当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第三章 二维随机向量及其分布 > 第4节 条件分布与随机变量的独立性 > 3.4.1 条件分布
大家好
下面我们进入3.4节，条件分布
与随机变量的独立性的学习
我们分成两个模块
条件分布
变量的独立性
首先我们看的是第一个模块，条件分布
我们在第一章已经学习了事件的条件概率
它主要描述的是在事件A
发生的条件下
事件B发生的概率
对于随机向量(X,Y)来讲
有时候我们需要研究在给定
Y的取值的条件下
X的分布
我们称其为X的条件分布
例如在身高Y小于等于
1.65米的情况下
体重X大于等于60千克的概率
那么可以记成下式
那么我们可以借助条件概率
来研究条件分布
我们分离散型和连续型
两种情况来学习条件分布
首先我们学习离散型情况下的条件分布
给定(X,Y)的分布列
那么对于给定的j，当然这j
对应的是随机变量 Y
如果Y取yj的概率大于0
那我们就称
Y取yj的条件下
X取x1，X取x2
等等所形成的分布列为
随机变量X关于Y=yj的
条件分布列
那么一般我们给它这样的一个记号
Pi∣j
那么怎么计算呢
这个分布列
那么我们说这里边实际上就是
条件概率的计算
那我们用一下条件概率的
公式
去做计算就可以了
那么一般来讲呀
我们把条件分布列用表格的形式
表现呢，会更看起来更明晰
那么我们可以用表格的形式来表现它
那么在这个表格中呢
我们第一行去写随机变量
X的取值
那么下一行我们去写X关于
Y=y1的条件分布列
接着
X关于Y=y2的条件分布列等等
那这样的话这个表格就包含了
X关于Y=y1
Y=y2等等
X的条件分布列
那么条件分布列呢
显然满足分布列的两个基本性质
概率值要大于等于0
概率值的和应该等于1
那么类似的我们可以去定义
Y关于X的条件分布列
即对给定的i
如果X=xi的概率大于0
那我们就称在X=xi的
条件下，Y=y1
Y=y2,等等所构成的分布列
为Y关于X=xi的
条件分布列
那对于这个分布列呢
我们也可以把它放在表格中去表现
那么在这个表格中呢
第一行我们写Y的取值
下一行我们写Y关于
X=x1的条件分布列
接着下一行
我们写的是Y关于X=x2的
条件分布列，依次写出来就可以了
那么这个表格就是放的
Y关于X的条件分布类
那么下面我们来看看，关于离散型
情况下条件分布的例题
给定(X,Y)的联合分布列如右表
让我们来求(X,Y)的条件分布列
那首先呢，我们来看X关于Y的
条件分布列
也就是说在Y取Y的一个值的条件下
去计算X取x1
X取x2的概率
那么在这个表格中呢
我们第一行写的是X的取值2和9
那么这一行我们去写X关于
Y=y1的条件分布列
那这个数据怎么算呢
我们可以由
联合分布列中的这一行来计算
我们用0.4除以0.6
0.2除以0.6
计算得到
那么这一行呢我们写的是X关于
Y=y2的条件分布列
那么它的计算呢可以由
联合分布列中的这一行来完成
用0.1除以0.4以及0.3除以
0.4计算得到
这是X关于Y的
条件分布列的计算
那么下面我们看Y关于X的
条件分布列
也就是在X取X的一个值的条件下
去计算Y取y1
Y取y2的概率
我们第一行去写Y的两个取值3和5
那么接下来这一行呢
我们添的是Y关于X=x1的
条件分布列，怎么计算呢
这个数据，那我们可以由联合分布列
中的这一列数据来完成
我们用0.4除以0.5
0.1除以0.5来计算得到
那么下一行
我们写Y关于X等于x2的
条件分布列
那么它的计算我们可以用联合分布列
中的这一列来计算
我们用0.2
除以0.5，0.3除以0.5
这就是我们计算得到的
(X,Y)的两个条件分布列
这是我们离散型情况下的条件分布问题
那么接下来我们看连续性情况下的
条件分布
假设(X,Y)是二维连续型随机向量
它们的联合密度f(x,y)
X和Y的边际密度是fx以及fy
那么对于一个固定的y
y的密度函数呢，在y处的值是大于0
那我们就称
联合密度函数除以y的密度函数
在y的值，这样一个结果为
随机变量X关于 Y=y 的条件下的
分布密度
一般赋予它这样的一个记号
那么类似的，对于固定的X
X的密度函数在x的值大于0
那我们就称
联合密度函数除以X的密度函数在
x的值是这样一个表达式
为Y关于X=x的条件分布密度
那么这呢我们是直接给出了
条件分布密度的定义
那么接下来我们来看一个关于
条件分布密度的例题
假设(X,Y)在单位圆域内
服从均匀分布
求两个条件分布密度函数
那我们知道呢
这个条件分布密度呢，可以由联合密度
以及边际密度做除法计算得到
所以我们这里需要去准备这样的
三个函数
首先
由于(X,Y)在区域D内是均匀分布
那我们按照均匀分布密度函数的特点
把它写出来如下式
注意这里，1/π 这个地方应该
是区域D的什么呢
面积的倒数
下面接着
我们在已知联合密度的情况下呀
我们用一下求边际密度函数的这个公式
经过计算呢
可以得到x和y各自的边际密度
好了
如果有了这三个函数的话
那我们由条件分布密度的定义
就可以去计算条件分布密度了
首先我们看
x关于y的条件分布密度
是用联合密度函数除以
Y的密度函数在y的值
那么这里我们要注意一下
分母是不能等于零的
那么我们观察一下Y的密度函数
也就是需要对谁考虑呢
只对
∣y∣≤1 的 y 进行考虑
那么经过计算
条件分布密度可以得到下式
这是 X 关于 Y 的
那么我们类似的办法可以
去计算得到 Y 关于 X 的
这是我们这样一个题目
在本知识模块中
我们学习了离散型和连续型随机变量的
条件分布
掌握了条件分布列和条件分布
密度的计算方法
好了
对本知识模块的学习就到这里
再见
-第1节 随机事件
--1.1 作业
-第2节 概率的定义和性质
--1.2 作业
-第3节 古典概型与几何概型
--1.3 作业
-第4节 条件概率
--1.4 作业
-第5节 随机事件的独立性
--1.5 作业
-本章测试
--第一章测试
-第1节 随机变量与分布函数
--2.1 作业
-第2节 离散型随机变量
--2.2 作业
-第3节 连续型随机变量
--2.3 作业
-第4节 随机变量函数的分布
--2.4 作业
-本章测试
--第二章测试
-第1节 二维随机向量及其分布函数
--3.1 作业
-第2节 二维离散型随机向量
--3.2 作业
-第3节 二维连续型随机向量
--3.3 作业
-第4节 条件分布与随机变量的独立性
--3.4 作业
-第5节 随机向量函数的分布
--3.5 作业
-本章测试
--第三章测试
-第1节 数学期望
--4.1 作业
-第2节 方差
--4.2 作业
-第3节 协方差和相关系数
--4.3 作业
-第4节 矩和协方差矩阵
-本章测试
--第四章测试
-第1节 大数定律
--5.1 作业
-第2节 中心极限定理
--5.2.2 De Moivre-Laplace 中心极限定理
--5.2 作业
-本章测试
--第五章测试
-第1节 数理统计的基本问题
-第2节 总体、样本和统计量
--6.2 作业
-第3节 抽样分布
--6.3 抽样分布
--6.3 作业
-第4节 抽样分布定理
--6.4 作业
-本章测试
--第六章测试
-第1节 参数点估计
--7.1 作业
-第2节 区间估计
--7.2 作业
-第3节 非正态总计参数的区间估计
--7.3 作业
-本章测试
--第七章测试
-第1节 假设检验的基本概念
--8.1 作业
-第2节 正态总体参数的假设检验
--8.2 作业
-第3节 非正态总体参数的假设检验
-本章测试
--第八章测试
-期末考试
