2.4.2 连续型随机变量函数的概率分布在线视频

大家好

上一节讨论了离散型随机变量函数的

概率分布列的确定

今天我们来讨论连续型随机变量

函数的概率分布

主要讨论当函数随机变量也连续时

用分布函数法确定其概率分布密度

这节所讨论的问题是，已知连续型随机变量

𝑋的概率密度以及𝑌与𝑋的

函数关系

当𝑌也连续时，讨论如何确定

𝑌的概率密度𝑓_𝑌 (𝑦)，这里为了

区别于𝑋的概率密度

𝑌的概率密度计为小𝑓，下标为

大𝑌小y，确定𝑌的概率密度

一般方法是先确定𝑌的分布函数

由分布函数求导，来确定𝑌的概率密度

这个方法的一般步骤为，第一步

由𝑋的取值范围

以及𝑌与𝑋的函数关系，来确定

随机变量𝑌的取值范围

不妨设为[𝛼,𝛽]

第二步

求𝑌的分布函数

当𝑦小于等于𝛼时

𝑌的分布函数相应的记为

𝐹𝑌(𝑦)

就等于大𝑌小于等于小𝑦的概率

由于随机变量𝑌只在区间[𝛼,𝛽]上取值

而小𝑦小于𝛼

那么随机变量在负无穷到𝑦

这个区间上取值的概率就等于0

因此有𝑦小于等于𝛼的时候

𝐹𝑌(𝑦)等于零

当𝑦大于𝛼小于𝛽的时候

分布函数等于大𝑌小于等于𝑦的概率

由于𝑌的分布未知

这个概率不能用𝑌的分布来计算

而是带入𝑌与𝑋的函数关系

等于g(𝑋)小于等于𝑦的概率

如果g(𝑋)这个函数确定,这个随机事件

可以表示为随机变量𝑋

在某区间内取值的概率

因此，这个概率可以用

𝑋的分布函数来表示

或者是用𝑋的概率密度积分来表示

当𝑦大于等于𝛽的时候

分布函数等于大𝑌

小于等于小𝑦的概率

由于𝑦大于等于

𝛽

由于小𝑦大于等于𝛽

那么随机变量在区间负无穷

到𝑦上取值是必然的

所以

分布函数一定等于1

当𝑦大于等于𝛽的的时候

一定等于1

第三步

对求得的分布函数，我们进行求导

来确定𝑌的概率密度

也就是小𝑓𝑌(𝑦)等于大𝐹𝑌(𝑦)的导数

下边呢，我们来看一个例题

已知𝑋服从标准正态分布

求𝑌等于𝑋方的概率密度

由于𝑋服从是标准正态分布

𝑋的取值范围是从负无穷到正无穷

因而𝑌等于𝑋方的取值范围

就等于0到正无穷

显然，𝑦小于等于0的时候

𝑌的分布函数等于0

当𝑦大于0的时候

分布函数等于大𝑌小于等于𝑦的概率

把𝑋方带入并转换成大𝑋在区间

负根号𝑦到根号𝑦上取值的概率

由于随机变量𝑋是标准正态分布

这个概率可以用标准正态分布函数

表示为

大𝛷根号y减大𝛷负根号y

由于大𝛷负根号𝑦等于1减大𝛷根号𝑦

所以等于2倍的

大𝛷根号𝑦减1

因此求得的分布函数为，𝑦大于零的

时候等于2倍的

大𝛷根号𝑦减1

其它为零

𝑌的概率密度

小𝑓𝑌(𝑦)就等于分布函数的导数

在𝑦大于零的时候就等于2倍的

大𝛷根号𝑦减1的导数

𝑦小于等于零的时候呢

就是0的导数一定等于0

而2倍的

大𝛷根号𝑦减1的导数

实际上负1的导就是0，就等于2倍的

大𝛷根号𝑦的导

由链式求导法则，分布函数

大𝛷根号𝑦的求导

分两步

首先，分布函数大𝛷根号𝑦

变成概率密度

小𝜑根号𝑦

再乘以根号𝑦的导函数

也就是再乘以2倍的根号𝑦分之一

也就是小𝑓𝑌(𝑦)在𝑦大于零的

时候，等于2倍的

小𝜑根号𝑦乘上2倍的根号𝑦分之一

𝑦小于等于0的时候呢，等于0

将根号𝑦带入标准正态分布的

概率密度函数

我们最后就会得到，𝑌随机变量的

概率密度为在𝑦大于零的时候

等于根号2𝜋𝑦分之一，𝑒的负的二分之𝑦

𝑦小于等于0的时候为0

好，在概率论与数理统计中

把具有上述概率密度的随机变量𝑌

称为服从自由度为1的

卡方分布，记为大𝑌波浪线花写的𝝌²

括号自由度1，有了这个定义

这个例题的结论就是

标准正态分布随机变量的平方，服从自由度

为一的卡方分布，即，大𝑋服从

标准正态分布，则𝑋²服从自由度

为一的卡方分布

下面我们来看单调可微条件下的

公式法定理，设𝑋为连续型随机变量，概率密度

为小𝑓(𝑥)

若g(𝑥)是严格单调可微函数

而且导函数不为零，值域设为

[𝛼,𝛽]，则函数随机变量

𝑌=g(𝑋)的概率密度函数

为这样的形式

其中ℎ(𝑦)为g(𝑥)的反函数

这里注意一下，定理的条件是g(𝑥)

是严格单调可微的，g(𝑥)的值域

实质上就是随机变量𝑌的取值范围

决定了所求𝑌的概率密度的定义域

在𝑌的概率密度的非零表达式中

将g(𝑥)的反函数ℎ(𝑦)代入

𝑋的概率密度

再乘以反函数导数的绝对值

好，下面我们分g(𝑥)为严格单增

和严格单减两种情况

用一般方法来讨论

首先，求𝑌的分布函数

然后对分布函数求导

进而求得𝑌的概率密度

小𝑓𝑌(𝑦)

若g(𝑥)为严格单调函数

则反函数ℎ(𝑦)也是严格单增的函数

而且

导函数一定大于零

由于𝑌的取值范围是𝛼到𝛽

显然，𝑦小于等于𝛼分布函数为0

𝑦大于等于𝛽

分布函数一定为1

下边我们主要看y大于𝛼

小于𝛽时，𝑌的分布函数

𝑌的分布函数记为大𝐹𝑌(𝑦)

它等于大𝑌小于等于𝑦的概率

把函数关系带入就等于g(𝑋)

小于等于𝑦的概率

由于g(𝑋)是严格单增的函数

这个随机事件的概率用随机变量𝑋

就可以表示为

大𝑋小于等于ℎ(𝑦)的概率

这个概率用随机变量𝑋的分布函数

就表示为，𝑋的分布函数在ℎ(𝑦)

这一点的函数值

就是𝐹𝑋(ℎ(𝑦))

因此，𝑌的分布函数，在𝑦

小于等于𝛼的时候是0

在𝑦大于𝛼小于𝛽

的时候等于

𝐹𝑋(ℎ(𝑦))，𝑦大于等于𝛽的

时候呢

等于1，𝑌的概率密度等于分布函数求导

由链式求导法则

在𝛼到𝛽之间的时候

分布函数求导

分布函数变成了密度函数

再乘以ℎ(𝑦)的导函数

其它为零

由于ℎ(𝑦)的导函数大于零

所以ℎ(𝑦)的导函数也可以

表示为绝对值的形式

好，那么下边呢我们用同样的方法

来讨论严格单减的形式

如果g(𝑥)严格单减

则反函数也严格单减

反函数的导数小于零

显然𝑦小于等于𝛼

分布函数为0，𝑦大于等于𝛽

分布函数为1

当𝑦大于𝛼小于𝛽的时候

分布函数等于大𝑌小于等于𝑦的概率

等于g(𝑋)小于等于𝑦的概率

由于g(𝑥)是单调减小的这个函数

这个随机事件的概率用随机变量𝑋

就可以表示为𝑋大于等于ℎ(𝑦)的概率

这个概率同样可以用𝑋的分布函数表示

表示为1减𝑋的分布函数在

ℎ(𝑦)这点的函数值

从而得到𝑌的分布函数为

𝑦大于𝛼小于𝛽时

为1减𝐹𝑋(ℎ(𝑦))，𝑦小于等于

𝛼的时候等于0

𝑦大于等于𝛽的时候等于1

从而y的概率密度就等于分布函数求导

由链式法则，在𝑦大于𝛼小于𝛽时

分布函数求导变成了密度函数

小𝑓𝑋(ℎ(𝑦))

ℎ(𝑦)再求导

那就是乘上ℎ(𝑦)的导函数

前边有一个负号

负号和ℎ(𝑦)的导函数写到一起

其它形式为零

又由于严格单减的时候

ℎ(𝑦)的导函数是小于零的

所以这里边的负的ℎ(𝑦)的导函数

我们又可以把它表示为

ℎ(𝑦)的导函数绝对值的形式

这样不论g(𝑥)是单增还是单减

𝑌的概率密度的公式都是一样的

因此有只要g(𝑥)严格单调

那么𝑌等于g(𝑋)的概率密度

都是在𝑦大于𝛼小于𝛽时

将反函数ℎ(𝑦)

代入𝑋的概率密度

再乘以ℎ(𝑦)导数的绝对值的形式

好，如果g(𝑥)满足严格单调的条件

那么𝑌等于g(𝑋)的概率密度可直接

利用这个公式，可以简化计算过程

那么这个公式应用的前提

就是g(𝑥)一定是严格单调的函数

带入此公式的这个步骤

第一步，求g(𝑥)的值域

第二步

求g(𝑥)的反函数

第三步，求反函数的导数及导数的绝对值

第四步，代入公式

例如，下面我们来看例题

设𝑋服从区间负二分之π到

二分之π上的均匀分布

求𝑌等于tan𝑋的概率密度

𝑋的概率密度是在负二分之π

到二分之π时为π分之一

其它为零

由𝑋的概率密度可知

𝑋的取值范围是负二分之π到二分之π

因此在这个区间段内

𝑌等于tan𝑋是严格单调的

满足我们这个公式法的条件

可以用公式法来求

那么首先我们来求𝑌等于

tan𝑋的值域

它的值域就等于负无穷到正无穷

tan𝑋的

反函数就等于arctan𝑦

反函数的导数等于1加𝑦方分之一

导函数大于零

导函数的绝对值

也等于1加𝑦方分之一

那么𝑌的概率密度的公式就是

小𝑓𝑋[ℎ(𝑦)]乘上ℎ(𝑦)导数的绝对值

𝑦大于负无穷小于正无穷

由于𝑋的概率密度为常数

将反函数ℎ(𝑦)带入

𝑋的概率密度仍为常数

π分之一

因此

代入公式后

𝑌的概率密度就等于π分之一

反函数导数的绝对值就是

一加𝑦方分之一，𝑦属于实数

好，下面我们来看另一例题

设𝑋服从一般正态分布

求𝑌等于𝑘𝑋+𝑏的概率密度

关于𝑋是线性函数

𝑋的概率密度为一般正态分布的

密度函数

等于根号2𝜋 𝜎分之一

𝑒的负的2倍的

𝜎²分之𝑥−𝜇的平方

𝑥属于实数

那么𝑌等于𝑘𝑋+𝑏为

严格单调的函数，满足公式法的条件

下面呢，我们为了带入公式

首先我们来看函数𝑘𝑋+𝑏的值域

𝑋取值范围是负无穷到正无穷

所以

𝑘𝑋+𝑏的取值范围也是

负无穷到正无穷，反函数就等于

𝑘分之𝑦−𝑏，反函数导数的

绝对值就等于

𝑘的绝对值分之一，𝑌等于𝑘𝑋+𝑏的

概率密度公式等于

小𝑓下标大𝑋，ℎ(𝑦)

乘以ℎ(𝑦)导数的

绝对值，𝑦属于R

将ℎ(𝑦)代入𝑋的概率密度

也就是把正态分布的概率密度中的

𝑥替换为ℎ(𝑦)

然后再乘以ℎ(𝑦)导数的绝对值

得到𝑌的概率密度为

根号2𝜋 𝜎分之一

𝑒的负的2倍的𝜎²分之

𝑘分之𝑦−𝑏减𝜇的平方

再乘以

𝑘的绝对值分之一

进一步整理为这样的一个形式

把常数放到一起

把指数函数中的指数𝑘分之

𝑦−𝑏减𝜇的平方通分

整理成这样一个形式以后

我们可以看出来

这仍然是一个正态分布概率密度函数

𝑘的绝对值𝜎

相当于一个新的𝜎撇儿

𝑘𝜇+𝑏相当于一个

新的𝜇撇

因此

𝑌仍然服从正态分布

而且服从的正态分布的参数为

𝑘𝜇+𝑏还有𝑘方

𝜎方

由此例题实际上会得到，关于正态分布的

一个重要结论

就是正态分布随机变量的线性函数

仍然服从正态分布

以上讨论的都是𝑋是连续型随机变量

𝑌等于g(𝑋)也是连续型的情形

实际上

有时𝑋是连续型随机变量

𝑌得g(𝑋)不一定为连续的

例如

若随机变量𝑋的概率密度为𝑥大于0

小于1时为2𝑥，其它为零

令𝑌在𝑋小于等于二分之一时得1

在𝑋大于二分之一

等于0

求𝑌的概率分布，𝑌为离散型随机变量

确定𝑌的概率分布

也就是确定𝑌的概率分布列

𝑌等于1的概率对应等于

𝑋小于等于二分之一的概率

利用𝑋的概率密度积分

等于2𝑥从0到二分之一的

积分，等于四分之一

由于𝑌只取零与一两种可能取值

因而，𝑌等于零的概率就等于1减大𝑌

等于1的概率，等于四分之三

所以𝑌的概率分布列为

取值是0，1

对应的概率为四分之三，四分之一

这一节我们主要讲了分布函数法

来确定连续型随机变量函数的概率密度的

方法和步骤

介绍了单调可微条件下公式法求

连续型随机变量函数的概率密度的

方法和步骤

介绍了自由度为一的

卡方分布的定义，由例题

引出了两个重要的结论

即标准正态分布随机变量的平方

服从自由度为一的卡方分布

正态变量的线性函数仍服从正态分布

只是参数不同而已

好，今天就到这里

谢谢大家