1.5.1 两个事件、三个事件及多个事件的独立性在线视频

大家好

在实际问题中总会遇到各种各样的事件

有的联系紧密

有的联系微弱或者没有任何联系

那么在概率论中如何刻画一个事件

发生的条件下对其它事件发生

有什么影响呢

那么最简单的情况就是没有影响

这就是下面所要研究的

事件的独立性的问题

我们来学习第一章第五节，事件的独立性

包括两部分内容

首先，来学习第一部分，事件的独立性

这里我们要介绍两个事件的独立性

还要介绍三个事件以及

多个事件的独立性的问题

我们来举一个例子

盒中有球，三个白的四个红的

现任取两个，每次一个，我们采用不放回和

有放回的两种方式

设A表示

第一次取到白球，B表示

第二次取到白球

我们来求B的概率和A发生的条件下

B发生的条件概率

这显然是一个古典概型的问题

我们来考虑第一种情况，不放回的情况

考虑样本空间当中含有样本点的个数

在七个球当中

任取两个，每次一个，当我们

第一次取球时有七个球

当第二次取球时有六个球

所以样本空间当中含有样本点的

个数是7×6个

考虑事件B，第二次取到白球

那么有可能第一次取到白球，也有可能

第一次取到的是红球

这显然是分类的问题

当第一次取到白球

第二次取到白球时，那么有3×2种方法

而当第一次取到红球

第二次取到白球时，会有4×3种方法

所以B当中含有样本点的个数是3×2

再加上4×3的形式

那么我们由古典概率可以计算

B的概率等于3/7

接下来我们来求A发生的条件下

B发生的条件概率的问题

当第一次取到白球的情况下

我们再来求第二次取到白球的情况

因为第一次取完球之后不放回去

那么，显然我第二次取球时有六个球

其中有两个白球

那我们代入，由古典概率可以计算

A发生的条件下

B发生的条件概率等于1/3

那么

在这个问题当中，显然这里的条件概率

和无条件概率是不相等的

接下来我们再来看有放回的情况

考虑样本空间当中含有样本点的个数

上七个球当中，任取两个，每次一个

有放回的，那么第一次取球有七个球

而第二次取球也是有七个球的

所以样本空间当中含有样本点的个数

是7×7的形式

考虑事件B，第二次取到白球

那么第二次取到白球有可能是

第一次取到白球，也有可能是第一次取到红球

也是分类的问题

由于是有放回的取球

所以我们第一次取到白球时

第二次取到白球，那显然是3×3种

第一次取得红球

而第二次取到白球显然是4×3种

我们利用加法原理可以获得

B当中含有样本点的个数

代入古典概率的计算公式可以计算

B的概率仍然等于3/7

接下来我们来求，A发生的条件下

B发生的条件概率

这个我们仍然可以用缩减样本空间的

方法来进行考虑

当第一次取到白球，取完之后我又放回去了

那么我们第二次取球的时候仍然是

有七个球，而取到的是白球

显然它等于3/7

我们看到

这时条件概率和无条件概率是相等的

也就是说，这时事件A的

发生并不影响事件B发生的概率

这时我们把事件A和B称为是

相互独立的

在这里，A发生的条件下

B发生的条件概率

我们可以用条件概率的公式代进去

可以获得A交B的概率等于

A的概率乘以B的概率

那么我们可以借助于这个关系式

来定义事件A和B相互独立

下面我们来看具体的定义

如果两个事件A与B满足如下的等式

A交B的概率等于A的概率乘以

B的概率

那我们就称A和B是相互独立的

我们简称为A与B是独立的

下面我们来看，当事件相互独立时

有哪些性质

当A的概率大于零时

或者B的概率大于零时

那么A交B的概率等于

A的概率乘以B的概率

我们一定可以推出条件概率和

无条件概率是相等的

也就是，会得到这样的两个结论

并且我们还可以得到在A与B

A的对立事件与B，A与B的对立事件

A的对立事件与B的对立事件

这四对事件当中

如果有一对是独立的

那么另外三对也是相互独立的

这是非常重要的一个性质

我们可以利用这样的性质

去求事件发生的概率

也就是说我们在以后研究事件发生的

概率的时候

那么事件之间的这种相互独立的性质

它有的时候是以一种暗含的形式来给出来的

我们在实际问题当中，去判断事件相互

独立的时候，有两种方法，一种是

直接利用定义式

也就是说A交B的概率

如果等于A的概率乘以B的概率

那么我们就说两个事件是相互独立的

或者是我们可以从直观上去进行判断

也就是根据实际问题当中两个事件的发生与否

是否是相互影响的来进行判断

如果

相互不影响

那么它们就是相互独立的

或者是相互影响比较微弱

我们也可以近似的把它看做是相互独立的

这是两个事件相互独立的问题

那我们来看一下

当两个事件相互独立的时候

它和两个事件互斥之间有什么关系呢

我们说两个事件相互独立

是指两个事件交的概率

等于它们概率的乘积

而两个事件互斥是指这两个

事件的交等于不可能事件

我们说这两者之间是没有什么必然联系的

可以举例子给大家说明

我们来看，在掷骰子的实验当中

如果A表示出现的点数是1、2、3点

B表示的出现的点数是4、5、6点

那这里我们可以看到

A交B的概率是等于零的

因为A交B是不可能事件

所以A、B是互斥的

我们来看它们是不是相互独立的

可以看到，A的概率等于1/2

B的概率也等于1/2

那么A的概率乘以B的概率是等于1/4的

它显然和A交B的概率是

不相等的，这就说明互斥未必是相互

独立的

我们再来看另外一个

有放回的抽球，我们用A表示

第一次取到白球，用B表示

第二次取到白球

那么，这里显然A和B是相互独立的

因为我们的抽球是有放回的

你先抽对后抽是没有影响的

但是，我们这里看一下

A交B表示两次取到的都是白球

那显然第一次取到白球

那我们第二次也有可能是取到白球的

所以A交B

它不一定是不可能事件，这也就是说

A和B不一定是互斥的

那么

相互独立，未必是互斥

所以我们要知道两个事件相互独立

跟互斥之间的关系

好，接下来我们利用事件的独立性来求概率

甲乙两个炮手独立的向一架飞机炮击一次

已知甲击中敌机的概率为0.6

乙击中敌机的概率为0.5

我们求敌机被击中的概率

这仍然是求事件发生的概率的问题

我们首先还是要表示事件

我们分别设A、B、C表示

甲击中和乙击中

C来表示敌机被击中

这样我们来求事件发生的概率

那么，我们可以有两种方法

第一种

我们求C的概率

它显然可以写成A并上B的概率的形式

而A并B的概率

我们利用前面学习的加法定理

我们可以把它写成

P(A)+P(B)-P(AB)

这里我们看，它说甲乙两个炮手是

独立的向一架飞机炮击一次的

所以我们说A和B是相互独立的

也就是说，在这里我们可以用

实际的意义去判断事件的独立性

我们知道A和B是相互独立的

如果A、B相互独立

那么A交B的概率就可以写成

A的概率再乘以B的概率

所以我们C的概率可以写成这样的形式

那我们根据已知的条件

代入数据

A的概率等于0.6，b的概率等于0.5

我们经过计算可以获得

C的概率等于0.8

这是第一种方法

下面我们再来看第二种方法

我们采用对立事件之间的这个关系

来解决这个问题

可以看到，C的概率可以写成

A并B的概率的形式

那么A并B的概率可以写成

1减去A并上B的对立事件的概率

我们由对偶律可以得到，它等于1减去A的

对立事件交B的对立事件的概率

因为A、B是相互独立的，那么A的对立事件

和B的对立事件也是相互独立的

所以这个概率就可以写成1减去A的

对立事件的概率再乘以B的对立事件的

概率的形式

我们代入数据

经过计算，它也等于0.8

那么，这里的第二种方法是一种非常重要的想法

就是利用对立事件来解决问题

那也就是说我们可以得到这样的一个结论

如果A和B是相互独立的

那么A并上B的概率就可以写成

1减去A并B的对立事件的概率

它可以进一步的写成是

1减去A的对立事件的概率再乘以

B的对立事件的概率的形式

这样的话

我们利用事件的独立性可以解决

两个事件交的概率，还可以解决

两个事件并的概率的计算问题

好，这是两个事件的独立性

下面，我们来看三个事件的独立性

设事件A、B、C

如果A、B、C是两两独立的

也就是说A交B的概率等于

A的概率乘以B的概率

B交C的概率等于B的概率乘以C的概率

A交C的概率等于A的概率

乘以C的概率的形式

并且A交B交C的概率等于A的概率乘以

B的概率再乘以C的概率的形式

那么我们就称A、B、C是相互独立的

可以看到

当三个事件相互独立的时候

这三个事件一定是两两独立的

但是反之不一定成立

对于三个事件相互独立

它有如下的性质

如果A、B、C是相互独立的

则下列事件均是相互独立的

也就是我们把A、B、C

这三个事件当中的任意一个

或者是任意两个

或者是这三个都换成对立事件，所得到的

新的事件组，仍然是相互独立的

这也是非常重要的性质

在我们求事件发生的概率的时候

用的是非常多的

好，下面呢，我们举个例子

三人独立地去破译一份密码，已知

各人能译出的概率分别为1/5，1/3

还有1/4

问三人中至少有一人能将

密码译出的概率是多少

对于这样的一个问题

我们首先来表示事件

我们设

A表示第一个人能译出

B表示第二个人能译出

C表示第三个人能够译出

则所求的事件就可以表示成

A并上B再并上C的形式

那我们来求A∪B∪C的概率

我们可以用什么呢

可以用前面学习的加法定理

但是如果用加法定理来解决问题的时候

大家看到这个A交B，A交C

还有B交C

A交B交C

这些事件发生的概率

我们是都不知道

而且也很难求出来

所以呢

我们不用这种方法

那我们考虑用什么方法呢

我们可以考虑用对立事件

大家看，它可以写成1减去A并上B

再并上C的对立事件的形式

由我们前面学习的对偶律

那显然A并上B再并上C的对立事件

可以写成是

A的对立事件交上B的对立事件

再交上C的对立事件的形式

这里由于A、B、C是相互独立的

所以A的对立事件，B的对立事件和

C的对立事件也是相互独立的

那我们代入进去

可以得到这样的形式

这里A的概率等于1/5，B的概率

等于1/3，C的概率等于1/4

由对立事件概率之间的关系

我们代入进去可以得到

A并上B再并上C的概率等于3/5

那么在这里边，我们又得到了

一个求事件并的概率的

计算公式，求三个事件

并的概率的计算公式

如果A、B、C是相互独立的

那么A并上B再并上C的概率就可以写成

1减去A的对立事件的概率乘以

B的对立事件的概率再乘以C的

对立事件的概率的形式

这是一个非常重要的关系式

好，我们学习了三个事件的独立性

接下来，我们来看多个事件的独立性

设A1，A2到An是n个事件

如果对任意的

K1，K2···Ks

大于等于1，小于等于n

那么

Ak1交Ak2

一直交到Aks的概率

它可以写成，Ak1的概率乘以

Ak2的概率一直乘到Aks

的概率的形式

那我们就称

A1，A2···An是相互独立的

也就是说

我们在A1，A2到An

这些事件当中，任意拿出两个

三个或者是多个

任意个事件，把它们做交运算

那么，得到的事件的概率都等于

这些事件概率的乘积的形式

我们就说这些事件是相互独立的

当n个事件相互独立

我们有如下的性质

A1，A2···An相互独立

那么它们当中任意s个事件

也是相互独立的

如果n个事件相互独立

那么这n个事件一定是两两独立的

反之

不一定成立

如果A1、A2到An相互独立

那么它们之中的任意s个事件

s大于等于1，小于等于n

换成它的对立事件之后

得到的新的事件组，仍然是相互独立的

并且我们还有

跟两个事件独立和三个事件相互独立

相类似的性质，就是A1并上A2

一直并到An

这些事件发生的概率

它可以写成1减去A1的对立事件的概率

乘以A2的对立事件的概率

乘到An的对立事件的概率的形式

这是多个事件的独立性

下面呢

我们举一个例子

来看如何利用多个事件的独立性

来解决实际问题

某个大学生给多家单位各发了一份求职信

假定这些单位彼此独立工作

通知它去面试的概率均为10%

问，这个学生发多少封求职信就有

99%的可能至少获得一次面试的机会

这是一个实际问题啊

那么我们来看一下，要想解决这个实际问题

它怎么跟独立性跟事件发生的概率

建立起关系呢

我们看，它问的是这个学生发多少封

求职信，有99%的可能至少获得

一次面试的机会

我们这里不妨设n表示

发出的求职信的封数

Ai表示

第i家单位通知这个学生去面试

i呢

取1，2一直到n的形式

那么

我们要求的，这个学生

有99%的可能，至少获得一次面试的机会

这件事儿

它就可以表示成A1并上A2

一直并到An的形式

这里边

因为各个单位是彼此独立的

所以，我们说A1、A2到An

是相互独立的事件

那么这个事件发生的概率

我们利用性质

它就可以写成1减去A1的对立事件的

概率一直乘到An的对立事件的

概率的形式

那么由已知的条件

我们知道Ai发生的概率等于多少呀

它说通知它去面试的概率为10%，对吧

那么，也就是Ai发生的概率等于0.1

那么它对立事件发生的概率

是不是用1减去就行了

那我们可以得到

这个概率可以写成

1-(1-0.1)n次方的形式

那这个概率值是什么样的呀

它是大于等于0.99的

好，那我们根据这个不等式

我们来计算n的值

那我们通过两边同时整理，然后

取对数可以获得n是大于等于

43.69的，那也就是说我们这个n

约等于44封的时候

它就可以有99%的可能

至少获得一次面试的机会

我们就把这个实际问题解决了

以上呢

就是我们所学习的事件的独立性的问题

我们用它解决了许多实际问题

总结一下

我们主要学习了两个事件

三个事件及多个事件的独立性

利用事件的独立性

我们不仅可以计算两个事件

三个事件及多个事件交的概率

还可以计算两个事件，三个事件

及多个事件并的概率

希望大家能够灵活的运用这些计算公式

解决概率的计算问题

今天的内容就讲到这里，谢谢大家