3.3.1 基本概念与性质在线视频

大家好

下面我们进入3.3节

二维连续型随机向量的学习

本节内容角度我们分成三个模块

概念与性质

例题以及两种特殊的分布

首先我们看的是第一模块

在本模块中

主要是连续型随机向量的基本概念与性质

这些概念与性质是连续型随机向量

知识的核心内容

第一个问题

我们来看二维连续型随机向量的定义

假设(X,Y)的分布函数是

F(x,y)

如果存在非负的一个二元函数

f(x,y)

使得

对任意的x,y都有

我们对f呢，做一个

变上限的二重积分

我们知道变上限二重积分呢

应该出来的是一个二元函数

如果对f做的变上限

积分函数恰好等于

(X,Y)的分布函数

那我们就称

此时的

随机向量(X,Y)为连续型

与此同时

这里面的f(x,y)二元函数，称为

（X,Y)的联合概率密度

我们简称

分布密度

下面，我们来研究二维随机向量中的

F(x,y)与f(x,y)的

性质

首先我们说

F(x,y)作为f的变上限二重积分

出来的函数

根据高数知识应该是处处连续

并且呢，在f的连续点处，应该有

它的二阶偏导，正好回到f

这都是由高数知识比较容易得到的

从这个性质呢，我们能够看出

F和f其实是可以相互导出的

那么定义中对f的

变上限二重积分得到F

对于F的二阶偏导

又回到f

也就是说

F,f可以相互导出

这是第一个性质告诉我们的一个信息

第二个性质

对f的在全平面积分，注意积分限

是－∞到＋∞

那应该理解为积分区域是全平面

这个概率，这个积分值等于1

当然我们知道，1又等于

F(＋∞,＋∞)

的值

那下面我们看一下

为什么对f的积分值等于

1

那么在

分布函数F(x,y)中呢

我们只要把(x,y)的位置都

换成＋∞,＋∞

那也就得到了对f的在全平面的积分

对不对

而F(＋∞,＋∞)是1

所以这个性质呢，我们就得到了证明

那么从几何角度来讲呀

通过这个性质

我们可以意识到什么呢

f本身是非负函数

它作为一个二元函数，应该是一个空间曲面

而且它应该位于

xoy平面的上方

那么对它在全平面的积分

应该是f和全平面

之间的一个什么呢

体积

那第一个性质就告诉我们，体积等于1

全平面上方的体积

f(x,y)和xoy平面之间夹的

体积是 1

同时我们又注意到

F(＋∞,＋∞)也是 1

这实际是随机点落在全平面的概率也是 1

所以这里面的一呢应该有双重

含义

同时从该性质我们也意识到

在

二维连续型随机向量中呢

概率和体积是等同的

对不对

就和我们一维随机向量，随机变量中

概率和面积等同，类似的

只不过上升了一个

维数

那么第三个性质呢

我们主要来看一看分析一下呀

F和f的这个关系式，它的这个意义

那我们看左侧，也就是F

它应该表示的是随机点落在

{－∞×x,- ∞×y} 这个区域的概率

而等号右侧呢

这应该是对f的积分

应该是体积

是{－∞×x,- ∞×y} 上方的这一块体积

对吧，那么这里边呢,再一次告诉我们了

在二维连续型随机向量中

概率和体积是

一个对等，等同的这个关系

那么下面呢，我们把这个区域一般化

(X,Y)我们来看呀，(X,Y)落在一个

任意一个平面区域 G 内的这个概率

这个G的形状呢可以不规则

是吧

任意一个形状的平面区就可以

那我们来看这个概率

那么应该理解为什么呢

G上方的体积概率对等于

区域上方的体积，而从几何上

体积

可以用什么来做呢

用我们的二重积分

也就是对密度函数f

在G上做一个二重积分啊

得到

这是一个非常有用的性质

它可以帮助我们来计算随机变量

随机向量

落在一个区域内的概率

而且特别是这个区域不规则也可以

这就体现了，我们f在计算概率中的

这个作用

下面呢我们再给出，在连续型随机向量

中一个新的概念，边际密度

这应该是咱们第三次提到边际两个字了

当然也是最后一次

边际分布函数

边际分布列，边际密度

咱们这里的边际密度

那我们首先呢引出这个概念

如果(X,Y)是二维的连续性

那么它应该有一个密度函数是f(x,y)

那么 X,Y 作为

二维随机向量的两个分量

通常应该是一个一维连续型

那么它们应该也有自己的密度函数

都是一元函数

那么这里呢，我们就称

X自己的密度函数fX(x)与fY(y)

分别为二维随机向量(X,Y)

关于

X与Y的边际密度

那么这里边，我们怎么来

理解这个边际密度呢

首先我们看

fx呢，实际就是X自己的分布密度

这里边呢我们其实又给它起了一个名字

又把它叫做

(X,Y)关于X的边际密度

也就是说又是一种什么情况呢

一个东西具备两个名字的问题

这样我们就不难理解这个边际密度了

那么我们和前面一样

只要涉及到边际和联合

就会要关心边际与联合的这个什么呢，关系

那这里面我们

经验上

应该有由联合密度f(x,y)

可以确定两个

边际密度

下面我们就看由联合密度如何

来确定边际密度

那我们知道

求 X 密度的方法呢

可以对它的分布函数进行求导

如果我有了X 分布函数的话啊

那么一求导就是

fx，我们下面就用这个方法

那我们先去求X自己的分布函数

那我们知道X的分布函数和

联合分布函数有一个关系

就是在这里面令Y位置取＋∞

好了，而F呢

又和f有关联

对吧，在定义中我们只需把

y的位置换成＋∞

这样我们这个就和

f取得了这个联系

那么在这个积分中呢

我们这样来做一个处理

我们把蓝色线的这个积分呀

这应该是对v的积分，在这里边呢

这个u应该是一个参变量

那么把它可以看作是一个关于

u的函数或者表达式

那这个二重积分就可以写作

－∞到x对g(u)的这个变上限积分

好了

那么下边呢我们只需对

大FX进行求导

就会得到谁呢

我们需要的X自己的密度

FX求导

变上线积分求导

那就等于里面被积函数

当然我们注意换一下变量，g(u)换成

g(x)

对吧

而g(x)呢

应该等于这样的一个积分形式吧

因为我们g(u)有一个记号

这样就得到了

由联合密度

求X的边际密度的一个什么呢

公式

在这里边呢

我们把积分变量的v啊

改成了y，出于习惯，对吧

我们都用x,y表示，更熟悉

更方便一些

那么用类似的办法呢

我们也可以得到Y的边际密度求法

那么这两个公式呢

非常接近

唯一区别就是对

积分变量积分变量的不同

一个是对y

一个是对x，同时呢

这两个公式是非常重要的

两个公式

它可以去解决，它代表了一类典型的题型

就是由联合密度去求边际密度的题型

我们基本都是用这两个公式

去做

在本知识模块中

我们学习了连续型随机向量分布函数与

密度函数的性质

给出了由联合密度求边际密度的公式

好了

对本知识模块的学习

就到这里

再见