1.2.2 概率的性质在线视频

大家好

前面已经学习了事件的关系和运算

概率的公理化定义，知道了概率是

大于等于零，小于等于一的数

必然事件的概率是等于一的

可列个互斥事件和的概率，等于这些事件

概率的和，有了这些准备工作

我们进一步研究第一章第二节的

第二部分内容，概率的性质

这里我们主要介绍不可能事件的概率

概率的有限可加性

概率的加法定理，概率的单调性

以及对立事件的概率，还有概率的连续性

首先我们来看不可能事件的概率

我们说不可能事件的概率是等于零的

对于这个性质

我们可以利用前面概率的公理化定义当中的

可列可加性给大家证明一下

所谓的可列可加性就是

可列个两两互斥的事件

它们和的概率等于概率的和

要想利用这条公理

那我们必须首先要构造出

可列个两两互斥的事件

我们知道不可能事件和

不可能事件作交运算

它是等于不可能事件的

所以我们给出可列个不可能事件

它们一定是两两互斥的

又因为

不可能事件

并上不可能事件还是不可能事件

那么可列个不可能事件的并

还是不可能事件

又由于不可能事件和不可能事件

是两两互斥的

那么可列个不可能事件的并，就可以写成

可列个不可能事件的和的形式

并且呢

它等于不可能事件

这样我们两边同时取概率

就会得到这样的一个形式

这时，我们就可以用

可列可加性了

可列个不可能事件的

和的概率等于它们概率的和

又因为任何一个事件

它发生的概率都是大于等于零的

所以不可能事件的概率也是大于等于零的

那我们带入到上面的表达式当中

就可以得到不可能事件的概率

就等于零

这样我们就证明了这个性质

这是第一条性质

下面我们来看第二条

概率的有限可加性

如果A1、A2到An是两两互斥的事件

那么这些两两互斥的事件的和的

概率就等于它们概率的和

对于这条性质

我们仍然可以用

概率的可列可加性来进行证明

我们首先还是要构造

可列个两两互斥的事件

不妨设Ai是不可能事件

i等于n+1、n+2

可列个

好，那么这样的话,由已知A1到An是

两两互斥的，那我们就可以获得

可列个两两互斥的事件了

A1、A2、An、An+1

然后An+2等等

就是

一组两两互斥的事件

那我们利用可列可加性,互斥事件

和的概率等于它们概率的和

那么在这个表达形式当中

我们注意到

右端可以进一步的写成这样的形式

好了，那我们再来看左端

因为任何一个事件和不可能事件做和

还是这个事件本身

所以我们左端给了这个形式

我们可以把它写成这样的

好，接下来我们再来看右端

因为不可能事件的概率是等于零的

所以我们把它带进去，就可以得到右端就是

Ai的概率做和，i从1开始到n

这样我们就

证明了概率的有限可加性

利用概率的有限可加性

可以去求事件发生的概率

它可以用来求两两互斥的事件的和的概率

我们可以用这样的计算公式

来获得事件发生的概率

好，那我们下面来看第三条性质

概率的加法定理

设A、B是任意的事件

那么

A并上B的概率就等于A的概率再加上

B的概率再减去A交B的概率

这条性质

我们可以利用前面

讲过的一种非常重要的思想方法

就是事件可以写成

互斥的事件的和的形式来进行证明

那我们在这个图当中可以看到

A并上B

它可以写成A加上一个B减A的形式

而B事件

它显然可以写成

A交B再加上一个B减A的形式

这里A事件和B减A事件是互斥的

AB事件和B减A事件也是互斥的

那我们由刚刚讲过的

有限可加性可以看到A并B的概率

可以写成这样的形式

而B的概率又可以写成这样的形式

由B的概率

我们可以推出

B减A的概率

我们再把它带到上面的表达形式当中

就可以获得A并B的概率等于

A的概率加上B的概率再减去

A交B的概率

我们证明了概率的加法定理

那么这个加法定理当中出现的是两个事件

那这个性质实际上我们可以

把它进一步的推广

推广到三个事件的并的形式

设A、B、C是任意的事件

那么

A并上B再并上C的概率就可以

写成这样的一个表达形式

那这个表达形式

我们怎么能把它推出来呢

给大家说一下这个思路

这里我们可以把A并上B结合在一起

看作是一个事件

那么在和C事件做并运算的时候

是不是就回到了刚才我们给的两个事件的

加法定理当中去了

那我们把它按照那个公式把它打开整理

就可以获得A并上B再并上C的

概率的计算公式

当然你也可以把B并上C看作是一个事件

那我们还可以得到一个计算公式

这是三个事件

并的加法定律

那类似的我们还可以把这个加法定理

推广到有限个事件

A1，A2，···An是任意的事件

那么这n个事件的并的概率

我们就可以写成这样的一个公式

那这个公式它的推导实际上也是用刚才

我们讲的那个基本的概率的加法定理

也可以把它推导出来

这里我们就不推了啊

好，这是概率的加法定理

那么

通过概率的加法定理

我们可以看到它给我们提供了

一个求A并B的概率的

计算公式

而对于这个计算公式来说

大家看一下

如果我们要是给它做一个变形形式

我们是不是可以得到A交上B的

概率的计算公式

那有的同学可能会想

哎，我进一步的我再把它变一下形式

我还可以求出A的概率，还可以求B的概率

这都是可以的啊

就是说

我们给出一个概率的计算公式之后

那么我们要注意，要会灵活的运用

好，这是概率的加法定理

接下来我们来看

第四条性质，概率的单调性

如果A事件包含B事件

那么

A减去B的概率就等于

A的概率再减B的概率

并且B的概率是小于等于A的概率

这是概率的单调性

我们给大家证明一下

这里由于A包含B

由图形当中

我们可以看到

A事件

它可以写成B事件

再加上一个A减B的形式

这里B事件和A-B事件

它是互斥的关系

那由

概率的有限可加性

我们就可以得到A的概率等于B的概率

再加上A-B的概率

我们移项整理就可以获得，A-B的概率

是等于A的概率再减去B的概率的

我们就证明了这个结论

又因为任何一个事件

它发生的概率都是大于等于零的

所以A-B的概率也是大于等于零的

这样我们就移项整理就可得到

B的概率是小于等于A的概率

这是概率的单调性

那么它可以用来求两个事件差的概率

前提条件是这两个事件

有这种包含关系

那如果

B包含A呢

那么

B-A的概率就等于

B的概率减去A的概率

并且会有A的概率是小于等于B的概率

好，这是概率的单调性

那么在这个单调性当中，我们有一个条件

是说这两个事件有包含关系

那如果要是没有包含关系呢

我还想求A减B的概率，怎么办呢

我们来看这个问题

那进一步的如果A、B

是任意的两个事件

A减去B的概率

它可以写成是A的概率

再减去A交B的概率

我们结合图形来给大家证明一下这个结论

这里我们注意到A-B

实际上可以写成A-AB

那我们在这里可以看到这个AB

它实际上是在A当中呢

那就说明

A包含AB

那利用刚才我们讲的单调性

我们就会得到A-B的概率

它就等于

A减去AB的概率，又因为

AB是包含在A当中的

所以它可以写成A的概率再

减去AB的概率

我们就推出来这个表达形式

那么由概率的单调性

实际上我们得到了两个求

事件差的概率的计算公式

那么我们遇到一个求概率的问题

到底用这两个计算公式

比如说我求两个事件的差

它的概率

我到底用哪一个呢

那就看我们这里边给的条件

哪一个满足就可以了

是有包含关系的

还是说任意的事件

我们来分辨一下就可以解决问题了

好，这是概率的单调性

下面我们来看对立事件的概率

如果

A拔是A的对立事件

那么

A拔的概率就等于1减去A的概率

我们来给大家证明一下这道性质

由图形当中

大家可以看到

必然事件它实际上可以写成

A加上A的对立事件

两边同时取概率

因为必然事件的概率是等于一的

而这里A和A的对立事件显然

是互斥的，那么

由概率的有限可加性

A加上A的对立事件的概率，就等于

A的概率再加上A的对立事件的概率

我们就会有这样的表达形式

那么利用这个表达形式

我们马上就可以推出，A的对立事件的

概率是等于1减去A的概率的形式的

那同样道理，A的概率是不是就

可以写成

是1减去A的对立事件的概率啊

这就是两个相互对立的事件

它们的概率之间的关系

那我们今后在求事件发生的概率的时候

如果一个事件发生的概率直接求不好求

那么我们就可以考虑用它的对立事件

来求这个事件发生的概率

好，这是第五条性质啊

接下来我们来看最后一个，概率的连续性

设An是一个事件列

第一条，如果An是一个

单调不减的事件列

并且An的并是等于A的

那么这时An的概率，当n趋近无穷大的时候

就是A的概率

第二个

如果An是一个单调不增的事件列

并且它们的交等于事件A

那么

我们就可以得到An的概率

当n趋近无穷大的时候

它是等于A的概率

这个就是概率的连续性

那么实际上概率的连续性就告诉我们

An是一个事件列

那么这个事件列的概率

当n趋近无穷大的时候

它实际上就是等于这个An

当n趋近无穷大的时候

它的极限的概率

这样的形式

好，这是概率的连续性

那么利用这些概率的性质

我们可以求事件发生的概率

那不可能事件的概率等于零

互斥事件和的概率等于概率的和

利用加法定理可以求并事件的概率

可以求交事件的概率

利用单调性可以求差事件的概率

利用对立事件的概率可以求

对立事件的概率之间的这种关系

好， 那么利用连续性

我们可以看到

求概率和取极限

它可以互相交换位置

好，接下来呢

我们就利用这些概率的性质来求

事件发生的概率，给大家举一些例子

如果A的概率等于0.3，B的概率等于0.5

在下面的三种情况下

我们来求B减A的概率

这里B减A是两个事件差的概率

显然我们有如下的计算公式

其中第一个

要求A、B有包含关系

而第二个呢

是对于任意的两个事件

都是成立的

那我们来看

第一种情况

当A，B是互斥的

如果A，B是互斥的

那么A交B一定是不可能事件

而不可能事件的概率是等于零的

所以A交B的概率是等于零的

那我们来看，这里A，B没有包含关系

那我要想求B减A，显然用第二个公式

而第二个公式当中，B的概率等于0.5

A交B的概率等于零

那我们代进去

可以得到B减A的概率等于0.5

我们来看第二种情况

因为A，B有包含关系

所以我们在计算B减A的概率的时候

就可以用第一个公式

B减A的概率等于B的概率减去A的概率

B的概率和A的概率是一致的，代入进去

可以计算等于0.2

接下来我们来看第三种情况

A交B的概率等于0.1

那么这是A，B实际上就是

任意的两个事件

那我们要求B减A的概率

显然用第二个计算公式

它等于B的概率减去A交B的概率

而B的概率等于0.5，A交B的概率

等于0.1，计算可得B减A的概率

就等于0.4

这样我们就利用概率的单调性

解决了这个问题

可以用来求两个事件的差的

概率的这种计算的想法

好，那我们下边再来看一个例子

假设A发生的概率为0.6

A、B都发生的概率为0.1

A、B都不发生的概率为0.15

我们来求A发生

但B不发生的概率

第二个，求A、B至少发生一个的概率

要想求事件发生的概率

我们首先要表示一些事件

那么根据已知条件

我们知道A的概率等于0.6

A交B的概率等于0.1

而A的对立事件交B的对立事件的概率

等于0.15

我们要求A发生

但B不发生，那显然是求

A交上B的对立事件的概率

也就是A减B的概率

那么

A减B的概率

这里A、B没有包含关系

显然

我们可以用

这个一般的计算公式

它可以写成A的概率减去A交B的概率

我们知道A的概率等于0.6

A交B的概率等于0.1，代入可以算得

A发生

但B不发生的概率就等于0.5

我们解决了第一个问题

来看第二个

A、B至少发生一个

那显然是求A并B的概率

那么求A并B的概率

我们回想一下刚才所学习的概率的性质

那我们可能会想到，我可以利用

加法定理来求，那如果我们

用加法定理来求的话

我得知道A的概率，还得知道B的概率

还得知道A交B的概率

我们发现B的概率不知道

那所以呢

我们不用这种方法

我们再考虑另外的一个角度

A并上B的概率

它实际上可以写成

1减去A并上B的对立事件的

概率的形式

再有我们前面所学习的对偶律

A并B的对立事件，可以写成

A的对立事件交B的对立事件

所以A并B的概率就可以

写成这样的形式了

这里A的对立事件交B的对立事件的

概率是等于0.15的，我们代进去

可以算得结果等于0.85

这样我们就解决了第二个问题

那我们用了什么呢

用了对立事件的概率之间的关系

好，这就是概率的一些性质

我们可以利用它来求事件发生的概率

好，以上就是概率常用的性质，总结一下

我们主要学习了

不可能事件的概率

概率的有限可加性，加法定理

单调性，对立事件的概率和概率的连续性

这些性质为计算事件发生的概率

提供了基本方法

今后，大家要结合事件的关系和运算

灵活地运用这些性质求事件的概率

这部分内容就学习到这里，谢谢大家