率公式

还广泛的应用于产品的检验

市场的预测，疾病的诊断

信号的估计等实际问题当中

当然这些实际问题的解决

也并不像我们想的那么简单

不仅需要更加专业的数理统计知识

而且需要对所研究的问题有

充分的全面的了解

今天我们要学习的主要内容就是这些

简单的总结一下

我们学习了全概率公式及其应用

全概率公式

实质上就是

有限可加性和乘法公式的综合运用

主要用来求由原因

求结果的复杂事件发生的概率

体现了一种化繁为简

化整为零的思想

通过本节课的学习，可以看到数学知识和

我们的生活息息相关

正如华罗庚先生说的那样

宇宙之大，粒子之微，无处不用数学

希望大家能够学好数学，用好数学

让数学使我们的生活更加美好

今天的内容就讲到这里，谢谢大家