2.2.2 放射性平衡与逐代衰变在线视频

递次衰变

能得出什么规律吗

递次衰变根据不同的情况

可以构成放射性平衡

或逐代衰变等

这个和放射性核素的衰变

常数的相对大小有关

下面我们来介绍

放射性平衡和逐代衰变

前面我们已经得到了

递次衰变系列里面

各个放射性核素

它的数目随着时间的变化关系

有了递次衰变规律之后

我们来讨论一下

放射性平衡的问题

对于一个两代连续衰变

由A衰变到B再衰变到C

C是稳定的这样的一个情况

我们可以看到下面这个式子

下面这个式子描述的是

B和A它的数目之比

随着时间的一个变化关系

我们的问题是

在时间足够长之后

子体B和母体A的数目之比

能不能变成一个常数

如果能的话

就构成了一个所谓的放射性平衡

否则的话

它就是一个不成平衡的一个关系

如果能够建立一个平衡关系的话

这个关系对于我们实际工作

还是有非常重要作用的

究竟能不能构成这样的平衡呢

我们看到

其实只取决于λ1和λ2的

相对大小

因为这个里面

没有其它的参数能决定它

那我们下面看第一种

构成平衡的情况

叫暂时平衡的情况

在这种情况下λ1 < λ2

我们说在这种情况下

母体A的半衰期不是很长

当然这个不是很长

是相对于我们测量时间而言的

如果你的测量时间是一天的话

这个不是很长

就可能是几天的一个量级

如果你到几年的量级的话

那就变成很长了

我们说母体A的半衰期

不是很长

但是要比子体B的半衰期长

我们后面写出

T1/2(1) > T1/2(2)

或者λ1 < λ2这种情况

在这样的情况下

观察时间里面

我们显然可以看到

母体A它的核的数目和活度

随着时间的变化

在时间足够长之后

我们说子体B的核的数目

和母体A的核的数目

会建立一个固定的比例关系

也就是说它们之比

随着时间就不再发生变化了

我们说这样的情况

叫构成了一个平衡叫暂时平衡

平衡了之后子体B的数目

随着时间的变化

就不是按着它自己的半衰期

去变化

而是按照母体的半衰期去变化了

这是平衡之后的一个现象

那我们简单来看一下

这个暂时平衡的形成

我们还是把前面那个式子写下来

有了这个式子之后

其实我们要讨论的就是

时间足够长之后

后面的这个指数相关的这一项

能不能变成一个常数

由于λ1 < λ2

当时间t足够大的时候

这个指数项本身就趋向于零了

显然1减去这个指数项

就趋向于1

所以我们说可以构成一个平衡

也就是时间足够长之后

后面这个指数项整个就变成1了

N2比N1就约等于

λ2/(λ2-λ1)

显然λ本身是常数了

所以后面这一项就是常数

是可以构成平衡的

我们再来看一下

达到平衡之后

子体与母体的活度之比

直接写下来A2/A1

我们把刚才那个式子代下来

就可以得到它们活度之比

等于λ2/(λ2-λ1)

显然后面这个比例因子是大于1的

我们把后面这个比例因子

叫平衡因子

这是平衡了之后

子体与母体的活度之比

也就是说平衡了之后

子体的活度要大于母体的活度

我们看一道例题

这道例题给的数据

就是能够构成

暂时平衡的一个数据

这个里面我们看到

母体它的半衰期是12.5小时

子体的半衰期是0.81个小时

显然满足暂时平衡构成的条件

那我们说母体一定是按照

自己的衰变常数指数衰减

它和其它的都没有关系

子体应该是从无到有的

一个增加的过程

当然我们说

增加的过程会逐渐的减慢

达到极大值的时候

之后开始减少

为什么会有这样的一个变化过程呢

是因为开始的时候

子体是没有的

所以它的衰减项其实是零

只有增加项

增加项是母体的衰变

我们知道母体的活度

是在逐渐减小的

所以它的这个子体的增加项

是逐渐在减小的

在子体逐渐增加的过程里头

它的数量越多

它的活度越大

所以它的衰减项也会逐渐的增加

所以这里面有两项

一项是它的增加项

会逐渐的减小

它的衰减项会逐渐的增加

所以最后会达到一个相等

相等的时候

是子体活度最大的时候

我们可以把表达式写出来

求出它子体活度最大的时候

所对应的时间

我们用tm去表示

把上面的数据代进去

我们可以求出来

对于我们这个例子

tm等于3.4个小时

也就是说在3.4小时的时候

子体活度最大

从这个时候往后

子体的活度也开始在减小

我们画出图形来

就是这样的一张图

横坐标是时间

纵坐标是放射性活度

这个里面我们定义的是

开始的时候子体是零

没有子体的数目

这条红色的线呢

是母体的活度曲线

显然它在这个半对数坐标上

应该是一条直线

绿色的线是子体的活度曲线

显然开始的时候

它是一个增加的过程

从零开始增加

增加到和母体的活度曲线相交

这是它这条绿色的线最大的时候

然后从这个点往后

绿色的线也开始衰减

也就开始往下走了

这是子体活度的变化

我们把这两条线加起来

看到一条蓝色的线

这条线就是子体和母体活度之和

随着时间的变化

所以从这个地方我们可以看出来

如果是这样的一个放射源

这个放射源

它的活度开始的时候

随着时间并不是减少的

而是增加的

增加到一定程度

才开始逐渐的减少

我们还有一条线

就是我们把这条绿色的线

绿色线在这个半对数坐标上

后面已经变成一条直线

我们把直线的部分

给它反向延长形成一条线

这条线减去绿色的线

本身我们可以得到一条线

这条线就是

我们指的这条紫色的线

就是子体单独存在的时候

它的活度曲线

这条紫色的线呢

就是子体单独存在的时候

它的活度曲线

我们可以看出来

其实它单独存在的时候

它的衰变其实还是由它的

衰变常数或者半衰期来决定的

但是如果是在一个衰变系列里头的话

它的数目或者活度随着时间的变化

就是由母体的半衰期来决定的

我们从这很容易看出来

在平衡了之后这条红色的线

和那条绿色的线

是一个平行的关系

而且绿色的线比红色的线

要稍微高一点

也就是平衡了之后

子体的活度要大于母体的活度

我们再来看第二种平衡的情况

叫长期平衡的情况

长期平衡要求

λ1要远远小于λ2

所以从这儿我们可以看出来

要想构成平衡的话

其实要求就是

λ1一定要比λ2小才行

在长期平衡这个条件下

我们说当母体的半衰期很长

比子体的半衰期要长得多的时候

当然这个长得多

相对于观察时间来说也要长得多

这样的话

我们在一段观察时间里头

其实是看不到母体的活度

随着时间的变化的

这个时候我们再去考察子体的

活度随着时间的变化

我们就会看出来

子体的活度开始有一个增加的过程

增加到一定程度呢

它会达到一个饱和

所谓的饱和就是随着时间

不再发生明显的变化

这个时候

子体和母体的放射性活度

会达到一个相等

约相等的这种情况

我们说把这种情况

建立的平衡叫长期平衡

还是由我们刚才的那个式子

我们简单来看一下

在长期平衡的条件下

λ1远远小于λ2

前面我们得到的那个

1-e的那个指数项

约等于1这个条件还是成立的

同时又成立了另外一个条件

就是λ2-λ1约等于λ2

因为λ1很小 我把它扔掉

这样的话我们说达到平衡之后

N2比N1就约等于λ1比λ2

所以这个就是一个常数

这是平衡之后的一个情况

所以平衡之后

它们的数量之比

等于衰变常数的反比

也就等于半衰期之比

我们再来看一下

平衡之后子体和母体的活度之比

活度之比的话

我们还是按定义把活度

和这个数量之间的关系

给它代进去

可以得出来平衡了之后

子体和母体的活度之比等于1

也就是子体和母体的活度相等

这是长期平衡形成之后

得到的一个结果

这是一个长期平衡的例子

在这个例子里面

我们会看到相应的曲线

我们观察的时间是250个小时

母体的半衰期是5.76年

所以我们观察的时间

相对于母体的半衰期来说

还是短的

所以在我们观察时间里头

我看不到母体活度的

一个明显的变化

所以这条红色的线

在我这个图里面

其实是一条横线

绿色的线还是子体的活度曲线

我们可以看出来

它开始的时候

的确是一个增加的过程

在增加到一定程度之后呢

它就不再随着时间增加了

而且变成了一条平的线

把那条红色的线给盖住了

把红色的线盖住的意思

就是它们俩的值其实相等了

这个和我们前面

得到的结论是一致的

就是长期平衡了之后

子体的活度应该等于母体的活度

我们再举例说明一下

长期平衡的应用

这里面我们有一个简单的题目

这个题目给出来一个长期平衡系列

在这个系列里面我们说

已经达到了长期平衡

而且我们知道了子体的半衰期

我们来求一下

母体的半衰期是多少

当然通过实验已经测出来

这个平衡体系里面

子体和母体的数量之比

显然我们直接利用

我们前面得到的结论就可以得到

母体的半衰期应该等于

这两个数相乘的一个关系

前面我们讲了两种放射性平衡

这两种放射性平衡呢

也可以直接推广到

多代连续衰变的情况

我们说对一个多代连续衰退的系列

只要母体的半衰期是小的

那就可以构建起一个平衡体系

如果母体的半衰期足够的小

就可以构建一个长期平衡的体系

这个条件的话只是要求

母体的半衰期是最小就可以了

对于形成长期平衡的条件

长期平衡了之后

各代放射性核素

它的活度都应该是相等的

所以这个也是一个基本的结论

那下面我们来看一下

不成平衡的一种情况

这种情况的话就是λ1>λ2的情况

我们叫它逐代衰变

在这样的一种情况下

我们说平衡体系是建立不起来的

因为母体的半衰期比较短

所以在它衰变的情况下

它很快的就衰变没了

子体的半衰期比较长

所以它有一个积累的过程

母体都衰变完了

子体再逐渐的衰变

这个时候子体的增加项没有了

所以它会按照

自己的衰减规律去衰减去

我们叫逐代衰变

就一代衰变完了再衰变第二代

再衰变第三代

这样的一种情况

简单地看一下它的关系

这个关系的话还是我们前面

得到的那个数学表达式

这个里面我们直接看

B它的数目随着时间的变化

在这样的一个式子里面

我们说由于λ1>λ2

在时间足够大的时候

显然第一个指数项

e^(-λ1·t)要远远小于e^(-λ2·t)

所以这个表达式里面的第一项

我就可以把它拿掉

第一项拿掉之后

然后我们这个地方出现一个负号

所以我会把前面系数里面的

λ2-λ1变成λ1-λ2

所以t足够大的时候

N2(t)随着时间的变化

你会看到只有一个指数项

就是e^(-λ2·t)

这样的一个指数项

λ2是它的衰变常数

也就是说时间足够长之后

子体它的数目随着时间的变化

只由它自己的衰变常数来决定

所以这个是它的一个特点

这个时候它的放射性活度

我们可以直接表达出来

就是上面那个式子乘上λ2就可以

时间足够长之后

母体的活度是多少呢

刚才已经假设了

e^(-λ1·t)已经很小了

如果它已经很小的话

母体的放射性活度

就趋向于零了

所以就没了

所以这是逐代衰变的一个情况

当然我们也可以举一个例子

来看一下

这个例子我们讲义上有

大家直接去看讲义就可以了

对于一个多代连续放射性衰变

A1衰变常数λ1衰变到A2

然后衰变常数λ2衰变到A3

一直衰变下去

我们说要构成一个逐代衰变

其实有一个要求

也就是要求于λ1>λ2>λ3

一直大下去

整个衰变体系

才是一个逐代衰变的这种情况

这个要注意

和我们前面得到的那个关系是不一样的

那我们简单的小结一下

经过足够长时间之后

多代连续放射性衰变过程

将会出现暂时平衡 长期平衡

逐代衰变的现象

实际情况是

往往在一个衰变系列里面

3种情况是交织在一起的

我们说母体衰变

比子体衰变要快的

也就是它的衰变常数大的

这个时候

母体就按逐代衰变先衰变掉

如果这一代的子体

比下一代的子体衰变的要慢

在这个地方

就有可能会形成一个暂时平衡

暂时平衡总是要衰变掉的

这样下去一个衰变系列

总会出现一个半衰期最长的核素

以它打头会建立一个长期平衡

这一节的内容就到这里