2.3.1 定义与基本概念在线视频

大家好

今天我们来讲第二章第三节

连续型随机变量

这类随机变量的取值常常充满了某个区间

本节引入一种比分布函数

更直观的描述方式

分布密度，这一节包含了连续型随机变量的

基本概念和常见的连续型随机变量

两部分内容

下面我们来讲第一部分内容

连续型随机变量的基本概念，设随机变量

𝑋的分布函数为大𝐹(𝑥)

若存在非负的函数小𝑓(𝑥)使得对于

任意的实数𝑥都有𝐹(𝑥)等于

𝑓(𝑡)

从负无穷到𝑥的积分

我们注意一下这个积分

左边分布函数的变量𝑥

恰好为右边积分的上限

这是一个变上限积分

好

只要大𝐹(𝑥)与小𝑓(𝑥)

满足这样的一个积分关系

那么我们就称𝑋为连续型随机变量

其中小𝑓(𝑥)称为𝑋的概率密度函数

简称为概率密度或分布密度

由于定义中的积分是变上限积分

由变上限积分的性质可知

大𝐹(𝑥)是连续的

即连续型随机变量的分布函数

一定是一个连续的函数

这与离散型随机变量不同

离散型随机变量的分布函数是不连续的

第二

若小𝑓(𝑥)在点𝑥处连续

则大𝐹(𝑥)可导

而且

小𝑓(𝑥)就等于大𝐹(𝑥)的导数

也就是，概率密度在连续点

可用分布函数求导来确定

这样，对于连续型随机变量的分布函数

和概率密度可以相互确定

如果已知概率密度，可以求分布函数

分布函数就等于概率密度从

负无穷到𝑥的积分

若已知分布函数在概率密度的连续点

由分布函数求导，来确定概率密度

分布函数与概率密度的相互确定

实质上就是数学上的积分与求导运算

由定义，概率密度一定满足两条基本性质

性质1

概率密度一定是大于等于0的

也就是概率密度一定是非负的

这一条在定义中有明确的要求，性质2

概率密度从负无穷到正无穷的积分

这个概率密度的积分的上限为正无穷

由分布函数与概率密度的积分关系

可以知道，这个积分就等于分布函数

在正无穷这点的函数值

而𝐹正无穷等于1

因此概率密度从负无穷到

正无穷的积分一定是1

任意概率密度都满足上述两条基本性质

反之，满足这两条性质的函数

都可以作为某连续型随机变量的概率密度

从负无穷到正无穷

概率密度积分等于1

这个式子，它的几何意义表示的

就是概率密度曲线

与𝑥轴围成的面积一定是1

好，下面我们来看概率密度在

计算概率上的应用

首先我们来看大𝑋大于𝑎

小于等于𝑏的概率

这个概率可以用分布函数在

两端点的函数差来表示

表示为𝐹(𝑏)减𝐹(𝑎)

而𝐹(𝑏)和𝐹(𝑎)都可以表示为

概率密度的积分，𝑏和𝑎为

积分的上限

等于概率密度负无穷

到𝑏的积分，减去概率密度

从负无穷到𝑎的积分

这两个积分差就等于

积分区间的差等于概率密度

从𝑎到𝑏的积分

这个概率的几何意义

它就为图中阴影的面积

𝑎，𝑏之间概率密度曲线

和𝑥轴围成的面积

由于连续型随机变量的分布函数是连续的

因此

大𝑋大于等于𝑎小于𝑏的概率

大𝑋大于等于𝑎小于等于𝑏的

概率，和大𝑋大于𝑎小于𝑏的

概率，与区间的开闭无关

都等于𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎)

也就是等于概率密度

从𝑎到𝑏的积分

以上讨论说明，连续型随机变量取值的概率

就等于概率密度的积分

而且随机变量𝑋在

某区区间内取值的概率就等于概率密度

在该区间内的积分

而且不必关注区间的开闭

一般的表示为随机变量𝑋在

𝐷内取值的概率就等于概率密度在

𝐷内的积分

例如大𝑋小于等于𝑎的概率和

大𝑋小于𝑎的概率相等

可用分布函数表示为𝐹(𝑎)

也可以用概率密度积分

由于随机变量取值范围为负无穷到𝑎

这两个概率都等于概率密度

从负无穷到𝑎上的积分

类似的，大𝑋大于等于𝑎和

大𝑋大于𝑎的概率相等

等于1−𝐹(𝑎)，等于概率密度在

𝑎到正无穷上的积分

由于积分的几何意义，图形中𝑎点左边

概率密度与𝑥轴围成的面积

表示为大𝑋小于等于𝑎的概率

𝑎点右边的面积，则为大𝑋大于

𝑎的概率

或者是一减大𝑋小于等于𝑎的概率

下面我们来看单点取值的概率

由于分布函数的连续性

很显然𝑋等于𝑎的概率就等于

𝐹(𝑎)减𝐹在𝑎点的左极限

一定等于0

也就是，任意取单点的概率都等于0

而我们又知道，任意一点的

概率密度不一定等于0

也就是𝑋等于𝑎的概率不等于𝐹(𝑎)

不等于概率密度在𝑎点的函数值

也就是概率密度不是概率

由上面的讨论可知

连续型随机变量与离散型不同

任一单点的概率为0

所以关注连续型随机变量单点取值的概率

毫无意义

对于连续型随机变量

我们常讨论的是某区间内取值的概率

如果概率密度函数小𝑓(𝑥)

在点𝑥处连续

当Δ𝑥充分小时，考虑大𝑋大于𝑥

小于等于𝑥加Δ𝑥的概率

由于Δ𝑥充分小

这个取值范围会收缩到点𝑥附近

这个概率可以几何的解释为随机变量在

𝑥附近取值的概率

这个概率就等于概率密度从𝑥

到𝑥加Δ𝑥的积分

这个积分可以用概率密度函数

乘以Δ𝑥来近似

由这个式子可以知道

如果概率密度𝑓(𝑥)值要很大

左边的概率就会很大

那就说明概率密度函数值在一定程度上

就反映了随机变量𝑋在

𝑥点附近取值概率的大小

因此

概率密度和分布函数一样

都完整的刻画了随机变量取值的

统计规律性

而且

概率密度更直观

因为概率密度积分可以用来计算概率

而在数学积分里边

对于单点积分毫无意义

所以

可以改变概率密度有限个

或可列个点上的值

不影响概率计算

也就是不影响对随机变量取值

统计规律性的刻画

因此

概率密度可以不唯一

例如

随机变量𝑋的概率密度如下的形式

在𝑥大于等于𝑎，小于等于𝑏时

为g(𝑥)，其它为零

由于可以改变概率密度有限个

或可列个点上的值

这个概率密度也常写为

𝑥大于𝑎，小于𝑏时为g(𝑥)

其它为零

也就是区间的端点的等号

给到哪一端都可以

那么当𝑥在区间(𝑎,𝑏)外

概率密度为0

随机变量在区间(𝑎,𝑏)外的

取值的概率

就等于概率密度在这个区间外的积分

这个区间外密度函数为0

这个积分就等于0

说明随机变量只在区间ab上取值

因此，常常说随机变量𝑋的

取值范围就是

区间(𝑎,𝑏)

不必关注区间的开闭

下面呢，我们来看一个例题

设连续型随机变量𝑋的分布函数

为如下的形式，是分段的函数

有未知常数𝐴

第一个问题

求常数𝐴

第二个问题

求𝑋的概率密度函数小𝑓(𝑥)

由于连续型随机变量𝑋的分布函数

是连续函数这一特点，我们考虑

分布函数在一点一定是左连续的

这样我们就建立了分布函数

在一这一点的左极限值等于

𝐹(1)这个等式

而分布函数在一点的左极限

就等于𝐴𝑥²在一点的左极限

这个左极限等于𝐴，又由于𝐹(1)等于1

因此我们得到，常数𝐴等于1

下面我们来看下一个问题

由分布函数求概率密度

因为在𝑥大于0小于1这个区间

分布函数的导数存在

而且连续，等于2𝑥

在𝑥小于0大于1时

分布函数的导数也存在

而且连续，就是0和1的导数

就等于0

由于概率密度在连续点处

等于分布函数的导数

而且可以改变概率密度

有限个或可列个点的值

因此概率密度可以写成在0，1开区间内

为2𝑥，其它为0的形式

也可以写成在0，1的闭区间内

为2𝑥，其它为零的形式

这个例题说明，在用分布函数求导

来确定概率密度时

不必关注分布函数的分段点

下面我们来看另一个例题

设随机变量𝑋具有概率密度

为如下的形式

概率密度为分段函数

值在0到1和1到2之间

为非零的表达式

这个问题一共有三个小问题

第1问

确定常数𝑘，第2问，求𝑋的分布函数

第3问，求𝑋大于1

小于等于7/2的概率

首先我们来看第1问

由于概率密度从负无穷到

正无穷的积分等于1

我们通过它，可以建立关于常数𝑘的

一个等式，来确定常数𝑘

而这个积分

有效的非零积分值在0到

1和1到2两段上

写成0到1，𝑘𝑥关于𝑥积分加上

1到2，2−𝑥关于𝑥积分等于1

利用原函数带入上下限

进一步化简，求得常数𝑘等于1

好，接下来我们来看第2问，已知概率密度

求𝑋的分布函数

已知概率密度，分布函数可以由概率密度从

负无穷到𝑥的积分来确定

由于被积函数概率密度是分段函数

所以这个积分需要对𝑥分情况讨论

当𝑥小于0时

负无穷到𝑥之间概率密度等于0

也就是𝑓(𝑡)等于0

所以分布函数等于负无穷

到𝑥之间是关于0积分

那么最终的积分结果等于0

当𝑥大于等于0

小于等于1时

这个积分分成两段

积分和的形式就是等于

负无穷到0，被积函数是0的积分

加上从0到𝑥这个区间段内

被积函数是𝑡的这样的一个积分

这两段积分和的形式，通过原函数积分

等于二分之𝑥方

第三种情况

当𝑥大于1，小于2的时候

这个积分可以写成两段非零的有效的积分

一段是从0到1

被积函数是𝑡的这个积分

一段是关于2−𝑡的这样

一个积分，从哪儿积呢

从1到𝑥积分

这两段积分再按照原函数积分法，等于

负的二分之𝑥方加2𝑥减1

第四种情况

当𝑥大于等于2时，这个分布函数的

积分，有效的非零的积分就等于概率密度

从0到1的积分加上

从1到2的这两段积分和的形式

这两段积分和相当于概率密度

从负无穷到正无穷的一个有效积分

一定等于1

这样我们就利用概率密度分四种情况

我们求得分布函数

在这里边我们注意一下

因为连续型随机变量的分布函数是连续的

所以在这个例题中我们分区间讨论时

不必严格按左闭右开的区间来讨论

等号给到哪一端都可以

而离散型随机变量由分布列求分布函数时

一定按左闭右开的形式

因为离散型随机变量的分布函数

只满足右连续性

好，下面我们来看第3个小问

来计算𝑋大于1

小于等于7/2的概率

概率密度和分布函数都能刻画随机变量

取值的统计规律性，也就是

都能表示随机变量取值的概率

因此大𝑋大于1

小于等于7/2的概率

既可用分布函数来表示

也可由概率密度积分来计算

用分布函数来表示为两端点的函数差

等于𝐹(7/2)−𝐹(1)

带入分布函数的表达式中

𝐹二分之七等于1，𝐹(1)等于二分之一

等于一减二分之一

结果等于二分之一

由概率密度积分，就等于概率密度从1到

二分之七间的这样一个积分

而概率密度

值在1到二之七间非零

有效的非零积分

就等于一到2上2−𝑥

关于𝑥积分，通过原函数

带入积分上下限

殊途同归

最后的结果也等于二分之一

这一节我们主要讲了连续型随机变量的

概率分布密度的定义和性质

概率分布密度的定义和性质

用密度函数的积分，计算随机事件的概率

连续型随机变量的分布密度与分布函数

都完整地描述了随机变量取值的

统计规律性

两者可以互相确定

并且分布密度函数更加直观

与离散型随机变量不同

连续型随机变量单点取值的概率毫无意义

更多关心的是某个区间内取值的概率

好，今天就到这里

谢谢大家