1.3.2 几何概型在线视频

大家好，早在概率论发展初期

人们就认识到

只考虑有限个

等可能样本点的古典方法是不够的

把等可能推广到无限个样本点场合

人们引入了几何概型

由此形成了确定概率的

另一种方法——几何方法

我们下面来学习1.3节

古典概型与几何概型的第二个问题

几何概型

首先我们来看什么是几何概型

若试验E具有以下的两个特点

我们把它称之为是几何概型

第一个特点，样本空间Ω

充满了某个区域

它的度量可以用长度面积或者

体积等来表示，它的度量的大小

可以用S(Ω)来表示

第二个，实验的样本点落入Ω中

任意一个子区域的可能性与该子区域的

度量是成正比的

而与它的形状及位置是无关的

具有这样的两个特点的一个试验

我们就把它称之为是几何概型

那么在几何概型当中

我们要计算事件发生的概率

是用几何概率来进行计算的

我们设E为几何概型，Ω为样本空间

事件A为样本空间中的某个子区域

它的度量的大小

我们可以用S(A)来表示

那么这时

我们要求A事件发生的概率

它就可以写成A事件的度量

再比上样本空间的度量的形式

下面呢

我们举一个例子来看一下如何利用

几何概率来计算事件发生的概率

会面问题，甲乙两人相约在

下午5时到6时之间

在某处会面

并约定先到者应等候另一人20分钟

过时即可离去

假设两人等可能地在5时到6时之间的

任意时刻到达，试求这两人能会面的

概率

这是一个几何概型的问题

那么我们要想求事件发生的概率

我们仍然还是要把事件先表示出来

如果我们用x和y来表示甲乙两人

到达约会地点的时间

我们以分钟为单位

那么

x和y所有可能取值的范围

就是边长为60的一个正方形

那它也就是我们这个试验的样本空间

而我们要求的，这两个人能够会面这件事

我们不妨把它设成是A

表示两人能够会面

那么

如果这两个人能会面

要满足什么样的一个条件呢

我们说，约定先到者等候另一人

20分钟，过时即可离去

如果甲先到了

那么等候20分钟

如果乙先到了也是等候20分钟

所以这两个人能够会面

实际上就是它们到达的那个时刻的

绝对值小于等于20就可以了

那也就是

x减y是大于等于负20，小于等于20的

我们要求的就是这样的一个事件

发生的概率的问题

那么我们可以看到，样本空间

它是一个以边长为60的一个正方形

而A事件

我们也可以把它表示出来

我们不妨取x减y等于20和

x减y等于负20这样的两条直线

我们通过作图可以获得，那么在这里

A事件就是这个阴影部分

那么现在我想求A事件发生的概率

我们利用几何概率来进行求解

显然

A事件发生的概率

那么就是用这个阴影部分的面积

再比上整个的样本空间的面积就可以了

我们来看一下

那么样本空间的面积就是以

这样的一个正方形的

面积来进行度量的

而这里边的正方形的边长是等于60的

我们接下来再看A的面积怎么求

A的面积

它恰好等于这个正方形的面积

再减去这两个小三角形的面积

那我们可以通过求出这

两个小三角形的面积

再由整个正方形的面积把小三角形的

面积减掉就可以得到这个事件A

它的度量

也就是它的面积

好，我们代入进去可以计算获得

事件发生的概率等于九分之五

这样我们就利用几何概型

解决了这样的一个问题

那几何概型

在我们研究事件发生的概率的时候

也是比较常见的，那我们在实际问题当中

要注意分析看这个问题

是不是属于几何概型的问题

如果可以的话

我们可以利用几何概率来

确定事件发生的概率

好几何概率的问题

我们就讲到这里

好，我们总结一下

以上，我们学习了几何概型，给出了概率的

几何定义，将古典概型推广到了

无限样本点的场合

今后，在求事件发生概率时

大家要注意分析问题中的要求

灵活地运用几何概率求事件发生的概率

这部分内容就学习到这里，谢谢大家