8.2.5 两独立正态总体方差相等的假设检验在线视频

大家好

这一讲我们继续介绍两独立

正态总体参数的假设检验

总体方差相等的假设检验

X₁，X₂到Xn₁为来自正态总体

N(μ₁，σ₁²）的样本

Y₁，Y₂到Yn₂为

来自正态总体N(μ₂，σ₂²）的样本

两样本相互独立

并且XBar,YBar,S₁²，S₂²

分别为两样本的样本均值和样本方差

假设总体的均值μ₁,μ₂未知

显著性水平为α

考虑假设检验问题

原假设 H₀: σ₁²=σ₂²

与之对应的对立假设

分为三种情况

H₁: σ₁²≠σ₂²

H₁: σ₁²小于σ₂²

H₁: σ₁²>σ₂²

我们先考虑第一种情况

检验假设

H₀: σ₁²=σ₂²

H₁: σ₁²≠σ₂²

由于对两总体的方差做检验

我们的判断依据是要根据

两总体的样本方差

由定理6.6可以知道

S₁²/σ₁²

除以 S₂²/σ₂²

它是服从自由度为

(n₁-1，n₂-1)的F分布

因此

我们选择了检验统计量是

S₁²/S₂² 两个样本方差的比值

在原假设 H₀: σ₁²=σ₂²

成立的条件下

检验统计量

它是服从自由度为(n₁-1，n₂-1)的F分布

由于原假设

H₀: σ₁²=σ₂²

那么S₁²,S₂²

作为它们的无偏估计量

在原假设H₀成立的条件下

两总体的样本方差应该是很接近的

因此

两总体的样本方差的比值应该

是集中在1的左右

因此就告诉我们

如果检验统计量的值过分的大

或者过分的小

那么我们就拒绝原设H₀

接下来 对于给定的显著性水平

α

由于F分布

它的密度图形并不是一个对称的图形

但是我们选的分位数点

依然是对称的分位点

我们选择的是F分布的上二分之α分位数

以及下二分之α分位数

那么落在这两个点左右两侧的面积

分别是二分之α

由此我们可以构造一些小概率事件

大家看

0小于F小于=下二分之α分位数的概率

是二分之α 或者

F>=上二分之α分位数的概率

概率也是二分之α

α小 二分之α更小

这两个中的任何一个都是一个小概率事件

这一点与卡方检验是比较类似的

任何一个发生都会导致小概率事件发生

因此H₀的拒绝域是这样的

统计量的值

0小于F小于=下二分之α分位数

或者

F>=上二分之α分位数

我们需要说明的是

第一点

在这个假设检验当中

我们采用的统计量

在H₀成立的条件下

它是服从F分布的

所以这个方法我们称之为F检验法

第二

H₀的拒绝域

它有两个临界值

一个是上二分之α分位数

一个是下二分之α分位数

因此这是一个双侧检验

接下来 我们给出单侧检验

检验假设H₀: σ₁²=σ₂²

H₁:σ₁²小于σ₂²

大家也可以写成

H₀: σ₁²>=σ₂²

H₁:σ₁²小于σ₂²

这两种形式的检验

它们的经验法则检验效果是一致的

接下来 我们选择检验统计量

与刚才双侧的一样

我们选择的检验统计量依然是

两样本方差的比值

下面来构造它的拒绝域

大家看H₁

在H₁中

σ₁²小于σ₂²

S₁², S₂²作为它们的估计量

当H₁为真时

S₁²/ S₂²

这个比值往往有偏小的趋势

因此当检验统计量的值偏小时

我们就拒绝原假设H₀

所以H₀的拒绝域在左侧

这是一个左侧检验

大家看图

落在点Fα(n₁-1，n₂-1)

左侧区域的面积是α

所以H₀的拒绝域

可以写成这个样子

0小于F小于=Fα(n₁-1，n₂-1)

类似的

我们可以得到右侧的检验

H₀: σ₁²=σ₂²

H₁: σ₁²>σ₂²

选择的检验统计量

依然不变

S₁²/ S₂²

大家可以看出来

H₀的拒绝域在哪边呢

当S₁²/ S₂²

有偏大的趋势的时候

我们就拒绝原假设H₀

在右侧 称之为右侧检验

从图上来看

落在点F1-α(n₁-1，n₂-1)

右侧的面积是α

所以H₀的拒绝域可以写成

F>=F1-α(n₁-1，n₂-1)

以上讲的左侧右侧检验

我们统一称为单侧检验

接下来我们来看一个相关的例题

在漂白工艺当中

温度会对针织品的断裂强力有影响

假定断裂强力

服从正态分布

在两种不同的温度下分别进行了8次实验

测得断裂强力的数据如下

单位是千克

70度,80度的数据分别如下

然后 我们假设70度下的

断裂强力X 服从正态分布

N(μ₁，σ₁²）

80度下的断裂强力Y服从正态分布

N(μ₂，σ₂²）

要我们判断的是这两种温度下的

断裂强力的方差有没有明显的差异

显著性水平α=0.05

这个问题就转化成了判断

σ₁²,σ₂²这两个总体的方差

是有差别还是没有差别

我们的原假设取成没有差别

第一步提出假设

H₀: σ₁²=σ₂²

备择假设

H₁: σ₁²≠σ₂²

这是一个双侧检验

我们选择的检验统计量

S₁²/S₂²

在H₀成立的条件下

它是服从自由度为

(n₁-1，n₂-1)的F分布

它的拒绝域有两个临界值

0小于F小于=下二分之α分位数

或者

F>=上二分之α分位数时

我们均拒绝原假设H₀

那下面的问题

我们只要代入数据做出判断就可以了

取α=0.05

n₁=8，n₂=8

我们需要查出两个临界值

一个是

F 1减二分之α(n₁-1，n₂-1)

也就是F 0.975（7，7）

这个值是4.99

另外一个是f二分的α

F 二分之α(n₁-1，n₂-1)

那就是F 0.025（7，7）

关于F 0.025（7，7）

它怎么得到呢

它就等于F 0.975（7，7）分之一

两个自由度交换位置

结果等于4.99分之一

因此它的拒绝域

我们就写成

0小于F小于=4.99分之一

或者 F>=4.99

从这儿可以看出

如果统计量的值过分的小或者过分的大

我们就拒绝 好最后一步做出判断

由样本值可以求出来

XBar ,YBar S₁²,S₂²

我们可以得到检验统计量F 的值

S₁²/S₂²

它这个值等于1.07

这个取值显然落在了两个临界值之间

也就是落在了接受域

因此我们就接受原假设

就意味着可以认为两种温度下

断裂强力的方差是没有明显差异的

此时可以认为

σ₁²=σ₂²

两总体的方差相等

但是都未知

满足了方差齐性

大家可以进一步的判断总体均值的情况

这与两总体均值相等的检验是类似的

这里不再详细说明

本节介绍了两独立正态总体

方差相等的检验

采用的方法是F检验法

分别对双侧和单侧讨论了它们的拒绝域

好 两独立正态总体参数的检验

就介绍到这里

谢谢大家