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7.1.1 矩估计法在线视频

下一节:7.1.2 最大似然估计法

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7.1.1 矩估计法课程教案、知识点、字幕

大家好，

今天我们来学习第七章，参数估计

首先来了解一下什么是参数估计

设总体分布已知，其中含有未知参数

根据从总体中抽取的样本所提供的信息

对未知参数作出估计

这就是参数估计问题

根据估计方式的不同，参数估计分为

点估计和区间估计

点估计是给出未知参数的一个具体估计值

区间估计则是按照一定的可靠性

估计出未知参数的一个取值范围

首先我们来学习第一节，点估计

我们先看点估计的定义

设总体X的分布中含有未知参数

根据从总体中抽取的一个样本(𝑿𝟏,𝑿𝟐, ⋯,𝑿𝒏)

来构造一个统计量θ

并以其观察值作为θ的点估计值

将观察值换成样本(𝑿𝟏,𝑿𝟐, ⋯,𝑿𝒏)所得到的

统计量θ称为参数

θ的点估计量

点估计的常用的方法有

矩估计法和最大似然估计法

我们先来看矩估计法

矩估计法是英国统计学家皮尔逊

在1894年提出来的

它的理论基础是

从总体X中抽取一个容量为

n的样本(𝑿𝟏,𝑿𝟐, ⋯,𝑿𝒏)

它们独立同分布

根据辛钦大数定律

样本矩依概率收敛到总体矩

即∀ε>0

有这个式子成立

这就告诉我们

当n比较大的时候

样本矩在总体矩附近的概率非常大

因此可以用样本矩来近似代替总体矩

这样就得到了样本矩和未知参数

之间的关系式，从中解出未知参数

就是我们要求的矩估计量

下面我们来看这个例题

设总体X的概率密度是f(x,θ)

其中θ是未知参数

求θ的矩估计量

根据前面的方法

我们首先求

X的数学期望

根据数学期望的定义

这是一个连续型随机变量

我们需要对

X乘以f(x)从负无穷到正无穷积分

我们写出具体的积分区间

从零到1，Xθ，Xθ-1

DX

结果等于𝜽/(𝜽+𝟏)

这样就得到了未知参数θ

和总体矩之间的关系式

我们接下来

令相应的样本矩等于总体矩

就得到未知参数θ

样本均值X之间的关系

我们从中解出θ

得到的θ

𝑿 ̅/(𝟏−𝑿 ̅ )

这就是我们所求的参数

θ的矩估计量

接下来我们再来看一个离散型的例子

设总体X的概率分布列如下

其中𝟎<𝜽<𝟏/𝟑求参数

θ的矩估计量

首先我们来计算它的数学期望

根据离散型随机变量

数学期望定义

𝑬(𝑿)等于−𝟐𝜽+𝟎+𝟐(𝟏−𝟑𝜽)

通过简单的计算可以得到结果是𝟐−𝟖𝜽

接下来我们令相应的样本矩等于总体矩

并从中解出未知参数θ

得到θ是(𝟐−𝑿 ̅)/𝟖

这就是我们所求的

参数的矩估计量

接下来我们来看这样一个例题

设总体X分布任意

数学期望和方差都存在

其中μ和σ²是未知参数，

求它们的矩估计量

在这个题目中有两个未知参数

需要两个方程

我们用一阶样本矩和二阶样本矩分别来

近似相应的总体矩，就可以得到如下

两个式子

X等于EX等于μ

μ

N分之一σXi的平方等于EX方

根据期望的性质

它就等于

σ²加μ²

我们将这两个式子联立

从中解出未知参数μ和σ²

就得到了

矩估计量

μ的矩估计量是X

σ²的矩估计量是

(𝒏−𝟏)𝑺²/𝒏 ，其中的S²是

我们上一章讲到的样本方差

这是我们讲过的常见的六种分布

未知参数的矩估计的结果

矩估计法的解题步骤是，一，求出总体矩

二，令样本矩等于相应的总体矩

三，解出未知参数

所得到的就是矩估计量

今天的课就讲到这里

下次课我们讲点估计的第二种方法

谢谢大家

概率论与数理统计课程列表：

第一章概率论的基本概念

-第1节随机事件

--1.1.1 随机试验、样本空间、随机事件

--1.1.2 事件的关系和运算

--1.1 作业

-第2节概率的定义和性质

--1.2.1 随机事件的频率及概率

--1.2.2 概率的性质

--1.2 作业

-第3节古典概型与几何概型

--1.3.1 古典概型

--1.3.2 几何概型

--1.3 作业

-第4节条件概率

--1.4.1条件概率的概念和概率的乘法公式

--1.4.2 全概率公式

--1.4.3 贝叶斯公式

--1.4 作业

-第5节随机事件的独立性

--1.5.1 两个事件、三个事件及多个事件的独立性

--1.5.2 n 重伯努利试验

--1.5 作业

-本章测试

--第一章测试

第二章随机变量及其概率分布

-第1节随机变量与分布函数

--2.1.1 随机变量

--2.1.2 分布函数

--2.1 作业

-第2节离散型随机变量

--2.2.1 定义与基本概念

--2.2.2 0-1分布和二项分布

--2.2.3 泊松分布

--2.2 作业

-第3节连续型随机变量

--2.3.1 定义与基本概念

--2.3.2 均匀分布和指数分布

--2.3.3 正态分布

--2.3 作业

-第4节随机变量函数的分布

--2.4.1 离散型随机变量函数的概率分布

--2.4.2 连续型随机变量函数的概率分布

--2.4 作业

-本章测试

--第二章测试

第三章二维随机向量及其分布

-第1节二维随机向量及其分布函数

--3.1 二维随机向量及其分布函数

--3.1 作业

-第2节二维离散型随机向量

--3.2 二维离散型随机向量

--3.2 作业

-第3节二维连续型随机向量

--3.3.1 基本概念与性质

--3.3.2 二维连续型随机向量的例题

--3.3.3 二维均匀分布与二维正态分布

--3.3 作业

-第4节条件分布与随机变量的独立性

--3.4.1 条件分布

--3.4.2 随机变量的独立性

--3.4 作业

-第5节随机向量函数的分布

--3.5.1 离散型随机向量函数的分布

--3.5.2 连续型随机向量函数的分布

--3.5 作业

-本章测试

--第三章测试

第四章随机变量的数学期望

-第1节数学期望

--4.1.1 离散型随机变量的数学期望

--4.1.2 连续型随机变量的数学期望

--4.1.3 随机变量函数的数学期望

--4.1.4 数学期望的性质

--4.1 作业

-第2节方差

--4.2.1 方差的定义及性质

--4.2.2 三种离散型随机变量的方差

--4.2.3 三种连续型随机变量的方差

--4.2.4 切比雪夫不等式

--4.2 作业

-第3节协方差和相关系数

--4.3.1 协方差

--4.3.2 相关系数

--4.3 作业

-第4节矩和协方差矩阵

--4.4 矩和协方差矩阵

-本章测试

--第四章测试

第五章大数定律和中心极限定理

-第1节大数定律

--5.1.1 依概率收敛和伯努利大数定律

--5.1.2 切比雪夫大数定律和辛钦大数定律

--5.1 作业

-第2节中心极限定理

--5.2.1 独立同分布的中心极限定理

--5.2.2 De Moivre-Laplace 中心极限定理

--5.2 作业

-本章测试

--第五章测试

第六章数理统计的基本概念

-第1节数理统计的基本问题

--6.1 数理统计的基本问题

-第2节总体、样本和统计量

--6.2 总体、样本和统计量

--6.2 作业

-第3节抽样分布

--6.3 抽样分布

--6.3 作业

-第4节抽样分布定理

--6.4 抽样分布定理

--6.4 作业

-本章测试

--第六章测试

第七章参数估计

-第1节参数点估计

--7.1.1 矩估计法

--7.1.2 最大似然估计法

--7.1.3 估计量的评选标准

--7.1 作业

-第2节区间估计

--7.2.1 区间估计的概念和术语

--7.2.2 正态总体参数的区间估计

--7.2 作业

-第3节非正态总计参数的区间估计

--7.3 非正态总体参数的区间估计和单侧置信区间

--7.3 作业

-本章测试

--第七章测试

第八章假设检验

-第1节假设检验的基本概念

--8.1.1 假设检验的思想和方法

--8.1.2 假设检验的形式和两类错误

--8.1 作业

-第2节正态总体参数的假设检验

--8.2.1 正态总体均值的假设检验（方差已知）

--8.2.2 正态总体均值的假设检验（方差未知）

--8.2.3 正态总体方差的假设检验

--8.2.4 两独立正态总体均值相等的假设检验

--8.2.5 两独立正态总体方差相等的假设检验

--8.2 作业

-第3节非正态总体参数的假设检验

--8.3 非正态总体参数的假设检验

-本章测试

--第八章测试

期末考试

-期末考试

7.1.1 矩估计法笔记与讨论

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