当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第八章 假设检验 > 第2节 正态总体参数的假设检验 > 8.2.1 正态总体均值的假设检验（方差已知）
大家好
这一讲我们来介绍正态总体
参数的假设检验问题
第一部分
单个正态总体参数的假设检验问题
首先介绍单个正态总体均值的假设检验
设单个总体X服从正态分布
N(μ,σ²)
X₁，X₂到Xn为取自总体X的
容量为n的一个样本
Xbar,S²方分别为总体X的
样本均值与样本方差
考虑假设问题 显著性水平为α
原假设 H₀: μ=μ0
其中μ0为已知的常数
与之对应的对立假设分为三种情况
H₁: μ≠μ0
H₁: μ小于μ0
H₁: μ>μ0
由于对总体的均值做检验
我们需要考虑总体的方差是已知还是未知
下面看第一种情况
总体的方差已知
检验假设 H₀: μ=μ0
H₁: μ≠μ0
这是一个双侧检验
由于对总体的均值做检验
我们需要考虑样本均值
因此构造的检验统计量是
U等于Xbar减μ0
比上σ除以根下n
在原假设H₀成立的条件下
它是服从标准正态分布的
接下来 我们由标准正态分布的分位数
来构造小概率事件
对于给定的显著性水平α
0小于α小于1
由于标准正态分布
它的密度图形是关于y轴对称的
我们考察标准正态分布的
上二分之α分位数
u 1减二分之α
以及它的对称点负的
u 1减二分之α
那么服从标准正态的变量落在
上二分之α分位数右侧
以及对称点左侧的概率
分别都是
二分之α
从而检验统计量
|U|>=u 1减二分之α的概率是
两边的面积之和α
这是一个小概率事件
如果小概率事件在一次试验当中发生了
那么我们就认为原假设H₀不成立
就拒绝原假设
因此H₀的拒绝域是
统计量的观测值
我们记为u
它满足
|u|>=u 1减二分之α
下面我们做几点说明
第一
这种采用标准正态分布的
检验统计量的方法
我们称之为u检验法或者z检验法
第二
大家来看它的拒绝域
拒绝域有两个临界值
标准正态分布的上二分之α分位数
以及它的对称点
拒绝域 统计量的观测值位于临界值的
左右两侧
因此我们称之为双侧检验
第三
统计量
|u|>=u 1减二分之α的概率是α
因此我们把
u 1减二分之α 可以形象的称为
标准正态分布
关于α的双侧分位数
也就是落在这个点以及它的对称点
两边的面积之和为α
好 接下来我们来看单侧的第一个
检验假设 H₀: μ=μ0
H₁: μ小于μ0
其中μ0为已知的常数
大家也可以写成 H₀: μ>=μ0
H₁: μ小于μ0
这两种不同的形式
它的检验法则和检验效果是一致的
由于对总体的均值做检验
我们选择的检验统计量依然
通过样本均值来实现的
检验统计量 Xbar减μ0
比上σ除以根下n
由于H₁中 μ小于μ0
当H₁为真时
Xbar的观测值往往偏小
因此
若Xbar的观测值偏小时
我们就拒绝原假设H₀
因此
H₀的拒绝域在左侧
这是一个左侧检验
大家看这个图
负的u 1-α
落在这个点左侧区域的面积为α
因此它的拒绝域是
u 小于=负u 1-α
类似的道理
我们可以得到右侧检验
检验假设H₀: μ=μ0
H₁: μ>μ0
其中μ0为已知的常数
我们选择的检验统计量依然
是Xbar减μ0
比上σ
除以根下n
同左侧检验是类似的
由于H₁中
μ>μ0
当H₁为真时
μ的估计量Xbar往往偏大
因此 当观测值
Xbar偏大的时候
我们就拒绝原假设H₀
因此H₀的拒绝域在右侧
大家看落在u 1-α
右侧区域的面积是α
因此它的拒绝域 我们可以写成
u>=u 1-α
左侧和右侧检验统一称为单侧检验
好 接下来我们来看一道例题
某批零件尺寸X服从正态分布
μ未知 σ²=1.1²
检查6件 得到尺寸数据如下
单位是毫米
问 平均尺寸能否认为是32.5毫米
显著性水平α=0.05
在正态分布中
参数μ代表平均值
问题转化成判断μ与常数32.5
是有差别
还是没有差别
因此
原假设取成没有差别
第一步 我们给出假设
H₀: μ=μ0=32.5
H₁: μ≠μ0
由于对总体的均值做检验
我们需要考虑总体的方差
总体的方差是已知的
我们选择检验统计量是
U 等于XBar减μ0
比上σ除以根下n
在原假设H₀成立的条件下
它是服从标准正态分布的
这是一个双侧检验
接下来 我们要确定它的拒绝域
它的拒绝域有两个临界值
检验统计量
|u|>=u 1减二分之α
下面我们根据题目的条件
给出具体的拒绝域以及做出判断
由于α=0.05, n=6
临界值是u 1减二分之α
也就是u0.975
通过查表
我们得到 u0.975=1.96
因此
原假设H₀具体的拒绝域是
|u|>=1.96
由样本的数据可以得到
样本均值的观测值是32.13
代入检验统计量
|u|=32.13
减32.5
比上σ
1.1/ 根下六
求出来的结果等于3.05
它显然是大于1.96
这就看得出来
检验统计量的观测值是落在拒绝域之内
因此我们有充分的理由拒绝原假设H₀
即不能认为平均尺寸是32.5毫米
好 本节我们介绍了单个正态总体
均值的假设检验
第一种情况 方差已知时
我们采用了u 检验法
在这里对双侧和单侧两种情况进行了讨论
并给出了对应的拒绝域
以上就是这一讲的内容
谢谢大家
-第1节 随机事件
--1.1 作业
-第2节 概率的定义和性质
--1.2 作业
-第3节 古典概型与几何概型
--1.3 作业
-第4节 条件概率
--1.4 作业
-第5节 随机事件的独立性
--1.5 作业
-本章测试
--第一章测试
-第1节 随机变量与分布函数
--2.1 作业
-第2节 离散型随机变量
--2.2 作业
-第3节 连续型随机变量
--2.3 作业
-第4节 随机变量函数的分布
--2.4 作业
-本章测试
--第二章测试
-第1节 二维随机向量及其分布函数
--3.1 作业
-第2节 二维离散型随机向量
--3.2 作业
-第3节 二维连续型随机向量
--3.3 作业
-第4节 条件分布与随机变量的独立性
--3.4 作业
-第5节 随机向量函数的分布
--3.5 作业
-本章测试
--第三章测试
-第1节 数学期望
--4.1 作业
-第2节 方差
--4.2 作业
-第3节 协方差和相关系数
--4.3 作业
-第4节 矩和协方差矩阵
-本章测试
--第四章测试
-第1节 大数定律
--5.1 作业
-第2节 中心极限定理
--5.2.2 De Moivre-Laplace 中心极限定理
--5.2 作业
-本章测试
--第五章测试
-第1节 数理统计的基本问题
-第2节 总体、样本和统计量
--6.2 作业
-第3节 抽样分布
--6.3 抽样分布
--6.3 作业
-第4节 抽样分布定理
--6.4 作业
-本章测试
--第六章测试
-第1节 参数点估计
--7.1 作业
-第2节 区间估计
--7.2 作业
-第3节 非正态总计参数的区间估计
--7.3 作业
-本章测试
--第七章测试
-第1节 假设检验的基本概念
--8.1 作业
-第2节 正态总体参数的假设检验
--8.2 作业
-第3节 非正态总体参数的假设检验
-本章测试
--第八章测试
-期末考试
