当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第二章 随机变量及其概率分布 > 第1节 随机变量与分布函数 > 2.1.1 随机变量
大家好
今天我们开始讲第二章随机变量及其
概率分布，在这一章
我们把随机试验的结果数量化
引入随机变量来研究随机现象
从而可以借助微积分等强有力的数学工具
全面深刻的揭示随机现象
统计规律性
在概率论中
描述随机变量取值的
统计规律性的各种表达形式统称为概率分布
从本章起
我们的研究对象主要集中在
随机变量和它的概率分布上
这一章共包含4节的内容
随机变量与分布函数
离散型随机变量、连续型随机变量
和随机变量函数的概率分布
第二章的第一节随机变量与分布函数
包含了随机变量和分布函数两部分内容
这一节我们来学习第一部分内容，随机变量
在第一章中，我们在随机试验样本空间的
基础上，研究了随机事件及其概率
而样本空间中的样本点，有的是具体的
实数，是数量化的样本空间
比如抛掷一枚骰子出现的点数
某时间段内进入某商店的人数
观测某灯泡的使用寿命等等
有的不是具体的实数
是非数量化的样本空间
比如观测某新型病毒的核酸检测结果
向某目标射击
击中与否，抛一枚硬币两次
观察正反面情况等等
为了将更多的数学方法引入
到随机现象的讨论中
需要将非数量化的样本空间数量化
也就是将
试验结果与数值对应起来
这就需要引入随机变量的概念
下面通过例题来说明一下
抛一枚硬币两次
观察正反面情况
样本空间为4个样本点
第1个样本点表示两次都是正面
第2，第3个样本点表示出现1次正面
第4个样本点两次都是反面
样本点均为符号的形式
为了将样本点与数值对应起来
我们引入变量𝑋，来表示
每个样本点正面出现的次数
那么，两次均为反面的样本点
对应的数值为0
恰有一次正面的两个样本点
对应的数值为1
两次均为正面的样本点
对应的数值为2
这样就建立了样本点与数值的对应关系
我们注意到，引入的变量𝑋实质上就是
试验结果的函数，变量𝑋的所有可能
取值为数集
0,1,2
变量𝑋的取值随着试验出现的
结果不同而取不同的值
由于试验结束之前
试验结果具有随机性
那么变量𝑋的取值具有随机性
这样的变量𝑋就称为随机变量
随机变量都具有一定的实际意义
本例题中
表示每个样本点正面出现的次数
引入随机变量后
可用随机变量的取值表示随机事件
比如两次均为反面
恰好出现1次正面以及两次
均为正面的这三个随机事件
都可以用随机变量表示为
随机变量𝑋等于0
随机变量𝑋等于1，随机变量𝑋
等于2的形式
好，下面我们来看随机变量的一般定义
设𝐸为随机试验，它的样本空间为
𝛺
如果对于样本空间中的每个
样本点小𝜔
都有唯一的实数大𝑋(𝜔)
与之对应，则称这个定义在样本空间上的
实单值函数
大𝑋(𝜔)为随机变量
简记为大𝑋
由定义，显然随机变量𝑋就是建立
样本空间到实域𝑅上的映射
即样本空间中的任意样本点
映为实域上的一个数
而且可以确定随机变量𝑋的
所有可能取值
但试验结束前，不确定随机变量𝑋
会取到哪一个值
也就是说
随机变量𝑋取值是随机的
随机变量常常用大写字母大𝑋,𝑌,𝑍
或者是大𝑋_1, 𝑋_2,𝑋_3,等等
来表示
每个随机变量都具有一定的实际意义
并且用其取值来表示随机事件
比如随机变量取一点
和在某范围内取值的形式都等价的
表示为满足条件的样本点集合的形式
也就是
它们都表示为随机事件
类似的，随机变量在任意区间内取值
都表示随机事件
这样，对样本空间及随机事件概率的研究
由于随机变量的引入就转化为
对随机变量及其取值规律的研究
下面我们来看一例题
考察某新型病毒的核酸检测结果
检测结果只有阴性和阳性两种可能情况
样本空间为阴性和阳性
两个样本点与数值没有关系
对于这样的样本空间
我们定义随机变量𝑋建立样本空间
到实域上的映射
令阳性的函数值等于1
阴性的函数值等于0
这个函数关系也可表示为这样的形式
随机变量𝑋只取两种可能取值零和一
当检测结果为阳性的时候
𝑋取1，当检测结果为阴性的时候
𝑋取0
而且𝑋取0这个随机事件
表示的就是检测结果为阴性
而𝑋等于1，表示检测结果为阳性这样的
随机事件
这样定义的随机变量𝑋，实际意义
表示核酸检测结果为阳性的次数
好，下面我们来看
另一例题
观测某灯泡的使用寿命，样本空间为
零到正无穷的任意实数
样本空间的样本点本身就是一实数
这时我们也可以定义随机变量大𝑌
建立样本空间
到实域上的一个映射
直接就是对给定的样本点𝑡
映射到𝑡就可以了
也就是实域到实域的映射
那么，这里的随机变量𝑌，它的实际意义
表示的是该灯泡的使用寿命
并且它的取值范围是0到正无穷
这样随机变量𝑌在某区间内取值
就可以表示随机事件
比如大𝑌大于等于1000
表示该灯泡的使用寿命不少于1000小时
这一事件
大𝑌小于800，表示该灯泡的
使用寿命小于800小时
这一事件
好，这一节我们主要讲了随机变量的引入
随机变量的概念
并用随机变量的取值来刻画随机事件
使得随机事件及其概率的研究扩展为
随机变量及其取值规律的研究
好，今天就到这里
谢谢大家
-第1节 随机事件
--1.1 作业
-第2节 概率的定义和性质
--1.2 作业
-第3节 古典概型与几何概型
--1.3 作业
-第4节 条件概率
--1.4 作业
-第5节 随机事件的独立性
--1.5 作业
-本章测试
--第一章测试
-第1节 随机变量与分布函数
--2.1 作业
-第2节 离散型随机变量
--2.2 作业
-第3节 连续型随机变量
--2.3 作业
-第4节 随机变量函数的分布
--2.4 作业
-本章测试
--第二章测试
-第1节 二维随机向量及其分布函数
--3.1 作业
-第2节 二维离散型随机向量
--3.2 作业
-第3节 二维连续型随机向量
--3.3 作业
-第4节 条件分布与随机变量的独立性
--3.4 作业
-第5节 随机向量函数的分布
--3.5 作业
-本章测试
--第三章测试
-第1节 数学期望
--4.1 作业
-第2节 方差
--4.2 作业
-第3节 协方差和相关系数
--4.3 作业
-第4节 矩和协方差矩阵
-本章测试
--第四章测试
-第1节 大数定律
--5.1 作业
-第2节 中心极限定理
--5.2.2 De Moivre-Laplace 中心极限定理
--5.2 作业
-本章测试
--第五章测试
-第1节 数理统计的基本问题
-第2节 总体、样本和统计量
--6.2 作业
-第3节 抽样分布
--6.3 抽样分布
--6.3 作业
-第4节 抽样分布定理
--6.4 作业
-本章测试
--第六章测试
-第1节 参数点估计
--7.1 作业
-第2节 区间估计
--7.2 作业
-第3节 非正态总计参数的区间估计
--7.3 作业
-本章测试
--第七章测试
-第1节 假设检验的基本概念
--8.1 作业
-第2节 正态总体参数的假设检验
--8.2 作业
-第3节 非正态总体参数的假设检验
-本章测试
--第八章测试
-期末考试
