3.3.3 二维均匀分布与二维正态分布在线视频

大家好

今天我们学习3.3节的第三个模块

通过前面的学习

我们已经掌握了研究二维连续型

随机向量的基本知识和基本方法

在此基础上

我们研究两种特殊的连续型分布

二维均匀分布与二维正态分布

这两个分布我们学习的要求不一样

对于二维均匀分布

我们要求必须掌握

对于二维正态分布呢

我们要求做到一个基本的了解

首先我们来看二维均匀分布的定义

假设D是一平面有界区域

它的面积我们记为σ(D)

那么D呢,如图所示

那么这里这个区域D呢

可以是一个不规则的区域

但是呢，它必须是有界的

也就是说其面积要求是一个

有限数

那么如果随机向量(X,Y)的概率密度函数

f(x,y)如下函数形式给出

那我们就称随机向量(X,Y)

在区域D上服从均匀分布

那么均匀分布的密度

这里边呢还是比较特殊的

特殊在哪儿呢

(x,y)属于D的时候

密度函数的函数值必须是一个常数

而且这个常数是面积的倒数

为什么这个常数必须是面积的倒数呢

我们知道啊

密度函数f(x,y)它代表的曲面和

xoy平面之间所夹的体积,应该

等于 1

而在我们均匀分布这里呢

这块体积正好是一块圆柱体的体积

圆柱的高度是

面积的倒数，只有是

面积倒数的时候呢

才能保证这块体积等于 1

这也就是我们这个密度函数

里边常数一定是

面积的倒数

那么下面呢我们来看均匀分布的一个性质

对均匀分布做进一步的认识

如果A是D的一个子区域

也就是说A区域含在D内

那我们用σ(A)呢

表示A区域的面积

那么我们就有随机点(X,Y)

落在A区域内的概率

可以用A的面积除以D的面积来计算

那么下面我们来分析一下这个

结论的这个正确性

随机点落在A里的概率

那么它应该等于区域A上方和曲面f(x,y)

它们之间的体积，那么直接可以转换成

对f(x,y)在区A上做二重积分

而我们知道f(x,y)在区域A上

是常数σ(D)分之一

那我们做一个进一步的简单计算

就得到了我们的结果

随机点落在A内的概率，应该等于

A的面积除以D的面积

那么通过这个性质呢

我们可以这样来理解和认识均匀分布

随机点落在D内任意一点附近的概率相同

而与点的位置无关

那么这也就提示我们什么呢

如果我们在实际生活中遇到的随机向量(X,Y)

满足了这样的一个特点的话

符合了这个特点

那我们其实就可以认为我们遇到的

随机向量服从二维均匀分布

好了

那么下面我们来看一个

二维均匀分布的例题

给定平面区域D如图

那么D呢这里是一个三角形区域

假设(X,Y)在D上是二维均匀分布

让我们写出(X,Y)的

联合密度函数f(x,y)

那么我们知道呀

均匀分布的联合密度需要

需要知道它的面积才可以写出来

区域D的面积

才可以写出来

那么我们先去准备区域D的面积

那么D区域呢，是个三角形

面积应该等于底乘高除以2

那我们可以得到是二分之一

那么这样的话

我们就写出了均匀分布的密度函数

注意一下这里边这个地方应该是面积的

倒数

好吧

那么另外在定义域这个地方呢

我们也可以换一种写法

把这个定义域这个地方写的更详细

也是没有问题的

那么这是我们的均匀分布

那么接下来我们看第二种

连续型的随机向量

二维正态分布

那我们可以通过几方面去认识它

首先我们看看它的定义

如果(X,Y)的密度函数f(x,y)

如下函数形式给出

那我们就称(X,Y)服从二维正态分布

一般给它这样的一个记号

(X,Y)服从

N(μ1,μ2,σ1²,σ2²,ρ)

那么这里的μ1,μ2,σ1²

σ2²,ρ呢应该是五个参数

其中参数μ1和μ2

在取值上没有什么特殊的要求

可以取正,负

也可以取 0

但是对于σ1和σ2呢

要求必须大于 0

ρ一定要在 -1 到 1 之间

那么当然我们看这个密度函数

是比较复杂的

但是呢，我们也不要被这个

密度函数给吓到

它再复杂也是一个什么呢

二元函数，是一个二元函数

那么接下来我们看看这个二元函数

它的这个图形大概是一个什么样子

下面我绘出的是在取定

一组参数的情况下

f(x,y)的图形

那我们看这应该是一个空间中的

山形状的一个曲面

还是比较光滑的

看起来还是比较漂亮的一个图形

那么这个曲面下方呢

和xoy平面之间的体积

我们知道理论上应该等于 1

这是它的这个图形

那么我们再看

二维正态分布

它的边际分布应该为一维正态分布

什么意思呢

也就是说

我由联合密度函数去求出

(X,Y)的边际分布

边际密度函数

那我们发现,正好X和Y

都服从的是一维正态分布

X是N(μ1,σ1²)

Y呢是服从N(μ2,σ2²)

好，这是这个第二

那么我们看下一个

边际分布与ρ无关

也就是与我们二维正态中的

最后一个参数ρ无关

这个比较明显

我们从上面的 X,Y 的边际密度

表达式中就可以发现啊

它们中并没有出现ρ

所以说边际分布显然与ρ

是无关的

那这意味着什么呢

这说明,由边际分布

一般来讲不能确定联合分布

那么你比如说

我这里(X1,Y1)是一个

二维正态，ρ的参数呢,取0.4

(X2,Y2)服从二维正态，ρ参数呢

我取0.9

那么(X1,Y1)和

(X2,Y2)它们的联合分布是

不同的

因为这里有个参数ρ是不一样的

但是根据二我们知道它们的

边际分布却是相同的

那这也就意味着什么呢

即使边际分布相同

我们能不能反推出来

它们的联合分布一样呢

当然是推不出来的

那么这个呢，是出现在我们

二维正态分布的一个结果

边际分布不能确定联合分布

其实这个结论对我们一般的分布

一般的二维分布也是适用的

好吧

这是我们关于二维正态我们需要了解的点

在本知识模块中

我们学习了二维均匀分布和二维正态分布

对于均匀分布

我们要特别注意其密度函数的形式

而对二维正态分布

我们了解其记号以及其边际密度

都是一维正态分布就可以了

好了

对本知识模块的学习就到这里

再见