3.2 二维离散型随机向量在线视频

大家好

下面我们进入3.2节的学习

开始对二维随机变量进行分类研究

在本节中

主要研究二维离散型随机向量

首先我们给出二维离散型随机向量的定义

第二，给出其分布列

第三

边际分布列

首先，我们给出二维离散型随机向量的定义

假设(X,Y)是二维随机向量

如果它的两个分量X和Y

分别都为离散型随机变量

那么我们就称(X,Y)为

二维离散型随机向量

也就是说这里面的X和Y

作为一维随机变量

必须是离散型

那么它们构成的是一个

二维的离散型

另外呢

二维离散型随机向量

还有一种定义方式是等效的

如果(X,Y)只取

有限对值

那我们就称(X,Y)也为

二维离散型随机向量

那么不同的教材呢

或者是第一种定义方式

或者是第二种

下面我们来看二维离散型随机向量的

分布列

假设(X,Y)为二维离散型

X,Y的取值分别为xi，yj

X,Y的值可以是有限

也可以是可数无穷多个

那我们就称

P{X=xi,Y=yj}

把这个记成Pij，称这个为

二维离散型随机向量的分布列

全称是联合分布列

简称分布列

那么分布列呢

我们有时候可以用表格的形式给出

会看起来更明显

那么

在表格的第一行

我们习惯添上

X的取值

在第一列呢，习惯添上Y的取值

当然X,Y的取值

X也可以放在第一列

Y也可以放在第一行

这只不过是一个习惯性的问题

我们习惯把X放在第一行

那么中间呢

我们应该填的是X取xi，Y取yj的

概率值

好多的概率值

那么这里我们举一个例子

比如说p21

它应该表示的是，X取 X的第二个值

就是x2

同时

Y取 Y的第一个值y1

这件事情的概率

我们把它记成了p21

那么在分布列中呢

我们很容易

看到它应该满足

所有的Pij都是概率值

应该要非负，就是大于等于零

同时呢，所有的Pij的和

最终应该等于概率 1

这都是很显然的

那么在二维离散型随机向量中呢

我们还有另外一个概念

一个新的概念

边际分布列

这也是我们第二次提到边际

那我们来看边际分布列的这个概念

在离散型随机向量中

它的两个分量X,Y各自都是一维的

它们应该具备自己的

分布列

X的分布列以及Y自己的分布列

那我们就称X和Y自己的分布列

为二维随机向量(X,Y)

关于X,Y的边际分布列

其实这里边呢仍然是

一个分布列有两个名字的问题

X自己的分布列又可以叫做

二维随机向量XY

关于X的边际分布列

这样理解就简单了

那么下面我们有一个问题，由联合分布列

如何求出边际分布列呢

也就是

我们给了上面的表格联合分布列

想去完成下面的表格

也就是X自己的分布列

那我们知道X的分布列呢，包含两个要素

第一

X的取值

第二

它的取值的概率

那X的取值很容易

我们只需把联合分布列中

X的取值给抄下来

对不对

那第一行我们就填好了

那么关键呢

我们要来看一看，X取这些值的

所对应的概率

那首先，我们看X取x1的概率怎么算

那我们注意到X取x1这件事情呢

可以分解成

X取x1，Y等于yj

让Y的值变起来

这样一些事件的并集

而且这些事件是两两互斥

那么根据概率的运算性质

X取x1的概率就应该等于

互斥事件并的概率

而这些概率恰巧在哪呢

在我们联合分布列中的第一列

在第一列中

所以我们X取x1的概率

就为第一列各概率值的和，也就是和

那么类似办法

我们也容易得到x2的概率

X取x2的概率应该是第二列的和

X取xi的概率

应该是第i列的和

这就得到了X的边际分布列

那么下面我们来看，如何得到

Y的边际分布列

那么Y的取值

我们只需在联合分布列中把Y的值抄下来

那么我们下面再看，Y取这些值的概率

先看Y取y1的概率

那么Y取y1这个事件呢

可以分解成若干个事件的并

X取xi同时Y取y1

让Xi这些取值循环起来

而且这些事件两两互斥

那么我们Y取y1的概率就应该

等于这些事件概率的和

而这些事件的概率呢，恰好出现在

在第一行

那也就是说Y取y1的概率就等于

第一行概率值的和

那类似的

Y取y的第二个值y2的概率

应该是第二行的和

Y取yj的概率应该是第j行的和

这就是我们

由联合分布列求

边际分布列的这个方法

做行和和列和的这个运算就可以了

那么呢，我们在以后的

运算中啊

为了方便，经常性的把联合分布列与

两个边际分布列写在一个表格中

那么最后加上一行，在最右加上一列

就构成了这么一张大的表格

既包含了联合分布列与

边界分布列

那么，在这个分布列中呢

我们还能看出联合分布和边际分布的这个

概率值之间的这个关系

那你比如说

p1·也就是

X取x1的概率应该是

第一列的和，p2·应该是第二列的和

好，那类似的

Y取y1的概率p·1应该是

第一行的和，p·2是

第二行的和，所以这个表呢

它把联合分布列与边际分布列

不仅给结合在一起

而且很清楚的能够看到

它们之间的数据关系

那么下面我们来看一个例题

在一个袋中呢

假设有三个球

球上依次标着数字1,2,2

有两个球标的是同样的数字2

那我们采取不放回方式取两个

让X,Y分别记第一次和第二次

取到的球上标有的数字

让我们来完成（X,Y）的分布列

那么我们假想这三个球，数字标了1,2,2

那么首先呢

在这个分布列中呢

我们比较容易确定的是什么呢

是X,Y各自的这个取值

是比较容易确定的

X表示第一次取到的球上的这个数字

那我们三个球中

随机摸一个摸第一次

可能摸到数字 1

也可能摸到数字 2

所以X的取值是1和2

那么Y表示第二次取到球上的数字

那么Y呢

依然也有可能取到1，也可能取到2

这样我们就确定了X,Y各自的取值

那么下面呢，我们需要去完成

四个概率值的计算

也就是{X=1,Y=1}，{X=2,Y=1}

四个值的概率值的计算

那我们逐个来看一下

{X=1,Y=1}

那也就理解为第一次摸到1号

第二次摸到数字还是1

那么当然这是一个不可能事件

因为我们是

不放回方式取球

所以这件事的概率应该等于零

然后我们再看

{X=1,Y=2}的概率

也就是第一次摸到1，同时第二次

摸到一个数字2的概率

第一次摸到一的概率呢，应该是

三分之一

如果第一次已经把1摸出来了

那么第二次摸到2的概率

那肯定是1

因为就剩两个球全是标着数字2

这是我们这个概率

P{X=2,Y=1}，这个概率值呢

第一次摸到数字2

第二次摸到1，第一次摸到

数字2的概率应该是三分之二

对吧

那么第一次摸出了一个二号球2

那么里面还剩1和2

那么我们第二次摸到1的概率是二分之一

最后{X=2,Y=2}的概率

那第一次摸到2的概率是三分之二

第二次呢

摸到2的概率是二分之一

这样的话，我们就完成了

这四个概率值的计算

我们可以把它填在这个表中

目前呢，在这张表中我们就完成了

联合分布列

那么我们可以再做一下列和和行和

分别完成X,Y的边际分布列

或者说是

X,Y各自的分布列，这个数字算就很简单了

做行和和列和

通过对本节知识模块的学习

我们可以用联合分布列和边际分布列

来刻画离散型随机向量取值和概率

掌握了联合分布列和边际分布列的关系

好了

对离散型随机向量的学习就到这里

再见