2.2.1 定义与基本概念在线视频

大家好

随机变量根据它可能取值的整体状况

我们分为三类

离散型随机变量、连续型随机变量

和奇异型随机变量

后者并不多见

我们只讨论离散型和连续型随机变量

今天我们讲第二章的第二节

离散型随机变量，这一节包含了离散型

随机变量的基本概念和几种常见的

离散型随机变量，两部分内容

下面我们来看离散型随机变量的基本概念

只取有限个或可列个值的随机变量

称为离散型随机变量

例如，抛掷一枚骰子出现的点数

𝑛次射击击中的次数

某时间段内点击某网站的次数等等

都是离散型随机变量

设离散型随机变量𝑋所有可能取值为𝑥_𝑘 

𝑘等于1,2,⋯𝑛

或可列无穷多

如果大𝑋等于𝑥_𝑘 的概率

记为𝑝_𝑘，𝑘从1,2,⋯𝑛

或可列无穷多

则称𝑝_𝑘为离散型随机变量

𝑋的概率分布列简称为分布列

分布列也常表示为表格的形式

第一行为随机变量的取值情况

第二行

为取值对应的概率

概率分布列直观地反映了随机变量

𝑋取值及其概率的统计规律性

任意离散型随机变量的概率分布列

都一定满足两条基本性质

由于概率的非负性

所以概率分布列中的每个𝑝_𝑘

一定是大于等于零的

当把概率分布列中所有项

𝑝_1  𝑝_2 ⋯ 𝑝_𝑘加起来

相当于随机变量𝑋取到所有可能取值的

概率和一定等于1

也就是∑，𝑘从1到无穷𝑝_𝑘

也就是𝑝_𝑘关于𝑘求和

一定等于1

概率分布列不仅刻画了单点取值的概率

也可由概率分布列计算任一事件的概率

比如

大𝑋小于等于𝑥的概率

这个概率的大小与小𝑥有关

主要看区间负无穷到𝑥包含了哪些

𝑥_𝑘值

将随机变量在这个区间内取到的

𝑥_𝑘的概率加起来

这里的𝑥_𝑘要满足小于等于𝑥

这样一个条件

我们把这样的一个求和，简记为

∑，𝑥_𝑘小于等于𝑥，𝑝_𝑘

这样，当我们已知离散型随机变量𝑋的

概率分布列𝑝_𝑘

由上面的讨论

我们就可以求离散型随机变量的分布函数

求分布函数的公式就等于

𝐹(𝑥)等于大𝑋小于等于

𝑥的概率等于

∑，𝑥_𝑘小于等于𝑥，𝑝_𝑘的求和

好，下面呢我们来看这样一个例题

求下列离散型随机变量𝑋的

概率分布列中的未知参数𝑎

由概率分布列的基本性质

知道参数𝑎一定是大于等于零的

而且满足所有项加起来等于一

也就是𝑎加上7𝑎²加𝑎²

加𝑎等于1，合并移项后等于

8𝑎²加2𝑎减1

左边因式分解由(4𝑎-1)

乘上(2𝑎+1)等于0

解得，𝑎等于4分之一或

𝑎等于负2分之一

由于𝑎是非负的，舍掉负2分之一

所以参数𝑎的值等于4分之一

好，下面我们再来看另一个例题

抛一枚硬币两次

观察正反面情况

样本空间为4个样本点

每个样本点均等可能出现

出现的概率都为4分之1

用随机变量𝑋来表示每个样本点

正面出现的次数

则求随机变量𝑋的

概率分布列和分布函数

要确定𝑋的概率分布列

就需要确定它的取值及其对应的概率

显然这个随机变量𝑋

所有可能取值为0,1,2

下面我们来求取值对应的概率

随机变量𝑋等于0的概率

等价于两次均为反面这个样本点

出现的概率等于四分之一

而𝑋等于1的概率，等于正面

恰好出现一次的这样的两个样本点出现的

概率和的形式，等于二分之一

而大𝑋等于2的概率就等于

两次均为正面这个样本点出现的概率

等于四分之一

因此𝑋的概率分布列为取值为0,1,2

对应的概率为四分之一

二分之一，四分之一

接下来我们来求随机变量𝑋的分布函数

由概率分布列求分布函数的公式为

𝐹(𝑥)等于大𝑋小于等于𝑥的概率

等于

大𝑋取到𝑥_𝑘，满足𝑥_𝑘小于

等于𝑥这样的概率和的形式

那么简记为

∑，𝑥_𝑘小于等于𝑥，𝑝_𝑘

𝑥_𝑘的取值为0,1,2三种情况

首先我们将0,1,2在数轴上表示出来

分布函数的大小与𝑥有关，下面对𝑥

分情况讨论

当𝑥在零点左边的时候

这个区间不包含0,1,2三个值

因此

当𝑥小于零时

分布函数等于大𝑋小于等于

𝑥的概率就等于0

当𝑥在0，1之间的时候

这个区间包含了0

那么当𝑥大于等于0

小于1时，分布函数就等于在这个区间段

在负无穷到𝑥这个区间段内

随机变量取到了0

所以分布函数等于大𝑋等于0的概率

也就是等于𝑝_0等于四分之一

当𝑥落到1和2之间的时候

这个区间负无穷

到𝑥这个区间，包含了

0，1两种情况

所以当𝑥大于等于1小于2时

分布函数就等于随机变量取0的概率

加上取1的概率

也就是等于𝑝_0加𝑝_1

等于四分之三

同理

当𝑥在2的右边的时候

这个区间包含了随机变量三种可能取值

所以

当𝑥大于等于2的时候

分布函数就等于概率分布列

三种情况的和，就是𝑝_0加𝑝_1

加𝑝_2，一定等于1

这样，求得分布函数为分段表达的

单调不减的常值函数

这里我们需要注意一点的是

由于分布函数的右连续性，分情况讨论的

区间始终是左闭右开的形式

当我们进一步的把分布函数的

几何图形画出来

图形的特点是不连续的

而且呈上升的阶梯形状

在0,1,2点是间断的

并且间断点的跃度

分别为四分之一、二分之一、四分之一

也就是间断点

恰好为分布列中的取值点

跃度恰好为取值对应的概率

分布函数的这些特征具有一般性

即任意离散型随机变量的分布函数

都具有这样的一个特点

也就是，一，非连续的单调不减的阶梯函数

而且在𝑥_𝑘点一定是间断的

间断点的跃度一定就是�𝑝_𝑘

因此有了这两个特点

离散型随机变量的概率分布列和分布函数

实际上我们就可以做到相互确定

这个例题我们讲的就是已知概率分布列

我们可以确定分布函数

那么由离散型随机变量

分布函数的这个特点

当我们给定离散型随机变量的分布函数

也可以确定它的概率分布列

例如

已知𝑋的分布函数

如下的形式

是分段的单调不减的阶梯函数

我们来求𝑋的分布列

显然，由分布函数的特点

确定𝑋一定是离散型随机变量

因为这个分布函数是单调不减的阶梯函数

由于分布函数有三个间断点

分别为−1,1,3

从而，所有𝑋的可能取值

就是−1,1,3

而𝑋等于−1的概率就为分布函数

在−1这一点的跃度，从0升到0.4

跃度为0.4

𝑋等于1的概率就是分布函数在

1点的跃度从0.4升到0.8

跃度为0.4

当𝑋等于3的概率

就为3点的跃度从

0.8到1跃度为0.2

从而得到，𝑋的概率分布列为

取值是−1,1,3，概率分布列为

0.4，0.4，0.2

这一节我们主要讲了离散型随机变量

和概率分布列的概念

概率分布列的性质，讲了离散型

随机变量分布函数的特点

对于离散型随机变量，概率分布列和

分布函数都完整地描述了随机变量取值的

统计规律性

但概率分布列

更加直观

好，今天就到这里

谢谢大家