1.2.1 随机事件的频率及概率在线视频

大家好，在随机试验中

我们不但关心随机事件是否发生了

而且还关心事件发生的可能性的大小

通常把刻划某事件A出现的

可能性的大小的指标称为

事件A的概率，用P(A)来表示

在概率论的发展历程中，主要出现了

概率的频率定义，古典定义，几何定义

和公理化的定义

今天我们主要介绍概率的

频率定义和公理化定义

古典定义和几何定义

会在后面的内容中进行学习

我们来学习第一章第二节

概率的定义和性质当中的第一部分内容

包括事件的频率

还有概率的公理化定义

首先我们来看事件的频率

设A是试验E的随机事件

将E重复n次，记这n次试验中

A发生的次数是Nn(A)

则称

fn(A)等于n分之Nn(A)

为事件A发生的频率

这是事件发生的频率的定义

我们来举一个例子

抛一枚硬币100次

正面出现的次数为45次

如果我们记A表示出现正面

那么事件A发生的频率

我们利用

频率的定义就可以写成这样的形式

它就等于事件A发生的次数45次

再除以试验的次数100次

它等于二十分之九

这样我们就获得了事件A发生的频率

对于事件A发生的频率来说

在定义式当中出现的n

它表示的是试验的次数

而Nn(A)表示的是

事件A出现的次数

那我们可以知道，事件A出现的次数

它显然是大于等于零，小于等于n的

这样我们就可以看到事件A发生的频率

它实际上是大于等于零，小于等于一的

我们把这个性质

叫做频率的非负性

然后我们来看第二条性质

如果我们将事件A换成必然事件

而我们知道必然事件

在每一次试验当中

它都会发生

所以它发生的次数就是n次

这样

必然事件的频率就是等于一的

我们把它称之为是频率的规范性

就是必然事件发生的频率是等于一的

接下来看第三条性质

称之为是有限可加性

如果A1，A2到Ak是两两互斥的事件

那么这些互斥事件和的频率，就等于

这些事件频率的和，我们把这条性质

叫做频率的有限可加性

好，这是频率的基本性质，下面呢

我们来研究频率的进一步的性质

我们举一个例子

将一枚硬币抛掷5次

50次500次，各做7遍，观察

正面出现的次数以及频率

这些结果我们可以把它

列成一个表格的形式

试验的序号就是我们做的第一次到第七次的

试验，n等于5次，n等于50次

还有n等于500次

这里Nn(A)就表示正面出现的次数

fn(A)就表示正面出现的频率

那么这些结果我们在表当中观察一下

当n等于5的时候

我们会发现，正面出现的频率

它有什么特点呢

我们会发现它在0.5处波动是比较大的

接下来我们再看，当n等于50的时候

再来观察这个频率

显然

它在0.5处波动变小了

最后我们再看n等于500的时候

这个频率

显然，这时波动是最小的

趋于稳定了

它稳定在哪儿呢

0.5附近

那么这个试验说明什么问题

它说明随着试验次数的增大

事件A发生的频率

它具有稳定性

那么这个试验

实际上

许多数学家也都已经做过这个试验

比如说德摩根，蒲丰还有皮尔逊等

都做过这个抛硬币的试验

那么它们通过做试验发现这个频率

它实际上具有稳定性

正面出现的频率稳定在常数0.5附近

那么这个例子说明什么问题呢

实践表明

随着试验重复次数n的增加

事件A的频率会稳定在某一个常数附近

我们就把这个常数称为频率的稳定值

而这个频率的稳定值实际上就是

我们要求的事件A的概率

也就是说

当n充分大的时候

事件A发生的频率

它会稳定在某一个数值附近

那我们把这个数值就近似的

看作是事件A发生的概率

这样我们就有了

事件发生概率的频率定义

具体的来说，就是在一组不变的条件下

进行大量的重复试验

随着试验次数的增加，随机事件A

出现的频率总是在一个

固定的数值小p附近摆动

我们称这个稳定值小p为事件A的概率

就是A的概率等于小p

这个就是

概率的频率定义

我们也把它叫做是统计定义

这个概率的频率定义我们说

它不是一个严格的数学定义

而概率论与数理统计

它是数学的一个分支

所以呢

我们要给出概率的一个严格的数学定义

那这就是我们下面要研究的问题

我们会给出概率的公理化定义

在给出概率的公理化定义之前

我们首先要做一个准备工作

我们引入一个事件域的概念

设Ω是随机试验E的样本空间

这个花F呢

是Ω的某些子集构成的集合

那么这个集合如果满足以下的三个条件

第一个条件

必然事件，在这个花F当中

第二个

如果A事件是花F当中的事件

那么它的对立事件，也是花F当中的事件

第三个

如果A1，A2…An

这可列个事件，都是花F当中的事件

那么它们的并，也是花F当中的事件

这时

我们就称，花F是随机试验E的一个事件域

那么由事件域的概念

大家可以知道这个事件域

它实际上就是一个事件的集合

我们随便给一个事件的集合

只要它满足上述的三个条件

那我们说这个事件的集合都是事件域

好了

有了这个准备工作

我们就可以在这个事件域上

去定义事件发生的概率

我们给出概率的公理化定义

设花F是随机试验E的事件域

事件A在花F当中

P(A)是定义在花F上的一个实值函数

如果P(A)满足下面的三个条件

第一个

P(A)大于等于零，小于等于一

非负性

二

当A换成必然事件时

那么它是等于一的

规范性

第三个叫可列可加性

我们给出

可列个

两两互斥的事件

那么它们的和对应的那个

函数值

等于这个函数值的和

那满足这三条之后

我们所得到的P(A)就称为是事件A的概率

这里出现的

样本空间

Ω

事件域花F，还有事件A的概率P(A)

它们构成的一个三元组

就叫做随机试验E的一个

概率空间

那我们今后所研究的事件的概率

都是定义在某一个概率空间上的

好，这是概率的公理化定义

它是1933年由前苏联的数学家

柯尔莫哥洛夫提出来的

那我们来观察一下这个概率的公理化定义

这里我们说P(A)它是一个定义

在花F上的实值函数

那么这个实值函数跟我们以前

所学的实值函数是不太一样的

为什么呢

因为它的定义域是在一个事件域上

我们之前所研究的那些函数啊

都是定义在什么呢

定义在数域上的数域上的啊

所以这是不同的

那么在概率公理化定义当中

给出的这三条公理，实际上是非常重要的

第一条公理，告诉我们什么呢

就是任意的一个事件

它的概率都是

大于等于零，小于等于一的数

第二条

必然事件的概率一定是等于一的

而第三条

是最重要的一个

它告诉我们什么呢

告诉我们

可列个互斥事件的和的概率

是等于这些事件概率的和的

这在后面我们推导事件发生的概率的

性质的时候用的是比较多的

好，这就是概率的公理化定义，我们来总结一下

这部分内容

我们主要学习了概率的频率定义

和概率的公理化定义

在概率的公理化定义中，有三条公理

尤其是可列可加性，在研究

概率的性质时是非常重要的

好，这部分内容就学习到这里，谢谢大家