当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第八章 假设检验 > 第3节 非正态总体参数的假设检验 > 8.3 非正态总体参数的假设检验
大家好
这一讲我们介绍
非正态总体参数的假设检验
当总体是非正态总体时
抽样分布定理不再成立
根据中心极限定理
当样本容量n 很大时
独立变量之和将近似的服从正态分布
那标准化之后
将近似的服从标准正态分布
基于上述思想
我们来解决非正态参数的假设检验问题
第一部分
单个总体均值的假设检验
设总体X的分布任意,均值和方差存在
不妨设均值为μ,方差为σ²
显著性水平为α
由于对总体的均值做检验
需要考虑总体的方差是已知还是未知
第一种情况
总体的方差已知
检验假设
H₀：μ=μ0
H₁：μ≠μ0
其μ0是已知的常数
由于对总体的均值做检验
我们选择的依然是样本均值
选择的检验统计量为
U 等于XBar减μ0 比上σ除以根下n
在样本容量n很大
并且在原假设H₀成立的条件下
它是近似服从标准正态分布的
由标准正态分布的分位数
我们可以得出H₀的拒绝域
对于给定的显著性水平α
可以参考标准正态分布的
上二分之α分位数
由于U 它是近似服从
标准正态分布
因此|U|>=u 1减二分之α
这个概率近似等于α
因此我们得到H₀的拒绝域
可以近似认为是
|U|>=u 1减二分之α
大家可以明显看到
它的拒绝域有两个临界值
这是一个双侧检验
那同样的 我们可以得到单侧检验
类似的 如果H₀：μ=μ0
H₁: μ小于μ0
它的拒绝域在左侧
u 小于=-u 1-α
再看第二个 H₀：μ=μ0
H₁: μ>μ0
H₀的拒绝域在右侧
u >=u 1-α
这是总体方差已知的
接下来我们讨论一下总体方差未知的
检验假设 H₀：μ=μ0
H₁: μ≠μ0
由于总体的方差未知
我们选择用样本方差去代替总体的方差
得到统计量
为XBar减μ0
比上S 除以根下n
当样本容量n很大
在原假设H₀成立的条件下
它依然近似地服从标准正态分布
与方差已知的情况类似
它的拒绝域依然是
|U|>=u 1减二分之α
下面 我们看一道例题进行进一步的说明
某电器元件的平均电阻值
一直保持在2.64欧姆
在改变生产工艺后
测得100个元件的电阻
它的样本均值为2.62欧姆
方差为0.06²欧姆
问 新工艺
对此元件的电阻是否显著减少
显著性水平 α=0.01
我们的问题是
在改变生产工艺之后
元件的电阻是呈现明显减少了吗
我们取
μ小于μ0
作为备择假设
也就是 H₀：μ=μ0=2.64
H₁：μ小于μ0
这是一个左侧检验
由于对总体的均值做检验
我们需要考虑
总体的方差是已知还是未知
在这个题目当中明显看到
总体的方差是未知的
因此我们选择的检验统计量是
XBar减μ0
比上S除以根下n
当n =100很大时
在原假设成立的条件下
它是近似的服从标准正态分布的
那么它的拒绝域呈现左边的样子
是u小于=负的u 1-α
接下来我们代入数据做出判断
因为α=0.01
n =100
我们要查的分位数就是
u 1-α
也就是说u 0.99
可以查表得到它的值是2.33
因此
H₀的拒绝域就是
u小于=-2.33
接下来 我们代入数据
由样本数据可以知道
样本均值的观测值
XBar=2.62
S²=0.06²
那么代入检验统计量
求出来u的值为
2.62-2.64 比上
0.06 除以根下100
结果是-3.33
这个值明显比-2.33要小
这就说明了检验统计量的值落在了拒绝域
从而
我们就拒绝原假设H₀
即认为采用新工艺之后
元件的电阻值呈现显著的减少
好 这是单个的情况
接下来 我们进一步介绍两个总体的情况
两总体均值相等的假设检验
假设总体分别记为X,Y
它的期望和方差均是存在的
X₁到Xn₁
是来自X的样本
Y₁到Yn₂为来自Y的样本
两样本相互独立
样本均值和样本方差分别记为
XBar,YBar, S₁²，S₂²
显著性水平为α
我们要对两个总体的均值
μ₁和μ₂是否相等做检验
要考察总体的方差是已知还是未知
分两种情况
好 先来看第一种情况
两总体的方差均为已知的
这时
我们检验
H₀：μ₁=μ₂
H₁：μ₁≠μ₂
我们选择检验统计量
依然是通过样本均值来体现的
XBar减Ybar
比上根号下 n₁分子σ₁²
加上n₂分之σ₂²
在原假设H₀成立的条件下
它近似地服从标准正态分布
那么它的拒绝域与单个均值的情况
是一致的
|u| >=u 1减二分之α
类似的 我们也可以得到
总体方差未知的情况
检验假设H₀：μ₁=μ₂
H₁：μ₁≠μ₂
由于两总体的方差未知
我们用样本方差去替换总体的方差
得到的检验统计量是
XBar减YBar 比上根号下
n₁分之S₁² 加上 n₂分之S₂²
在原假设H₀为真的条件下
它是近似地服从标准正态分布的
这与两方差已知的情况
类似
拒绝域都是
|u| >=u 1减二分之α
这些都是双侧的情况
接下来我们总结一下单侧的情况
H₀：μ₁=μ₂
H₁：μ₁小于μ₂
它的拒绝域在左侧
u小于=负 u 1-α
类似的
H₀：μ₁=μ₂，H₁：μ₁>μ₂
H₀的拒绝域
在右侧
u>= u 1-α
下面我们总结一下本节的内容
这一节我们介绍了
非正态总体 参数的假设检验
它分为两个内容
第一
单个总体均值的假设检验
第二 两个总体均值的假设检验
无论是单个总体 还是两个总体
无论是方差已知
还是方差未知
我们选择的统计量
都是近似地服从标准正态分布
它们的拒绝域也是一致的
以上就是本节所学的内容
至此
假设检验的问题全部完结
谢谢大家
-第1节 随机事件
--1.1 作业
-第2节 概率的定义和性质
--1.2 作业
-第3节 古典概型与几何概型
--1.3 作业
-第4节 条件概率
--1.4 作业
-第5节 随机事件的独立性
--1.5 作业
-本章测试
--第一章测试
-第1节 随机变量与分布函数
--2.1 作业
-第2节 离散型随机变量
--2.2 作业
-第3节 连续型随机变量
--2.3 作业
-第4节 随机变量函数的分布
--2.4 作业
-本章测试
--第二章测试
-第1节 二维随机向量及其分布函数
--3.1 作业
-第2节 二维离散型随机向量
--3.2 作业
-第3节 二维连续型随机向量
--3.3 作业
-第4节 条件分布与随机变量的独立性
--3.4 作业
-第5节 随机向量函数的分布
--3.5 作业
-本章测试
--第三章测试
-第1节 数学期望
--4.1 作业
-第2节 方差
--4.2 作业
-第3节 协方差和相关系数
--4.3 作业
-第4节 矩和协方差矩阵
-本章测试
--第四章测试
-第1节 大数定律
--5.1 作业
-第2节 中心极限定理
--5.2.2 De Moivre-Laplace 中心极限定理
--5.2 作业
-本章测试
--第五章测试
-第1节 数理统计的基本问题
-第2节 总体、样本和统计量
--6.2 作业
-第3节 抽样分布
--6.3 抽样分布
--6.3 作业
-第4节 抽样分布定理
--6.4 作业
-本章测试
--第六章测试
-第1节 参数点估计
--7.1 作业
-第2节 区间估计
--7.2 作业
-第3节 非正态总计参数的区间估计
--7.3 作业
-本章测试
--第七章测试
-第1节 假设检验的基本概念
--8.1 作业
-第2节 正态总体参数的假设检验
--8.2 作业
-第3节 非正态总体参数的假设检验
-本章测试
--第八章测试
-期末考试