当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第四章随机变量的数学期望 > 第2节方差 > 4.2.4 切比雪夫不等式

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4.2.4 切比雪夫不等式在线视频

下一节:4.3.1 协方差

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4.2.4 切比雪夫不等式课程教案、知识点、字幕

大家好

上次课我们学习了三种常见的

连续型随机变量的方差

这次课我们学习

切比雪夫不等式

介绍什么是切比雪夫不等式以及

利用切比雪夫不等式估计概率

首先给出定理

X为随机变量

方差存在

如果对于任意的ε>0

由X减去X数学期望的绝对值

大于等于ε的概率，小于等于X的方差

比上ε的平方

我们以X为连续型随机变量的情形

加以证明

记X的概率密度函数为f(x)

X减去X数学期望的绝对值大于等于ε的

概率，等于f(x)在X减去X的

数学期望的绝对值大于等于ε上的

积分

因为X减去X数学期望的绝对值

大于等于ε，于是我们对

被积函数乘以大于等于一的一个数

等于X减去X数学期望的平方

比上ε的平方乘以f(x)

在X减去X数学期望的绝对值

大于等于ε上的积分

接下来再加大于零的一个数

那么这个数我们可以借助一个积分来写

加X减去X的数学期望的平方

比上ε的平方，乘以f(x)，在X减去

X的数学期望，小于ε上的积分

我们发现这两个积分的被积函数相同

积分区间

正好为负无穷到正无穷

同时

我们把常数ε平方分之一提出

等于ε平方分之一，负无穷到正无穷

X减去X数学期望的平方f(x)的积分

我们发现这个积分负无穷到正无穷

正好为X的方差

于是等于X的方差比上ε平方

于是我们把此定理中的不等式

称为是切比雪夫不等式

此不等式可以等价的写成如下形式

X减去X数学期望的绝对值小于

ε的概率大于等于1减去X的方差

比上ε的平方

接下来

我们利用切比雪夫不等式估计概率，看例题

X为随机变量，X的数学期望为μ

X的方差等于σ平方，试着利用

切比雪夫不等式估计X减去μ的绝对值

大于等于3σ的概率

小于等于多少

X的数学期望为μ

于是，利用切比雪夫不等式可以写为

X减去μ的绝对值大于等于

3σ的概率，小于等于X的方差

比上3σ的平方

X的方差等于σ平方

从而等于1/9

接下来我们看第二道例题

在每次试验中，事件A发生的概率为0.5

试利用切比雪夫不等式

估计在1000次独立重复试验中

A发生的次数在400到600之间的

概率大于等于多少

我们记X为1000次

独立重复试验中

A发生的次数

于是X服从二项分布，n等于1000

p等于0.5

根据二项分布的数学期望及方差，得

X的数学期望等于500，X的方差

等于250

X大于400小于600的概率

为了计算方便，可以写为X减去500的

概率的绝对值小于100的概率

X大于400小于600的概率

为了计算方便，可以写为X减去500的

绝对值小于100的概率

其中500正好为X的数学期望

于是，利用切比雪夫不等式，大于等于一

减去X的方差比上ε的平方

X的方差等于250，ε等于100

从而1减去250比上100的平方

等于39/40

接下来我们看第三道例题

已知健康男性成人血液中

白细胞的平均数为7300

均方差为700

试着利用切比雪夫不等式，估计血液中

白细胞数在5200到9400的概率

以X为健康男性成人血液中的白细胞数

根据题意可知，X的数学期望等于7300

X的方差等于700的平方

X大于5200小于9400的概率

等于X减去7300的绝对值

小于2100的概率

利用切比雪夫不等式，大于等于1减去

700的平方比上2100的平方

等于8/9

接下来我们对本次课进行总结

切比雪夫不等式，可以写成如下两种形式

X减去X数学期望的绝对值，大于等于

ε的概率小于等于X的方差

比上ε的平方

同时，也可以写为

X减去X数学期望的绝对值，小于ε的

概率，大于等于1减去X的方差比

上ε的平方

本次课到此结束

谢谢大家

概率论与数理统计课程列表：

第一章概率论的基本概念

-第1节随机事件

--1.1.1 随机试验、样本空间、随机事件

--1.1.2 事件的关系和运算

--1.1 作业

-第2节概率的定义和性质

--1.2.1 随机事件的频率及概率

--1.2.2 概率的性质

--1.2 作业

-第3节古典概型与几何概型

--1.3.1 古典概型

--1.3.2 几何概型

--1.3 作业

-第4节条件概率

--1.4.1条件概率的概念和概率的乘法公式

--1.4.2 全概率公式

--1.4.3 贝叶斯公式

--1.4 作业

-第5节随机事件的独立性

--1.5.1 两个事件、三个事件及多个事件的独立性

--1.5.2 n 重伯努利试验

--1.5 作业

-本章测试

--第一章测试

第二章随机变量及其概率分布

-第1节随机变量与分布函数

--2.1.1 随机变量

--2.1.2 分布函数

--2.1 作业

-第2节离散型随机变量

--2.2.1 定义与基本概念

--2.2.2 0-1分布和二项分布

--2.2.3 泊松分布

--2.2 作业

-第3节连续型随机变量

--2.3.1 定义与基本概念

--2.3.2 均匀分布和指数分布

--2.3.3 正态分布

--2.3 作业

-第4节随机变量函数的分布

--2.4.1 离散型随机变量函数的概率分布

--2.4.2 连续型随机变量函数的概率分布

--2.4 作业

-本章测试

--第二章测试

第三章二维随机向量及其分布

-第1节二维随机向量及其分布函数

--3.1 二维随机向量及其分布函数

--3.1 作业

-第2节二维离散型随机向量

--3.2 二维离散型随机向量

--3.2 作业

-第3节二维连续型随机向量

--3.3.1 基本概念与性质

--3.3.2 二维连续型随机向量的例题

--3.3.3 二维均匀分布与二维正态分布

--3.3 作业

-第4节条件分布与随机变量的独立性

--3.4.1 条件分布

--3.4.2 随机变量的独立性

--3.4 作业

-第5节随机向量函数的分布

--3.5.1 离散型随机向量函数的分布

--3.5.2 连续型随机向量函数的分布

--3.5 作业

-本章测试

--第三章测试

第四章随机变量的数学期望

-第1节数学期望

--4.1.1 离散型随机变量的数学期望

--4.1.2 连续型随机变量的数学期望

--4.1.3 随机变量函数的数学期望

--4.1.4 数学期望的性质

--4.1 作业

-第2节方差

--4.2.1 方差的定义及性质

--4.2.2 三种离散型随机变量的方差

--4.2.3 三种连续型随机变量的方差

--4.2.4 切比雪夫不等式

--4.2 作业

-第3节协方差和相关系数

--4.3.1 协方差

--4.3.2 相关系数

--4.3 作业

-第4节矩和协方差矩阵

--4.4 矩和协方差矩阵

-本章测试

--第四章测试

第五章大数定律和中心极限定理

-第1节大数定律

--5.1.1 依概率收敛和伯努利大数定律

--5.1.2 切比雪夫大数定律和辛钦大数定律

--5.1 作业

-第2节中心极限定理

--5.2.1 独立同分布的中心极限定理

--5.2.2 De Moivre-Laplace 中心极限定理

--5.2 作业

-本章测试

--第五章测试

第六章数理统计的基本概念

-第1节数理统计的基本问题

--6.1 数理统计的基本问题

-第2节总体、样本和统计量

--6.2 总体、样本和统计量

--6.2 作业

-第3节抽样分布

--6.3 抽样分布

--6.3 作业

-第4节抽样分布定理

--6.4 抽样分布定理

--6.4 作业

-本章测试

--第六章测试

第七章参数估计

-第1节参数点估计

--7.1.1 矩估计法

--7.1.2 最大似然估计法

--7.1.3 估计量的评选标准

--7.1 作业

-第2节区间估计

--7.2.1 区间估计的概念和术语

--7.2.2 正态总体参数的区间估计

--7.2 作业

-第3节非正态总计参数的区间估计

--7.3 非正态总体参数的区间估计和单侧置信区间

--7.3 作业

-本章测试

--第七章测试

第八章假设检验

-第1节假设检验的基本概念

--8.1.1 假设检验的思想和方法

--8.1.2 假设检验的形式和两类错误

--8.1 作业

-第2节正态总体参数的假设检验

--8.2.1 正态总体均值的假设检验（方差已知）

--8.2.2 正态总体均值的假设检验（方差未知）

--8.2.3 正态总体方差的假设检验

--8.2.4 两独立正态总体均值相等的假设检验

--8.2.5 两独立正态总体方差相等的假设检验

--8.2 作业

-第3节非正态总体参数的假设检验

--8.3 非正态总体参数的假设检验

-本章测试

--第八章测试

期末考试

-期末考试

4.2.4 切比雪夫不等式笔记与讨论

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