8.2.4 两独立正态总体均值相等的假设检验在线视频

大家好

这一讲我们开始介绍两独立

正态总体参数的假设检验

第一部分 两独立正态总体均值的假设检验

假设X₁，X₂到Xn₁

为来自正态总体N(μ₁，σ₁²）的

样本

Y₁，Y₂到Yn₂为来自

正态总体N(μ₂，σ₂²）的样本

两样本相互独立

并且假设Xbar，Ybar，S₁²，S₂²

分别为两样本的

样本均值和样本方差

显著性水平为α

考虑假设检验问题

H₀：μ₁=μ₂

与之对应的对立假设分为三个情况

H₁：μ₁≠μ₂

H₁：μ₁小于μ₂

H₁：μ₁>μ₂

对总体的均值做检验

与单个正态总体均值的检验也是类似的

我们需要考虑总体的方差是否已知

第一种情况

如果两个总体的方差均已知

我们检验假设

H₀：μ₁=μ₂

H₁：μ₁≠μ₂

由于是对两正态总体均值做检验

那么我们自然就会考虑

两正态总体的样本均值

Xbar，Ybar

由于两个总体的样本均值相互独立

并且 Xbar减Ybar

服从正态分布

第一个参数是

Xbar减Ybar的期望

μ₁-μ₂

第二个参数是

Xbar减Ybar的方差

n₁分子σ₁²

加上n₂分之σ₂²

接下来 我们对Xbar减Ybar

这个变量进行标准化

得到随机变量

Xbar减Ybar

这个整体减它的数学期望

μ₁-μ₂

比上

根号下 n₁分之σ₁²

加上

n₂分之σ₂²

这个整体得到的变量

它服从标准正态分布

因此

我们选择检验统计量

Xbar减Ybar

比上 根号下n₁分之σ₁²

加上 n₂分之σ₂²

我们把它记为U

在原假设

H₀：μ₁=μ₂成立的条件下

它服从标准正态分布

而对于标准正态分布来讲

它的密度图形是关于Y轴对称的

因此我们考察的分位数点也是对称的

分位数点

与单个的类似，对于给定的显著性水平

考察标准正态分布的

u 1减2分之α分位数以及它的对称点

负的 u 1减2分之α

那么落在这两个点

左右两侧的面积分别都是

2分之α

从而

|U|大于等于u 1减2分之α的概率

就是两边的面积之和

α

这是一个小概率事件

因此

H₀的拒绝域 就是统计量的观测值

我们记为u

那么|u| 它满足大于等于

u 1减2分之α

大家从这里可以看到，这个原假设

H₀的拒绝域依然有两个临界值

因此我们称之为双侧检验

接下来 我们介绍单侧检验

第一种情况

原假设H₀：μ₁=μ₂

备择假设H₁：μ₁小于μ₂

我们选择的检验统计量

依然是

Xbar减Ybar 比上

根号下 n₁分之σ₁²

加上n₂分之σ₂²

下面 我们来看它的拒绝域

由H₁中大家可以看到

μ₁小于μ₂

那么作为μ₁和μ₂的估计量

Xbar，Ybar

如果 Xbar减Ybar

它的值偏小

那么我们就拒绝原假设H₀

因此

H₀的拒绝域在左侧

这是一个左侧检验

我们可以参考图形，得到结论

负u 1-α 落在这个点

左侧区域的面积是α

因此它的拒绝域是u小于等于负的

u 1-α

类似的道理 我们也可以得到右侧检验

检验假设H₀：μ₁=μ₂

H₁：μ₁>μ₂

需要说明的是

大家也可以把这个假设写成

H₀：μ₁小于=μ₂

H₁：μ₁>μ₂

这两种形式对应的检验法则

检验效果都是一致的

我们选择的检验统计量仍然是

Xbar减Ybar

比上 根号下n₁分之σ₁²

加上n₂分之σ₂²

在这里需要考虑的是它的拒绝域的形式

大家看 在H₁中 μ₁>μ₂

因此

作为它们的观测值

当H₁为真时

Xbar往往大于Ybar

因此H₁为真时

Xbar减Ybar

这个值往往是偏大的

如果Xbar减Ybar的值偏大

我们就拒绝原假H₀

从而H₀的拒绝域在右侧

这是一个右侧检验

大家可以参考图形

点u 1-α

那么落在这个点右侧区域的面积是α

因此它的拒绝域我们可以写成

u>=u 1-α

上面讲的左侧检验和右侧检验

统一称为单侧检验

这是两个总体方差已知的情况

接下来

考虑第二种情况

若总体的方差均未知

这个时候 我们要满足一个条件

两总体的方差是要相等的

并且 都等于未知的参数σ²

我们称之为具有方差齐性

检验假设H₀：μ₁=μ₂

H₁：μ₁≠μ₂

由于总体的方差是未知的

我们选择用样本方差去替换总体的方差

得到了检验统计量为

T等于 Xbar减Ybar 比上

Sw乘以根号下n₁分之1

加上n₂分之1

其中Sw等于根号下n₁

加上n₂-2

分之

(n₁-1)S₁²+(n₂-1)S₂²

在原假设H₀成立的条件下

检验统计量是服从自由度为

n₁+n₂-2的t分布

从这里我们可以更进一步的解释一下Sw

Sw等于

自由度n₁+n₂-2

分之

(n₁-1)S₁²+(n₂-1)S₂²

此时的条件是两总体的方差相等

并且 都等于σ²

大家可以验证Sw²

它依然为总体方差

σ²的无偏估计量

而且是比较有效的无偏估计量

好，有了统计量以及它的分布之后

接下来 我们就构造小概率事件

对于给定的显著性水平

t分布的密度图形是关于y轴对称的

那么我们考察

自由度为n₁+n₂-2的

t分布的上2分之α分位数

以及它的对称点

那么落在这两个点

左右两侧的面积分别都是2分之α

因此

统计量T的绝对值大于等于

自由度为n₁+n₂-2的

上2分之α分位数的概率，

就是两边的面积之和α

从这里可以看出

这是一个小概率事件

因此H₀的拒绝域就写成了

统计量的取值

我们记为t，t的绝对值大于等于

t 1减2分之α

n₁+n₂-2

从这里可以看到

H₀的拒绝域

它依然有两个临界值

我们称之为双侧检验

接下来我们就给出单侧检验

检验假设H₀：μ₁=μ₂

H₁：μ₁小于μ₂

我们选择的检验统计量依然是T

Xbar减Ybar 比上 Sw

乘以根号下n₁分之1

加上n₂分之1，Sw等于根号下

n₁+n₂-2 分之

(n₁-1)S₁²+(n₂-1)S₂²

接下来我们要给出H₀的拒绝域

大家把H₀可以写成

μ₁>=μ₂

H₁：μ₁小于μ₂

那么这两种形式对应的检验法则

检验效果也是一致的

接下来我们要说的是 大家看H₁

在H₁中μ₁小于μ₂

那么作为它们两个的统计量

Xbar，Ybar

当H₁为真时

Xbar往往是小于Ybar的

也就是说

当H₁为真时

Xbar减Ybar

这个值往往是偏小的

这就意味着

如果Xbar减Ybar的值偏小

那么我们就拒绝原假设H₀

因此H₀的拒绝域在左侧

这是一个左侧检验

与单个的类似

我们可以写出来统计量t的值

它是小于等于负的t 1-α(n₁+n₂-2）

同样的

大家可以得到右侧检验

给出假设

H₀：μ₁=μ₂

H₁：μ₁>μ₂

我们选择的检验统计量依然不变

T等于Xbar减Ybar

除以Sw

乘以根号下n₁分之1加上n₂分之1

其中Sw等于根号下

n₁+n₂-2 分之

(n₁-1)S₁²+(n₂-1)S₂²

此时大家可以猜测一下

H₀的拒绝域在哪端呢

如果它的观测值 Xbar减Ybar的值

偏大的话

我们就拒绝原假设H₀

它的拒绝域在右侧

所以称之为右侧检验

接下来写出它的拒绝域

满足统计量的取值

t>=t 1-α(n₁+n₂-2）

好，左侧和右侧合在一块儿

我们统一的称为单侧检验

在实际应用当中

总体方差未知的情况是更常见的

接下来我们看道相关的例题

在甲乙两厂生产的蓄电池中

分别取五个测得电容量如下

设甲乙两厂生产的蓄电池的电容量分别为

随机变量，x服从正态分布

N（μ₁，σ²）

Y服从正态分布

N（μ₂，σ²）

σ²未知，问两厂生产的蓄电池的

平均电容量有无显著差异

α=0.05

这个问题转化成判断

μ₁与μ₂

是有差别还是没有差别

因此

原假设取成没有差别

即第一步提出假设

H₀：μ₁=μ₂，

H₁：μ₁≠μ₂

由于对总体的均值做检验

我们要考察

总体的方差 它是未知的

但是相等

因此

我们选择的检验统计量是T

等于 Xbar减Ybar

比上Sw 乘以根号下n₁分之1

加上n₂分之1

它是服从自由度为

n₁+n₂-2的t分布

这是一个双侧检验，它的拒绝域是

|t|大于等于t分布的

上2分之α分位数

接下来我们代入数据

α=0.05

n₁=5，n₂=5

因此我们要求的临界值就是

t 1减2分之α

n₁+n₂-2

也就是t₀.₉₇₅（8）

查表得到它的值等于2.306

因此

H₀的拒绝域可以写成

|t|>=2.306

接下来 我们代入具体的数据来做判断

由实测数据可以求得

Xbar,Ybar，S₁²，S₂²

我们可以求出 Sw²

等于自由度分之

(n₁-1)S₁²+(n₂-1)S₂²

结果 3.75

然后把上述数据代入检验统计量

得出来检验统计量的值

Xbar减Ybar

比上根号下

Sw乘以n₁分之1

加上n₂分之1等于-0.6532

显然

检验统计量的值

它是满足绝对值小于2.306

检验统计量的值位于接受域之内

从而我们接受原假设H₀

就认为两厂的蓄电池平均电容量

无显著差异

下面我们总结一下这一讲的内容

这讲分为两种情况

第一种 两总体方差已知时

我们采用U检验法

第二种

两总体方差未知时

但满足方差相等

我们采用的是

两精确t检验法

也分别讨论了双侧和单侧两种情况

好，这一讲的内容就到此结束

谢谢大家